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泊松过程的生成及其统计分析泊松过程的生成及其统计分析 实验报告实验报告班级:硕班级:硕 20352035 班班姓名:吕奇姓名:吕奇学号:学号:31120910203112091020一、一、 实验题目实验题目设一个时隙 Aloha 系统的时隙长度为 1,所有节点的数据等长且等于时隙长度。网络中的节点数为 m,各节点数据包以泊松过程到达。1、假设每个节点的数据包到达强度均为 /m,在不同的 下,使用计算机仿真时隙 Aloha 系统数据包传送的成功功率,绘制呼入强度和成功概率的曲线,与理论值进行对照。注意:节点个数m 要足够多。2、选取合理的等待重传的节点在每一个时刻重传的概率、每个节rq点有新数据包到达的概率,以及节点数 m,采用延时的下界,aq仿真时隙 Aloha 系统数据传输过程,统计在不同积压节点数 n 的情况下,到达率及离开率,绘制到达率和离开率随 n 的分布)n(Ps情况,和理论值进行对照。3、仿真时隙 Aloha 系统下的伪贝叶斯算法,通过仿真结果验证在 n的估计误差大情况下的收敛特性及到达率小于 1/e 下的稳定性。二、实验过程二、实验过程1、计算机仿真时隙 Aloha 系统数据包传送的成功功率,绘制呼入强度和成功概率的曲线,与理论值进行对照。由泊松过程的定义:,从而可以知道)t(k e!k)t(kN(s)-s)N(tP在一个时隙中有一个数据包到达的概率为,-e1N(s)-1)N(sP 对于每个节点而言,仿真时,我们认m-em1N(s)-1)N(sP 为每个节点每个时隙最多只会到达一个数据包,故仿真时可以以一个时隙 为步长,每个节点每个时隙到达一个数据包的概率就为 p=,由此,m-em 对每个节点生成一组随机数,当此随机数小于等于 p,则表示有一个数据包 到达,把此随机数用 1 代替,反之则没有数据包到达,把此随机数用 0 代替,这样可以得到每个节点在某个时刻是否有数据包到达的矩阵,然后把 每组矩阵相加,得到某一时刻总的到达的数据包,当某一时刻为 1 时,总 共只有一个数据包到达,则可以成功传送,对于每个给定的 ,取多个时 隙作多次重复试验,则可以得到这多次重复试验中成功传送的次数,用成 功传送的次数除以总的重复试验次数,就是成功传送的概率。对不同 值, 用上述方法,就可以得到不同 值对应的成功传送的概率。此外,对于给定的 ,理论成功传送的概率为,对于时)t(texpPs隙长度 1 有。)(expPs 下面是 m=3000,取 5000 个时隙点, 在0,3间对应的成功传送的概率:00.511.522.5300.050.10.150.20.250.30.350.4传 传 传 传 传 传 传 传 传 传 传 传图 1 不同 下成功传送的概率程序:clcclearclose allm=3000;t=5000;z=;lilun=;for k=0:0.1:3p=k/m; x=rand(m,t);for i=1:mfor j=1:tif x(i,j)=px(i,j)=1;elsex(i,j)=0;endendendy=(sum(x);z=z,sum(y=1)/t;lilun=lilun,k*exp(-k);endk=0:0.1:3;plot(k,z,r*)hold onplot(k,lilun)2、绘制到达率和离开率随n的分布情况,和理论值进行对照。为了方便叙述,作如下假设: qr:等待重传的节点在每一时刻内重传数据包的概率; m:系统内总的节点数; n:每个时隙开始时等待重传的节点数; qa:每个发送节点有数据包到达的概率。 实验思路: (1) 为了简化程序,使用matlab自带的二项分布生成函数binornd来模拟数据 包的到达和离开。由于题目说明使用延时的下界,则无缓冲,每个节点 最多容纳一个数据包,多则丢弃。实验中要用到两个矩阵,一个是u,用 来模拟n个等待重传的数据包以概率qr重传,所以这个矩阵的前n项可以 用binornd(1,qr,1,n)来表示,即u(1:n)=binornd(1,qr,1,n),后面m-n 项为0,即u(n+1:m)=0,这就可以模拟有n个等待重传的节点以概率qr重 新发送。同理,用矩阵l来模拟m-n个空闲节点新数据包到达的情况,容 易得到l(1:n)=0和l(n+1:m)=binornd(1,qa,1,m-n),D(n)=sum(l)得到的 则是新到达数据包的个数。 (2) 将矩阵u和l相加得到矩阵y,则y表示的是每个节点是否有数据包发送, 如果y只有一项为1,即sum(y)=1,则表示有数据发送成功,此时可以用 Ns来计数发送成功的次数,否则则是空闲或者碰撞。 (3) 对每一个等待重传的节点数n,我们做M次试验,每次试验,对新到达的 数据包求和,即:D(n)= D(n)+sum(l),对发送成功的次数记数,即: Ns(n)=Ns(n)+1。最后则有一个时隙内新到达的数据包的平均值为 D=D/M,一个时隙内平均传输数据包的个数为Ps=Ns/M。此外,为了使统 计值与理论值比较接近,M的取值要比较大。 (4) 理论值:D=(m-n)qa,Ps=G(n)exp(-G(n),其中G(n)=(m-n) qa+n*qr=D+n*qr。 (5) 本实验过程中qa和qr的选择对实验的效果影响较大,为了使传送成功的 概率最大,总的到达强度取1/e,通过实验,qr在0.01,0.1可以看到比较好的效果,在这个区别里,改变qr,可以较清楚地看到qr的改变对到 达率和离开率的影响。下面是qr=0.06、qr=0.08和qr=0.04的实验结果:010203040506070809010000.050.10.150.20.250.30.350.4传 传 传 传 传 传 传 传 n传 传 传 传 传 传 传图2 qr=0.06时不同等待重传节点数n下的到达率和离开率010203040506070809010000.050.10.150.20.250.30.350.4传 传 传 传 传 传 传 传 n传 传 传 传 传 传 传图3 qr=0.08时不同等待重传节点数n下的到达率和离开率010203040506070809010000.050.10.150.20.250.30.350.4传 传 传 传 传 传 传 传 n传 传 传 传 传 传 传图4 qr=0.04时不同等待重传节点数n下的到达率和离开率图中直线为到达率,曲线为离开率,星形为实验值,连续线为理论值,首先可以看到实验值和理论值的吻合程度很好,这需要重复实验的次数M较大;第 二,我们可以看到重传概率qr增加,曲线会向左压缩,导致到达率和离开率的 第二个交叉点向左移,这样很小的n值都可能使系统进入不稳定区域,到达不稳 定平衡点的可能性增加;第三,如果qr减小,曲线向右扩张,从而导致第二个 交叉点向右移,扩张到一定程度后,实际系统将仅有一个稳定点,如图4所示。程序:clcclearclose alllamida=1/exp(1);m=100;qa=lamida/m;qr=0.04;Ns=zeros(1,m+1);D=zeros(1,m+1);D1=zeros(1,m+1);Ps1=zeros(1,m+1);M=20000;for n=0:mfor i=1:Mu(1:n)=binornd(1,qr,1,n); u(n+1:m)=0; %nl(1:n)=0; l(n+1:m)=binornd(1,qa,1,m-n); %m-nD(n+1)=D(n+1)+sum(l); %0y=u+l; %if sum(y)=1 %Ns(n+1)=Ns(n+1)+1; elseNs(n+1)=Ns(n+1); %endendD1(n+1)=(m-n)*qa;G(n+1)=D1(n+1)+n*qr;Ps1(n+1)=G(n+1)*exp(-G(n+1);endPs=Ns/M;D=D/M;t=0:m;plot(t,Ps,r*)hold onplot(t,Ps1,r)hold onplot(t,D,*)hold onplot(t,D1)3、仿真时隙 Aloha 系统下的伪贝叶斯算法,通过仿真结果验证在 n的估计误差大情况下的收敛特性及到达率小于 1/e 下的稳定性。实验思路: 由于伪贝叶斯算法中,当节点有新数据包到达时,不是立刻发送,而是仿 照有数据包等待重传的节点一样,先对该数据包进行缓存,在下一时隙也是以 概率qr进行传输,可以将实验过程2中的思路稍做修改即可: (1) 对于矩阵u,如果等待重传的节点数为n,则将矩阵u的前n项置为1,后 m-n项置为0,而对于矩阵l则和实验过程2一样,前n项置为0,后m-n项 用二项分布生成函数来模拟,到达的概率为qa。 (2) 将u和l相加得到矩阵y,则表示的是下一时隙每个节点是否有数据发送 的矩阵,y中1的个数就是下一时隙等待重传的节点的个数total,这些 等待重传的节点将分别以概率qr发送,此时可以用二项分布生成函数来 模拟其发送,即leave=binornd(1,qr,1,total),此时,如果 leave矩阵只有一个为1,其他都为0,则可以成功发送,从而将下一时 隙等待重传的节点数减1。 (3) 根据leave矩阵,可以得到等待重传的节点发送情况,只有一个1则发送 成功,全是0则空闲,多于一个1则是碰撞,从而可以根据伪贝叶斯算法 做下一次等待重传节点数的预测,其表达式为:。个时隙碰撞k第)2-e(n 个时隙空闲或发送成功k第1-n ,maxn 1- kk 1k下面是实验结果: a) 验证在n的估计误差大情况下的收敛特性 i.初始等待重传的节点数n=50,初始估计的等待重传的节点数 n_t=200,m=2000,时隙数为N=2000。 e13.00200400600800100012001400160018002000020406080100120140160180200传 传传 传 传 传 传 传 传 传 传 传 传 传 传 传图5 初始估计值比实际值大的收敛情况ii.初始等待重传的节点数n=350,初始估计的等待重传的节点数 n_t=200,m=2000,时隙数为N=2000。 e13.00200400600800100012001400160018002000050100150200250300350400传 传传 传 传 传 传 传 传 传 传 传 传 传 传 传图6 初始估计值比实际值小的收敛情况 iii.初始等待重传的节点数n=50,初始估计的等待重传的节点数n_t=200,m=2000,时隙数为N=2000。e16.00200400600800100012001400160018002000050100150200250传 传传 传 传 传 传 传 传 传 传 传 传 传 传图7 到达强度变大,初始估计值比实际值小的收敛情况从图中可以看到,不管估计的初始等待重传的节点数比实际值大还是小, 估计值都将收敛于实际值,当估计值远大于实际值时,重传的概率 qr 较小, 故系统空闲的概率较大,成功传输的概率较大,故估计值会迅速减小,从而 趋于实际值;当估计值比实际值小时,重传的概率 qr 较大,故系统碰撞的概 率较大,故估计值会迅速增大,从而趋于实际值。 此外,对比图 5 和图 7,可以看出,当到达强度增大时,收敛速度变慢, 分析原因为,如果估计值和实
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