个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司1学生： 科目： 第 阶段第 次课 教师： 课课 题题等腰三角形知识精讲等腰三角形知识精讲教学目标教学目标1. 等腰三角形的有关概念。首先要能根据边的长短识别和判断等腰三 角形；其次，能够明确指出已知的等腰三角形的顶角、底角、腰和底边。 2. 等腰三角形的轴对称性。通过折纸操作认识探索等腰三角形的轴对 称性。明确等腰三角形的对称轴是等腰三角形顶角平分线所在的直线（不 是顶角平分线本身） 。 3. 推导等腰三角形的性质。通过进一步实验、观察、交流等活动推导推导 等腰三角形的性质等腰三角形的性质，从而加深对轴对称变换的认识。 4. 掌握等腰三角形的下列性质：等腰三角形的两个底角相等；等腰三 角形三线合一。 5. 会利用等腰三角形的性质进行简单的推理、判断、计算和作图。重点、难点重点、难点重点内容有两个：一是等腰三角形的性质与识别方法；二是学会三角 形中相等的角和相等的边的相互转化难点是等腰三角形的识别方法和性 质的区别考点及考试要求考点及考试要求1,有两条边相等的三角形叫做等腰三角形 2,相等的两边叫腰，另一条边叫底边如 AB、AC 叫腰，BC 叫底边 3,两腰所夹的角，如BAC 叫做顶角，底边与腰的夹角ABC 和ACB 叫底角 4,顶角是直角的等腰三角形叫做等腰直角三角形 5,等腰三角形的两个底角相等（简写为“等边对等角” ） 6,等腰三角形顶角的角平分线、底边上的中线、底边上的高重合（简称 “三线合一” ） 7,等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60 8,在直角三角形中，如果一个锐角等于 30，那么它所对的直角边等于斜 边的一半教学内容教学内容知识框架知识框架本章掌控小结： 1._的三角形叫做等腰三角形。 2.等腰三角形是轴对称图形，顶角_是它的对称轴。等边三角形有 _条对称轴。 3.等腰三角形的两个_相等。等腰三角形的顶角平分线、 _和_互相重合。 如果一个是三角形有_角相等，那么这个三角形是等腰三角形。 4.三边都相等的三角形叫做_。_三角形的内角都相等，且等于_度。个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司25.有一个角是直角的三角形叫做_，记做_。两条直角边_的直角三角 形叫做等腰直角三角形。 6.直角三角形的性质： （1）在直角三角形中，两个锐角_。 （2）直角三角形斜边上的中线等于斜边的_。 （3）勾股定理：直角三角形_的平方和等于_的平方。如果用字母 a，b，c 分别表示两条直角边和斜边，那么有关系式_。 7.直角三角形的判定： （1）有两个角_的三角形是直角三角形。 （2）如果三角形中两边的_等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。8. _和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等。 9.角的内部，到角两边距离相等的点，在这个角的_上。 10.主要方法和技能： （1）运用等腰三角形、直角三角形的性质，进行简单的推理。 （2）等腰三角形和直角三角形的判定。 （3）判定两个直角三角形全等。 （4）有关等腰三角形和直角三角形的尺规作图。考点一：等腰三角形性质在边、角上的应用考点一：等腰三角形性质在边、角上的应用典型例题典型例题例例 1. （1）若等腰三角形的一个外角为 70，则它的底角为_度 （2）某等腰三角形的两条边长分别为 3cm 和 6cm，则它的周长为（ ） A9cm B12cmC15cmD12cm 或 15cm 分析：分析：（1）要考虑这个外角是顶角的外角还是底角的外角，当顶角的外角是 70时，则底角为 7035或顶角是 18070110，则底角是 （180110）35；若它是底角1212的外角，则底角为 110，但是两个底角的和为 220180，所以这种情况不合理 （2）根据三 角形的三边关系可知当以 3cm 为腰时，不能组成三角形，所以只能以 3cm 为底边，6cm 为腰，所以 其周长为 66315cm 解：解：（1）35（2）C 例例 2. 已知：如图所示，ABC 中，ABAC，ADDCBC试求A 的度数A AB BC CD D分析：分析：本题关键是用“等边对等角”来建立各角之间的关系，然后借助三角形内角和建立等量 关系，从而解决问题 解：解：设Ax，因为 ADDC， 所以DCAAx（等边对等角） 个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司3所以BDCADCA2x（三角形一个外角等于和它不相邻的两内角之和） 又因为 DCBC， 所以BBDC2x（等边对等角） 因为 ABAC， 所以BACB2x（等边对等角） 因为ABACB180（三角形内角和等于 180） ， 所以 x2x2x180， 即 x36，所以A36 知识概括、方法总结与易错点分析知识概括、方法总结与易错点分析评析：（评析：（1）在解有关等腰三角形的问题时，若题设中对“腰”还是“底边”或“顶角”还是 “底角”指示不明，解题时要分类讨论 （2）等腰三角形的性质经常结合三角形外角性质以及三角形内角和定理来解决有关角度计算 问题其中等腰三角形的性质与三角形外角性质是建立角之间关系的依据，三角形内角和定理是建 立等量关系的依据同时将几何问题转化为方程问题也是我们要掌握的一种数学方法 针对性练习针对性练习例：1，请写出周长为 8cm，且边长均为整数的等腰三角形的各边长。2. 在等腰三角形 ABC 中，ABAC，周长为 14cm，AC 边上的中线 BD 把ABC 分成了周长差 为 4cm 的两个三角形，求ABC 各边长。3. 一个等腰三角形的两个内角度数之比为 41，求这个三角形各角度数。考点二：三线合一、实际应用的图形转换考点二：三线合一、实际应用的图形转换 典型例题典型例题例例 3. 如图所示，已知 D、E 在 BC 上，ABAC，ADAE试说明：BDCEA AB BC CD DE EF F分析：分析：本题可以通过ABDACE 来证明结论，但如果抓住图形的“左右对称”构造“三线 合一”来证明结论，就更为简捷 解：解：作 AFBC 于 F 因为 ABAC，AFBC个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司5所以 BFFC（等腰三角形底边上的高也是底边上的中线） 同理可证 DFEF 所以 BDCE 例例 4. 如图所示，ABC 中，ABC45，H 是高 AD 和 BE 的交点，那么 BHAC 吗？说明 道理A AB BC CH HD DE E分析：分析：由ABC45，ADBC 可得ABD 是等腰直角三角形，所以 BDADBH 和 AC 是 RtBHD 和 RtACD 中对应的斜边本题可以从考虑这两个直角三角形全等入手 解：解：因为ABC45，ADBC， 所以ABD 是等腰直角三角形， 所以 BDADCADCBECADCCBEC 9090Q在 RtBHD 和 RtACD 中，CBECAD， HDBCDA90 BDAD 所以 RtBHDRtACD（AAS） 所以 BHAC 例例 5. 如图所示，ABC 是等边三角形，BD 是 AC 边上的中线，延长 BC 到 E 使 CECD，试说 明BDE 是等腰三角形A AB BC CD DE E分析：分析：等边三角形是特殊的等腰三角形，因此等腰三角形的性质同样适用于等边三角形本题 中出现了一边上的中线，根据“三线合一”就可以找到解决本题的突破口 解：解：在等边ABC 中， 因为 BD 是 AC 边上的中线，所以 BD 平分ABC 又因为ABC60，所以DBC30又因为 CECD，所以CDEE ACB3012所以DBCE所以BDE 是等腰三角形 例例 6 如图所示，上午 9 时，一条渔船从 A 出发，以 12 海里/时的速度向正北航行，11 时到达 B 处，从 A、B 处望小岛 C，测得NAC15，NBC30若小岛周围 12.3 海里内有暗礁，问 该渔船继续向正北航行有无触礁危险？个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司7A AB BC CD D1 15 53 30 0N N分析：分析：作 CDBN 于 D，该渔船有无触礁危险，关键是看 CD 与 12.3 的大小关系，若 CD12.3，则无触礁危险；若 CD12.3，则有触礁危险故解决本题的关键是计算 CD 解：解：作 CDBN 于 D AB12（119）24（海里） 因为NAC15，NBC30， 所以BCANBCNAC301515 所以BCABAC， 所以 BCAB24（海里） （等角对等边） 在CDB 中，CDB90，DBC30，所以 CD BC12（海里） 12因为 1212.3， 所以该渔船继续向正北航行，有触礁危险 知识概括、方法总结与易错点分析知识概括、方法总结与易错点分析评析：（评析：（1）过去我们习惯利用三角形全等来证明线段相等和角相等，通过本例可以看出，有 时利用等腰三角形的性质证明则更为简便由本例还可以看到，图形中若具有很强的“左右对称性” ，可以联想构造“三线合一” （2）解决实际问题的关键是构造直角三角形，把角的问题转化为线段问题针对性练习：针对性练习：例：1. 如图，在ABC 中，C=25，ADBC，垂足为 D，且 AB+BD=CD，则BAC 的度数是多少度。 个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司22、如图，ABC 是边长为 3 的等边三角形，BDC 是等腰三角形，且BDC=120 度以 D 为顶 点作一个 60角，使其两边分别交 AB 于点 M，交 AC 于点 N，连接 MN，则AMN 的周长为多少。3、如图，将边长为 2 个单位的等边ABC 沿边 BC 向右平移 1 个单位得到DEF，则四边形 ABFD 的周长为4、下图是由九个等边三角形组成的一个六边形，当最小的等边三角形边长为 2cm 时，这个六边形的周长为个性化辅导讲义杭州龙文教育科技有限公司杭州龙文教育科技有限公司2