2.2 对数函数对数函数 22.1 对数与对数运算对数与对数运算1对数的概念 一般地，如果 axN (a0，且 a1)，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlogaN，其中 a 叫做对数的 底数，N 叫做真数 说明：(1)实质上，上述对数表达式，不过是指数函数 yax的另一种表达形式，例如：3481 与 4log381 这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式 axNxlogaN，从而得对数恒等式：alogaNN. (2)“log”同“” “” “”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这种 运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面 (3)根据对数的定义，对数 logaN(a0，且 a1)具有下列性质： 零和负数没有对数，即 N0； 1 的对数为零，即 loga10； 底的对数等于 1，即 logaa1. 2对数的运算法则 利用对数的运算法则，可以把乘、除、乘方、开方的运算转化为对数的加、减、乘、除运算，反之亦 然这种运算的互化可简化计算方法，加快计算速度 (1)基本公式 loga(MN)logaMlogaN (a0，a1，M0，N0)，即正数的积的对数，等于同一底数的各个因数的对 数的和logalogaMlogaN (a0，a1，M0，N0)，即两个正数的商的对数，等于被除数的对数减去除数的MN 对数 logaMnnlogaM (a0，a1，M0，nR)，即正数的幂的对数等于幂的底数的对数乘以幂指数 (2)对数的运算性质注意点 必须注意 M0，N0，例如 loga(3)(4)是存在的，但是 loga(3)与 loga(4)均不存在，故不能写 成 loga(3)(4)loga(3)loga(4)防止出现以下错误：loga(MN)logaMlogaN，loga(MN)logaMlogaN，loga，logaMn(logaM)MNlogaMlogaNn.3对数换底公式在实际应用中，常碰到底数不为 10 的对数，如何求这类对数，我们有下面的对数换底公式：logbN logcNlogcb (b0，且 b1；c0，且 c1；N0) 证明 设 logbNx，则 bxN.两边取以 c 为底的对数，得 xlogcblogcN.所以 x，即 logbN.logcNlogcblogcNlogcb 换底公式体现了对数运算中一种常用的转化，即将复杂的或未知的底数转化为已知的或需要的底数，这是 数学转化思想的具体应用 由换底公式可推出下面两个常用公式：(1)logbN或 logbNlogNb1 (N0，且 N1；b0，且 b1)；1logNb(2)logbnNm logbN(N0；b0，且 b1；n0，mR)mn.题型一 正确理解对数运算性质对于 a0 且 a1，下列说法中，正确的是( ) 若 MN，则 logaMlogaN； 若 logaMlogaN，则 MN； 若 logaM2logaN2，则 MN； 若 MN，则 logaM2logaN2. A与 B与 C D、题型二 对数运算性质的应用求下列各式的值：(1)2log32log3log38；(2)lg25 lg8lg5lg20(lg2)2；(3).32935log523log5 2log79log513log734题型三 对数换底公式的应用计算：(log2125log425log85)(log52log254log1258)已知 log(x3)(x23x)1，求实数 x 的值1对数式 log(a3)(7a)b，实数 a 的取值范围是( ) A(，7) B(3,7) C(3,4)(4,7) D(3，) 3log56log67log78log89log910 的值为( )A1 Blg5 C. D1lg21lg5 4已知 loga(a21)0，a1)在1,3上最大值与最小值之和为 a2，则 a 的值为( )A4 B. C3 D.14137已知 f(log2x)x，则 f_.(12)8log(1)(1)_.22一、对数式有意义的条件例 1 求下列各式中 x 的取值范围： (1)log2(x10)；(2)log(x1)(x2)；(3)log(x1)(x1)2.二、对数式与指数式的互化例 2 将下列对数形式化成指数形式或将指数形式转化为对数形式：(1)54625； (2)log 83；(3)216; (4)log101 0003.12(14) 变式迁移 2 将下列对数式化为指数式求 x 值：(1)logx27 ； (2)log2x ； (3)log5(log2x)0; (4)xlog27；(5)xlog 16.32231912一、选择题 1下列指数式与对数式互化不正确的一组是( )A1001 与 lg10 B27 与 log27 Clog39 与 9 3 Dlog551 与 515131313131212 2指数式 b6a (b0，b1)所对应的对数式是( ) Alog6aa Blog6ba Clogab6 Dlogba6 3若 logx(2)1，则 x 的值为( )5A.2 B.2 C.2 或2 D2555554如果 f(10x)x，则 f(3)等于( ) Alog310 Blg3 C103 D310521 log25 的值等于( )12A2 B2 C2 D1555252 二、填空题 6若 5lgx25，则 x 的值为_ 7设 loga2m，loga3n，则 a2mn的值为_ 三、解答题 9求下列各式中 x 的值(1)若 log31，则求 x 值；(2)若 log2 003(x21)0，则求 x 值(12x9)二、对数运算性质的应用例 2 计算：(1)log5352log5log57log51.8；(2)2(lg)2lglg5；7322(lgr(2)2lg21(3)； (4)(lg5)2lg2lg50.lg 27lg8lg 1 000lg1.2(1)log5352loglog5log514；(2)(1log63)2log62log618log64.12 2150一、选择题 1lg83lg5 的值为( )A3 B1 C1 D33若 lga，lgb 是方程 2x24x10 的两个根，则2的值等于( )(lgab)A2 B. C4 D.1214 5设函数 f(x)logax (a0，且 a1)，若 f(x1x2x2 005)8，则 f(x )f(x )f(x)的值等于( )2 12 222 005A4 B8 C16 D2loga8 二、填空题 6设 lg2a，lg3b，那么 lg_.1.87若 logax2，logbx3，logcx6，则 logabcx 的值为_ 8已知 log630.613 1，log6x0.386 9，则 x_. 三、解答题9求下列各式的值：(1) lg lglg；(2)(lg5)22lg2(lg2)2.123249438245 22.2 对数函数及其性质对数函数及其性质1对数函数的概念 形如 ylogax (a0 且 a1)的函数叫做对数函数 对于对数函数定义的理解，要注意： (1)对数函数是由指数函数变化而来的，由指数式与对数式关系知，对数函数的自变量 x 恰好是指数函数的 函数值 y，所以对数函数的定义域是(0，)； (2)对数函数的解析式 ylogax 中，logax 前面的系数为 1，自变量在真数的位置，底数 a 必须满足 a0，且 a1； (3)以 10 为底的对数函数为 ylgx，以 e 为底的对数函数为 ylnx. 2对数函数的图象及性质： a101 时，恒有 y0； 当 01 时，恒有 y0性质函数在定义域(0，)上为增函数函数在定义域(0，)上为减函 数 3.指数函数与对数函数的关系比较 名称指数函数对数函数解析式yax (a0，且 a1)ylogax(a0，且 a1)定义域(，)(0，)值域(0，)(，)函数值变 化情况a1 时，； 011101xxxax01 时，logax； 1001010xxx01 时，yax是增函 数； 01 时，ylogax 是增函数； 00，即 m、n 范围相同(相对于“1”而言)，则 logmn0；(2)当(m1)(n1)0 等，一眼就看出来了！13题型一 求函数定义域 求下列函数的定义域：(1)ylog3x1；2x3x1题型二 对数单调性的应用(1)log43，log34，log的大小顺序为( )4334Alog34log43logClog34loglog43Dloglog34log434334433443344334已知 loga1 Bx|x0，且 a1)在同一坐标系中的图象只可能为( )6设函数 f(x)log2a(x1)，若对于区间(1,0)内的每一个 x 值都有 f(x)0，则实数 a 的取值范围为( )A(0，) B. C. D.(12，)(12，1)(0，12)7若指数函数 f(x)ax (xR)的部分对应值如下表：x202 f(x)0.69411.44 则不等式 loga(x1)0 且 a1)例 4 若11 时，在同一坐标系中，函数 yax与 ylogax 的图象是( )2函数 y的定义域是( )log12(3x2)A1，) B.C. D.(23，) 23，1(23，1 3已知 alog0.70.8，blog1.10.9，c1.10.9，则 a、b、c 的大小关系是( ) Aa1，函数 f(x)logax 在区间a,2a上的最大值与最小值之和为 4，则 a 等于( ) A. B2 C2 D4225若 loga1 B01 C00 且 a1)，其定义域为(1,1)，试判断 f(x)的奇偶性并证明3x3x