排列、组合、二项式定理、概率与统计排列、组合、二项式定理、概率与统计【考点聚焦考点聚焦】 考点 1：排列、组合的概念，排列数、组合数的计算公式和组合数的性质； 考点 2：二项式定理和二项展开式的性质及利用它们计算和证明一些简单问题； 考点 3：利用排列组合的基本公式计算一些等可能性事件的概率，利用互拆事件的加法公 式一些事件的概率，利用独立事件的概率乘法公式计算一些事件的概率，会计算在 n 次独 立重复试验中恰好发生 k 次的概率. 【自我检测自我检测】 1、 叫做从 n 个不同元素中取出个元素的一个排列，排列数_=_.m nA2、 叫做从 n 个不同元素中取出 m 元素的一个排列，组合数_=_.m nC3、 组合数的性质：（1），（2）.m nCm nC1m nC4、 二项式定理的内容是.其通项为.1rT5、 二项式系数的性质是（1）（2） （3） . 6、 在大量重复进行同一试验时，事件 A 发生 叫做事件 A 的概率，记 作. 7、 如果一次试验中可能出现的结果有 n 个，而且所有结果出现的，那么每 一个基本事件的概率都是，如果某个事件 A 包含的结果有 m 个，那么事件 A 的 概率 P（A）. 8、 叫做互斥事件，对立事件.设 A，B 是互斥事件，P（AB）.P（）.A9、 ，这样的两个事件叫做相互独立事 件.设 A、B 是相互独立事件，则 P（AB）.10、若 n 次独立重复试验中，每次试验结果的概率则称这 n 次试验是独立的.在 n 次独立重复试验中，事件 A 恰好发生 k 次的概率 Pn(k)=_. 【重点重点难点难点热点热点】 问题问题 1：排列组合应用题：排列组合应用题解决此类问题的方法是：直接法，先考虑特殊元素（或特殊位置），再考虑其他元素 （或位置）；间接法，所有排法中减去不合要求的排法数；对于复杂的应用题，要合理设 计解题步骤，一般是先分组，后分步，要求不重不漏，符合条件. 例例 1：在AOB 的 OA 边上取 m 个点，在 OB 边上取 n 个点(均除 O 点外)，连同 O 点 共 m+n+1 个点，现任取其中三个点为顶点作三角形，可作的三角形有( )12 12 11112121212121 121 1 CCC D.C CCCCCC.CCCC.C B CCCA.Cnmnmnmmnnmmnnmmnnm 思路分析：法一分成三类方法；法二，间接法，去掉三点共线的组合头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 解法一头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 第一类办法头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 从 OA 边上(不包括 O)中任取一点与从 OB 边上(不包括 O)中任取两点，可构造一个三角形，有 CC 个；1 m2 n第二类办法头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 从 OA 边上(不包括 O)中任取两点与 OB 边上(不包括 O)中任取一点，与O 点可构造一个三角形，有 CC 个；第三类办法头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 从 OA 边上(不包括 O)任取一点与 OB2 m1 n边上(不包括 O)中任取一点，与 O 点可构造一个三角形，有 CC 个头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 1 m1 n由加法原理共有 N=CC +CC +CC 个三角形头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 1 m2 n2 m1 n1 m1 n解法二头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 从 m+n+1 中任取三点共有 C个，其中三点均在射线 OA(包括 O 点)，有 C3 1nm个，三点均在射线 OB(包括 O 点)，有 C个头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 所以，个数为 N=CCC3 1m3 1n3 1nm3 1m个头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 3 1n答案头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 C点评：本题考查组合的概念及加法原理，解题中常用分类讨论思想及间接法头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 例例 2：四名优等生保送到三所学校去，每所学校至少得一名，则不同的保送方案的总 数是_头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 思路分析头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 解法一，采用处理分堆问题的方法头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 解法二，分两次安排优等生，但是进入同一所学校的两名优等生是不考虑顺序的头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 解：（法一）分两步头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 先将四名优等生分成 2，1，1 三组，共有 C 种；而后，对三2 4组学生安排三所学校，即进行全排列，有 A33种头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 依乘法原理，共有 N=C=36(种)头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 2 43 3A（法二）分两步头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头头 头 从每个学校至少有一名学生，每人进一所学校，共有 A 种；而后，3 4再将剩余的一名学生送到三所学校中的一所学校，有 3 种头 头 头 头 头 头 头 头头 头 头 头 头 头 头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头头 头 值得注意的是头 头头 头 头头 头 头 头头 头 头 头 头 头http:/ww