高中数学高中数学专题训练专题训练（教（教师师版）版）导导数的数的应应用用极极 值值与最与最值值一、选择题1函数 yax3bx2取得极大值和极小值时的 x 的值分别为 0 和 ，则( )13 Aa2b0 B2ab0 C2ab0 Da2b0 答案 D 解析 y3ax22bx，据题意，0、 是方程 3ax22bx0 的两根13 ， a2b0.2b3a13 2(2011江南十校)当函数 yx2x取极小值时，x( )A. B1ln21ln2 Cln2 Dln2 答案 B 解析 由 yx2x得 y2xx2xln2 令 y0 得 2x(1xln2)02x0，x1ln2 3函数 f(x)x33bx3b 在(0,1)内有极小值，则( ) A0b1 Bb1Cb0 Db12 答案 A 解析 f(x)在(0,1)内有极小值，则 f(x)3x23b 在(0,1)上先负后正，f(0) 3b0， b0，f(1)33b0，b1 综上，b 的范围为 0b1 4连续函数 f(x)的导函数为 f(x)，若(x1)f(x)0，则下列结论中正确 的是( ) Ax1 一定是函数 f(x)的极大值点 Bx1 一定是函数 f(x)的极小值点 Cx1 不是函数 f(x)的极值点 Dx1 不一定是函数 f(x)的极值点 答案 B 解析 x1 时，f(x)0 x0，所以当 x1 时，函数取得极小值， 也为最小值当 x1 时，ymin.173 6函数 f(x)的导函数 f(x)的图象，如右图所示，则( )Ax1 是最小值点 Bx0 是极小值点 Cx2 是极小值点 D函数 f(x)在(1,2)上单增 答案 C 解析 由导数图象可知，x0，x2 为两极值点，x0 为极大值点，x2 为 极小值点，选 C.7已知函数 f(x) x3x2 x，则 f(a2)与 f(1)的大小关系为( )1272 Af(a2)f(1) Bf(a2) 时，f(x)0.12x 时取极大值，f( ).12121e1212e二、填空题 9(2011西城区)若 yalnxbx2x 在 x1 和 x2 处有极值，则 a_，b_.答案 2316解析 y 2bx1.ax 由已知Error!，解得Error!10已知函数 f(x) x3bx2c(b，c 为常数)当 x2 时，函数 f(x)取得极13 值，若函数 f(x)只有三个零点，则实数 c 的取值范围为_答案 01，即 m0， 所以不存在实数 a，使得 f(x)是(，)上的单调函数 15已知定义在 R 上的函数 f(x)x2(ax3)，其中 a 为常数 (1)若 x1 是函数 f(x)的一个极值点，求 a 的值； (2)若函数 f(x)在区间(1,0)上是增函数，求 a 的取值范围 解析 (1)f(x)ax33x2，f(x)3ax26x3x(ax2) x1 是 f(x)的一个极值点，f(1)0，a2. (2)解法一 当 a0 时，f(x)3x2在区间(1,0)上是增函数，a0 符 合题意；当 a0 时，f(x)3ax(x )，令 f(x)0 得：x10，x2 .2a2a 当 a0 时，对任意 x(1,0)，f(x)0，a0 符合题意；当 a0， 1，2a4，g(x)g( )3，a3.12 (2)若 f(x)既有极大值又有极小值，则 f(x)0 必须有两个不等的正实数根 x1，x2，即 2x2ax10 有两个不等的正实数根 故 a 应满足Error!Error!a2，当 a2时，22f(x)0 有两个不等的实数根， 不妨设 x10，xx2时 f(x)2时 f(x)既有极大值 f(x2)又有极小值 f(x1)21. 已知 yf(x)是奇函数，当 x(0,2)时，f(x)lnxax(a )，当 x(2,0)12 时，f(x)的最小值为 1，则 a 的值等于_ 答案 1 解析 f(x)是奇函数，f(x)在(0,2)上的最大值为1，当 x(0,2)时，f(x) a，令 f(x)0 得 x ，又 a ，00，则 x ，f(x)在( ，2)上递减，1a1af(x)maxf( )ln a 1，ln 0，得 a1.1a1a1a1a 2设函数 f(x)2x33ax23bx8c 在 x1 及 x2 时取得极值 (1)求 a、b 的值； (2)若对任意的 x0,3，都有 f(x)0；当 x(1,2)时，f(x)0. 所以，当 x1 时，f(x)取得极大值 f(1)58c. 又 f(0)8c，f(3)98c， 则当 x0,3时，f(x)的最大值为 f(3)98c. 因为对于任意的 x0,3，有 f(x)9. 因此 c 的取值范围为(，1)(9，) 3(2010全国卷，文)已知函数 f(x)x33ax23x1. (1)设 a2，求 f(x)的单调区间； (2)设 f(x)在区间(2,3)中至少有一个极值点，求 a 的取值范围 解析 (1)当 a2 时，f(x)x36x23x1，f(x)3(x2)(x2)33当 x(，2)时 f(x)0，f(x)在(，2)上单调增加；33当 x(2，2)时 f(x)0，f(x)在(2，2)上单调减少；3333当 x(2，)时 f(x)0，f(x)在(2，)上单调增加33综上，f(x)的单调增区间是(，2)和(2，)，f(x)的单调减区间33是(2，2)33(2)f(x)3(xa)21a2 当 1a20 时，f(x)0，f(x)为增函数，故 f(x)无极值点； 当 1a20 时，f(x)0 有两个根， x1a，x2a.a21a21由题意知，2a3，a21或 2a3.a21式无解式的解为 a .5453因此 a 的取值范围是( ， )54531(2011合肥质检)“我们称使 f(x)0 的 x 为函数 yf(x)的零点若函数 yf(x)在区间a，b上是连续的，单调的函数，且满足 f(a)f(b)0，f(x)在2,7上单调递减， 又 f(7)6ln83618(ln22)0) (1)当 a1 时，求 f(x)的单调区间；(2)若 f(x)在(0,1上的最大值为 ，求 a 的值12 解析 函数 f(x)的定义域为(0,2)，f(x) a.1x12x(1)当 a1 时，f(x)，所以 f(x)的单调递增区间为(0，)，单调递x22x2x2 减区间为(，2)；2(2)当 x(0,1时，f(x)a0，22xx2x即 f(x)在(0,1上单调递增，故 f(x)在(0,1上的最大值为 f(1)a，因此 a .12 3已知函数 f(x)x33x29xa. (1)求 f(x)的单调递减区间； (2)若 f(x)在区间2,2上的最大值为 20，求它在该区间上的最小值 分析 本题考查多项式的导数公式及运用导数求函数的单调区间和函数的 最值，题目中需注意应先比较 f(2)和 f(2)的大小，然后判定哪个是最大值从而 求出 a. 解 (1)f(x)3x26x9. 令 f(x)3， 函数 f(x)的单调递减区间为(，1)，(3，) (2)f(2)81218a2a， f(2)81218a22a， f(2)f(2) 在(1,3)上 f(x)0， f(x)在(1,2上单调递增 又由于 f(x)在2，1)上单调递减， f(1)是 f(x)的极小值，且 f(1)a5. f(2)和 f(1)分别是 f(x)在区间2,2上的最大值和最小值，于是有 22a20，解得 a2. f(x)x33x29x2. f(1)a57， 即函数 f(x)在区间2,2上的最小值为7. 4(2010天津卷)已知函数 f(x)xex(xR) (1)求函数 f(x)的单调区间和极值； (2)已知函数 yg(x)的图象与函数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称证明 当 x1 时，f(x)g(x)； (3)如果 x1x2，且 f(x1)f(x2)，证明 x1x22. 解析 (1)f(x)(1x)ex. 令 f(x)0，解得 x1. 当 x 变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表： x(，1)1(1，) f(x)0 f(x) 极大值 所以 f(x)在(，1)内是增函数，在(1，)内是减函数函数 f(x)在 x1 处取得极大值 f(1)，且 f(1) .1e (2)由题意可知 g(x)f(2x)，得 g(x)(2x)ex2. 令 F(x)f(x)g(x)，即 F(x)xex(x2)ex2， 于是 F(x)(x1)(e2x21)ex. 当 x1 时，2x20，从而 e2x210，又 ex0.所以 F(x)0.从而函 数 F(x)在1，)上是增函数 又 F(1)e1e10，所以 x1 时，有 F(x)F(1)0，即 f(x)g(x) (3)若(x11)(x21)0，由(1)及 f(x1)f(x2)，得 x1x21，与 x1x2矛盾 若(x11)(x21)0，由(1)及 f(x1)f(x2)，得 x1x2，与 x1x2矛盾 根据得(x11)(x21)0，不妨设 x11，x21. 由(2)可知，f(x2)g(x2)，g(x2)f(2x2)，所以 f(x2)f(2x2)，从而 f(x1) f(2x2)，因为 x21，所以 2x21，又由(1)可知函数 f(x)在区间(，1)内是 增函数，所以 x12x2，即 x1x22.5已知函数 f(x)ax3 ax2，函数 g(x)3(x1)2.32 (1)当 a0 时，求 f(x)和 g(x)的公共单调区间； (2)当 a2 时，求函数 h(x)f(x)g(x)的极小值； (3)讨论方程 f(x)g(x)的解的个数 解 (1)f(x)3ax23ax3ax(x1)，又 a0，由 f(x)0 得 x1，由 f(x)0，(x)的极小值为 ( )a22a 32，由(2)知 (x)的极大值为 ( )4( )2 0，(x)的图象与2a1a3434 x 轴只有一个交点，即方程 f(x)g(x)只有一个解 综上知，若a0，方程f(x)g(x)只有一个解；若a0，方程f(x)g(x) 有三个解