莫比乌斯带 教学设计 1,引导学生认识“莫比乌斯带“的特点2,引导学生操作发现“莫比乌斯带“的奇异性质3,培养学生勇于猜测,操作求证的精神4,培养学生合作精神教学过程:一,提出要求,导入新课师:刚才一进教室,同学们都对桌上花花绿绿的纸条感到好奇,它们就是这节课我们要研 究的对象.你可别看它简单,其中藏着不少数学奥秘呢!课前,老师有一个小小的要求:希望大家 能够大胆地猜想,带着问题参与到课堂上来,做一个学习上的有心人,好吗二,认识“莫比乌斯带“特点1,师出示长方形纸条,让学生说说其二个面四条边的特点.2,你能将它变成二个面二条边吗 生操作.3,你能再想想办法将它变成一个面一条边吗 生操作.这个同学做出来了,一个这样子的纸圈,你们同意吗 有什么想问他的吗(一个面,一条边在哪,为什么会变成一个面一条边的呢 )4,让我们一起来动动手研究一下吧!由做出来的同学介绍“莫比乌斯带“的做法:将其中的一边转 180 度并粘贴起来.(学生动 手操作,可小组合作完成)是不是只有一条边呢 用手沿着其中的一条边能回到原点.如何验证是不是只有一个面呢 (用一笔能将整个纸条画完,回到起点)为什么只有一条边一个面呢 (生小组讨论,回答)5,这个看似简单,普通的小圈原来如此神奇,有趣,你们能给它取个符合它特点又有个性的 名字吗 (生答)你们知道它叫什么吗 (莫比乌斯带)“莫比乌斯带“(板书),为什么呀 是 19 世纪的几何学家莫比乌斯发现的.很久以前有一个 叫莫比乌斯的人,在一个阳光美好的午后,静静的坐在桌前,手中拿着一个长长的纸条,不经意 的把纸条拧了一个圈又把两个头对接了起来.也巧,这时正好有一只小蚂蚁到他的桌面上旅游,他 微笑着对小蚂说:小朋友,到我这个新建筑上来看看吧.于是小心翼翼地把小蚂蚁请到了手中 的纸上,小蚂蚁也许是感到新鲜而又陌生,也就不停的到处游荡,莫比乌斯轻轻的注视着纸上 的小蚂蚁,你们猜,他发现了什么 (小蚂蚁虽没翻越任任何一处的纸边沿,却爬过了纸表面的 每一个地方.)这让莫比乌斯非常惊讶,这个本来是两个面的纸条经他刚才的一接怎么变成只 有一个面了呢 一个伟大的数学发现就这样在不经意间产生了,并且以发现者莫比乌斯的名 字命名.所以同学们平时在学好书本知识的同时,要留心观察生活,更多伟大的发明,发现还等 着用你们的名字命名呢!6,关于“莫比乌斯带“还有一个很有趣的故事.据说有一个小偷偷了一位很老实农民的东 西,并被当场捕获,将小偷送到县衙,县官发现小偷正是自己的儿子.于是在一张纸条的正面写 上:小偷应当放掉,而在纸的反面写了:农民应当关押.县官将纸条交给执事官由他去办理.执事 官不想误判此案,但是又不敢得罪县官,你们猜他怎么做 做成“莫比乌斯带“状能改变结果吗 (生猜)现在你们桌上都有县官的这张判决书,请帮执事官想想办法.(生二人小组合作动手操作 请个别小组上台演示),聪明的执事官将纸条扭了个弯,用手指将两端捏在一起.然后向大家宣 布:根据县太爷的命令放掉农民,关押小偷.县官听了大怒,责问执事官.执事官将纸条捏在手上 给县官看,从“应当“二字读起,确实没错.仔细观看字迹,也没有涂改,县官不知其中奥秘,只好自 认倒霉 三,认识“莫比乌斯带“的性质1,“莫比乌斯带“好玩吗 它还可以变魔术呢!2,刚才我们在圈中画了一条线,猜一猜用剪刀剪开会变成什么(生猜,动手操作.)3,这个大圈是“莫比乌斯带“吗怎么验证 (画线)不是,因为有二个面.为什么会变成二个面呢 旋转了 360 度了.4, 刚才我们是沿正中间减开变成了一个大圈,如果是沿着三分之一的地方剪开又会变成 什么呢 (生猜)验证:一起再做个“莫比乌斯带“,沿着三分之一剪开,变成了二个套在一起的圈,一大一小.5,如果不是旋转 180 度,而是 360 度,或是做成二层,三层的“莫比乌斯带“,剪开,又会有什 么新的发现呢 大家不妨课后猜猜,动手试试!四,认识“莫比乌斯带“的应用1,一个看似简单的小纸圈,竟是如此的神奇,它可不光好玩有趣,还被应用到生活的方方面 面,大家想想,它有些什么用处呢 也可以发挥你们的想象力!(生答:传输带,电话录音磁带,打字机的色带,迷宫,小说星际旅游中的“时间带“)2,老师也收集了一些,让我们一起来看看吧!(课件演示)艾舍尔红蚁:让我们一起来看看蚂蚁在这个“莫比乌斯带“上的运动轨迹吧,由一生 上台演示.北京小区科技园“莫比乌斯圈“状阶梯:小朋友在上面玩会发现什么中国科技馆“三叶扭结“:这是中国科技馆的展品,叫“三叶扭结“.它实际上是由“莫比乌 斯带“演变而成的,这蓝白相间的灯不停地闪烁,乍看是个漂亮的灯饰,但细瞧,它的特点是什么 呀 (只有一面一边)它表示着科学没有国界,各种科学之间没有边界,科学是相互连通的,科学 和艺术也是相互连通的意义呢!“莫比乌斯带“听起来确实挺神奇的,但许多事情,都或多或少如此,没有清晰的界限,就如 成败,看似截然相反的二个方面,一组反义词.但其实不过是一步之遥.只要你努力,失败的教训 会成为成功的基石;如果你骄奢,胜利会转瞬即逝,失败接踵而来.呵呵,原来小小的纸圈上还藏 着做人的大道理呢!五,课后小结今天,一个“莫比乌斯带“给了我们无限的遐想,希望这节课能给同学们有所启发,平时多 留心观察生活,多问为什么,相信更多伟大的发现会在四(3)的 29 个同学身上诞生! 这学期有幸承担学校人文讲坛的任务，原来任四年级数学老师的时候，搜集了许多有关“莫 比乌斯带”的资料，趁着这个阴雨不断的十一长假重新作了整理和修缮。不过很可惜很多图 片都没有办法上转。 讲稿： 神奇的莫比乌斯带同学们一定听过这样一个讲不完的故事：从前有座山，山上有座庙，庙里有个和尚在 讲故事，讲的什么？我们在记录这个故事的时候，可以像我这样用“”来表示故事讲不完，再可爱一点 儿，同学们认识了循环小数，在循环节的首尾各点一点儿表示无限循环下去，我们可以效 仿这样来表示：从前有座山，山上有座庙，庙里有个和尚在讲故事，讲的什么？但如果 我把四句话分别写在一张纸条的正反两面，我们还有办法让这个故事讲不完吗？答案是可 以！我们只要将纸条做一个翻转，然后再粘贴，就能够实现故事无限循环下去。那么大家所看到的这个纸圈在数学的历史上历经多年终于被德国的天文学家莫比乌斯发现了，公元 1858 年，莫比乌斯把这条带子介绍给大家，于是这个纸圈便被命名为莫比乌斯带。今 天中午，我就跟大家一起来看看这条带子的与众不同。一、莫比乌斯带的发现首先让我们一起来重温莫比乌斯带的发现。数学上流传着这样一个故事：有人曾提出，先用一张长方形的纸条，首尾相粘，做成 一个纸圈，然后只允许用一种颜色，在纸圈上的一面涂抹，最后把整个纸圈全部抹成一种 颜色，不留下任何空白。这个纸圈应该怎样粘？如果是纸条的首尾相粘做成的纸圈有两个 面，势必要涂完一个面再重新涂另一个面，不符合涂抹的要求，能不能做成只有一个面、 一条封闭曲线做边界的纸圈儿呢？ 对于这样一个看来十分简单的问题，数百年间，曾有许多科学家进行了认真研究，结 果都没有成功。后来，德国的数学家莫比乌斯对此发生了浓厚兴趣，他长时间专心思索、 试验，也毫无结果。 有一天，他被这个问题弄得头昏脑涨了，便到野外去散步。新鲜的空气，清凉的风， 使他顿时感到轻松舒适，但他头脑里仍然只有那个尚未找到的圈儿。 一片片肥大的玉米叶子，在他眼里变成了“绿色的纸条儿”，他不由自主地蹲下去，摆 弄着、观察着。叶子弯取着耸拉下来，有许多扭成半圆形的，他随便撕下一片，顺着叶子 自然扭的方向对接成一个圆圈儿，他惊喜地发现，这“绿色的圆圈儿”就是他梦寐以求的那 种圈圈。 莫比乌斯回到办公室，裁出纸条，把纸的一端扭转 180，再将两端粘在一起，这样就 做成了只有一个面的纸圈儿。 圆圈做成后，麦比乌斯捉了一只小甲虫，放在上面让它爬。结果，小甲虫不翻越任何 边界就爬遍了圆圈儿的所有部分。莫比乌斯圈激动地说：“公正的小甲虫，你无可辩驳地证 明了这个圈儿只有一个面。 ” 麦比乌斯带就这样被发现了。二、有关莫比乌斯带的小故事“莫比乌斯带”有点神秘，一时又派不上用场，但是人们还是根据它的特性编出了一些 故事，据说有一个小偷偷了一位很老实农民的东西，并被当场捕获，将小偷送到县衙，县 官发现小偷正是自己的儿子。于是在一张纸条的正面写上：小偷应当放掉。而在纸的反面 写了：农民应当关押。县官将纸条交给执事官由他去办理。聪明的执事官将纸条扭了个弯， 用手指将两端捏在一起。然后向大家宣布：根据县太爷的命令放掉农民，关押小偷。县官 听了大怒，责问执事官。执事官将纸条捏在手上给县官看，从“应当”二字读起，确实没错。 仔细观看字迹，也没有涂改，县官不知其中奥秘，只好自认倒霉。县官知道执事官在纸条上做了手脚，怀恨在心，伺机报复。一日，又拿了一张纸条， 要执事官一笔将正反两面涂黑，否则就要将其拘役。执事官不慌不忙地把纸条扭了一下， 粘住两端，提笔在纸环上一划，又拆开两端，只见纸条正反面均涂上黑色。县官的毒计又 落空了。现实可能根本不会发生这样的故事，但是这两个故事却很好地反映出“莫比乌斯带”的 特点。三、奇妙的莫比乌斯带左图所示的带子是由一张纸条的两端粘接而成。纸的一面称为带的内侧，而纸的另一 面则称为带的外侧。我们把这样的曲面叫做“双侧曲面”。如果一只蜘蛛想沿着纸带从外侧 爬到内侧，那么它非得设法跨越带的边缘不可右面这张图所示的是莫比乌斯带，它也是由一张纸条两端粘接而成，不过，在粘接前 一端扭转了 180。现在，所得的纸带已不再具有两面，它只有一个面，一条边，这样的曲面我们就叫它“单侧曲面”。设想一只蜘蛛开始沿着莫比乌斯带爬，那么它能够爬遍整条带 子而无须跨越带的边缘。要证实这一点，只要拿一支铅笔，笔不离纸连续地画线那么， 你将会经过整条的带子，并返回你原先的起点莫比乌斯带的另一个有趣的性质，只要你沿着如下图所示的带子中央的虚线剪开把这 个圈一分为二，照理应得到两个圈儿，奇怪的是，剪开后竟然是一个大圈儿。 如果在纸条上划两条线，把纸条三等分，再粘成“麦比乌斯圈”，用剪刀沿画线剪开， 剪刀绕两个圈竟然又回到原出发点，猜一猜，剪开后的结果是什么，是一个大圈？还是三 个圈儿？都不是。它究竟是什么呢？你自己动手做这个实验就知道了。你就会惊奇地发现， 纸带不仅没有一分为二，反而剪出一个两倍长的纸圈。有趣的是：新得到的这个较长的纸圈，本身却是一个双侧曲面，它的两条边界自身虽 不打结，但却相互套在一起。我们可以把上述纸圈，再一次沿中线剪开，这回可真的一分 为二了！得到的是两条互相套着的纸圈，而原先的两条边界，则分别包含于两条纸圈之中， 只是每条纸圈本身并不打结罢了。同学们如果感兴趣，可以将纸条四等分、五等分，做成莫比乌斯带，剪剪看会出 现什么结果。四、克莱因瓶莫比乌代很神奇，但是，莫比乌斯带具有一条非常明显的边界。这似乎是一种美中不 足。公元 1882 年，另一位德国数学家费力克斯克莱茵（Felix Klein，18491925） ，终于 找到了一种自我封闭而没有明显边界的模型，以他的名字命名的著名“瓶子” “克莱因 瓶”。这种怪瓶实际上可以看作是由一对麦比乌斯圈，沿边界粘合而成。 这是一个象球面那样封闭的（也就是说没有边）曲面，但是它却只有一个面。在图片 上我们看到，克莱因瓶的确就象是一个瓶子。但是它没有瓶底，它的瓶颈被拉长，然后似 乎是穿过了瓶壁，最后瓶颈和瓶底圈连在了一起。如果瓶颈不穿过瓶壁而从另一边和瓶底 圈相连的话，我们就会得到一个轮胎面。我们可以说一个球有两个面外面和内面，如果一只蚂蚁在一个球的外表面上爬行， 那么如果它不在球面上咬一个洞，就无法爬到内表面上去。轮胎面也是一样，有内外表面 之分。但是克莱因瓶却不同，我们很容易想象，一只爬在“瓶外”的蚂蚁，可以轻松地通过 瓶颈而爬到“瓶内”去事实上克莱因瓶并无内外之分！如果把一个克莱因瓶适当地剪开来，我们就能得到两条莫比乌斯带。除了我们上面看到的克莱因瓶的模样，还有一种不太为人所知的“字形”克莱因瓶。 它看起来和上面的曲面完