卓卓 育育 文文 化化 教教 育育 机机 构构 2219372022193720 2219431222194312路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 1最短距离问题分析最短距离问题分析 最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终，最值问题是初中数学的重要内容，也是一类综合性较强的问题，它贯穿初中数学的始终， 是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问是中考的热点问题，它主要考察学生对平时所学的内容综合运用，无论是代数问题还是几何问 题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段题都有最值问题，在中考压轴题中出现比较高的主要有利用重要的几何结论（如两点之间线段 最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等）最短、三角形两边之和大于第三边、两边之差小于第三边、垂线段最短等） 。利用一次函数和二。利用一次函数和二 次函数的性质求最值。次函数的性质求最值。 一、一、 “最值最值”问题大都归于两类基本模型：问题大都归于两类基本模型： 、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函、归于函数模型：即利用一次函数的增减性和二次函数的对称性及增减性，确定某范围内函 数的最大或最小值数的最大或最小值 、归于几何模型，这类模型又分为两种情况：、归于几何模型，这类模型又分为两种情况： （1 1）归于）归于“两点之间的连线中，线段最短两点之间的连线中，线段最短” 。凡属于求。凡属于求“变动的两线段之和的最小值变动的两线段之和的最小值”时，时， 大都应用这一模型。大都应用这一模型。 （2 2）归于）归于“三角形两边之差小于第三边三角形两边之差小于第三边”凡属于求凡属于求“变动的两线段之差的最大值变动的两线段之差的最大值”时，大时，大 都应用这一模型。都应用这一模型。 几何模型：几何模型：条件：如图，条件：如图，、是直线是直线 同旁的两个定点同旁的两个定点ABl 问题：在直线问题：在直线 上确定一点上确定一点，使，使的值最小的值最小lPPAPB 方法：作点方法：作点关于直线关于直线 的对称点的对称点，连结，连结交交 于点于点，AlAA BlP 则则的值最小（不必证明）的值最小（不必证明） PAPBA B 模型应用：模型应用：（1 1）如图）如图 1 1，正方形，正方形的边长为的边长为 2 2，为为的中点，的中点，ABCDEAB 是是上一动点连结上一动点连结，由正方形对称性可知，由正方形对称性可知，PACBD 与与关于直线关于直线对称连结对称连结交交于于，则，则BDACEDACP 的最小值是的最小值是_；PBPE（2 2）如图）如图 2 2，的半径为的半径为 2 2，点，点在在上，上，OABC、O ，是是上一动点，上一动点，OAOB60AOCPOB求求的最小值；的最小值；PAPC解：（解：（1 1）的最小值是的最小值是PBPE5DE （2 2）的最小值是的最小值是PAPC2 3【典型例题分析典型例题分析】1.如图所示，正方形如图所示，正方形的面积为的面积为 12，是等边三角形，点是等边三角形，点在正方形在正方形内，内，ABCDABEEABCD 在对角线在对角线上有一点上有一点，使，使的和最小，则这个最小值为（的和最小，则这个最小值为（ ACPPDPE ） A B C3 D2 32 66ADEPBCABAPlABB图 1ABC图 2P卓卓 育育 文文 化化 教教 育育 机机 构构 2219372022193720 2219431222194312路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 2第 4 题Oxy BDACP2如图，抛物线如图，抛物线2124yxx 的顶点为的顶点为 A，与，与 y 轴交于点轴交于点 B(1)求点求点 A、点、点 B 的坐标；的坐标； (2)若点若点 P 是是 x 轴上任意一点，求证：轴上任意一点，求证：PA-PBAB； (3)当当 PA-PB 最大时，求点最大时，求点 P 的坐标的坐标.解：解：(1)令令 x=0，得，得 y=2， B(0，2) 22112(2)344yxxx A(-2，3) (2)证明：证明：.当点当点 P 是是 AB 的延长线与的延长线与 x 轴交点时，轴交点时，PA-PB=AB；.当点当点 P 在在 x 轴上又异于轴上又异于 AB 的延长线与的延长线与 x 轴的交点时，轴的交点时， 在点在点 P、A、B 构成的三角形中，构成的三角形中，PA-PBAB. 综合上述：综合上述：PA-PBAB. (3)作直线作直线 AB 交交 x 轴于点轴于点 P 由由(2)可知：当可知：当 PA-PB 最大时，点最大时，点 P 是所求的点是所求的点 作作 AHOP 于于 H BOOP BOP=AHP，且，且BPO=APH BOPAHP AHHP BOOP由由(1)可知：可知：AH=3、OH=2、OB=2 即即 OP=4， P(4，0)32 2OP OP标为标为1 1 2 2， PED的周长即是的周长即是102CEDE4.4.一次函数一次函数的图象与的图象与 x x、y y 轴分别交于点轴分别交于点 A A（2 2，0 0） ，B B（0 0，4 4） ykxb（1 1）求该函数的解析式；）求该函数的解析式； （2 2）O O 为坐标原点，设为坐标原点，设 OAOA、ABAB 的中点分别为的中点分别为 C C、D D，P P 为为 OBOB 上一动点，上一动点， 求求 PCPCPDPD 的最小值，并求取得最小值时的最小值，并求取得最小值时 P P 点坐标点坐标 解：(1)将点 A、B 的坐标代入 ykxb 并计算得 k2，b4 解析式为：y2x4； (2)设点 C 关于点 O 的对称点为 C，连结 PC、DC，则 PCPCPCPDPCPDCD，即 C、P、D 共线时，PCPD 的最小值是 CD连结 CD，在 RtDCC中，CD2；易得点 P 的坐标为(0，1)22C CCD2(亦可作 RtAOB 关于 y 轴对称的)5.5.已知：抛物线的对称轴为与已知：抛物线的对称轴为与轴交于轴交于两点，与两点，与轴交于点轴交于点其中其中、xAB，yC，3 0A ，（1 1）求这条抛物线的函数表达式）求这条抛物线的函数表达式02C，BOA xyPHBOA xy卓卓 育育 文文 化化 教教 育育 机机 构构 2219372022193720 2219431222194312路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 3（2 2）已知在对称轴上存在一点）已知在对称轴上存在一点 P P，使得，使得的周长最小请求出点的周长最小请求出点 P P 的坐标的坐标PBC解：（1）此抛物线的解析式为224233yxx（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.ACBCBCPBCPCPB 点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点.BAAC1x P设直线的表达式为ACykxb则解得此直线的表达式为30 2kb b ，2 3 2kb 223yx 把代入得点的坐标为1x 4 3y P413，6.6.如图，抛物线如图，抛物线的顶点的顶点 P P 的坐标为的坐标为，交，交 x x 轴于轴于 A A、B B 两点，交两点，交 y y 轴轴2yaxbxc4 313，于点于点(03)C，（1 1）求抛物线的表达式）求抛物线的表达式 （2 2）把）把ABCABC 绕绕 ABAB 的中点的中点 E E 旋转旋转 180180，得到四边形，得到四边形 ADBCADBC 判断四边形判断四边形 ADBCADBC 的形状，并说明理由的形状，并说明理由 （3 3）试问在线段）试问在线段 ACAC 上是否存在一点上是否存在一点 F F，使得，使得FBDFBD 的周长最小，的周长最小， 若存在，请写出点若存在，请写出点 F F 的坐标；若不存在，请说明理由的坐标；若不存在，请说明理由 解：（1）由题意知解得， 抛物线的解析式为 3 3a 2 3 3b 232 3333yxx（第 24 题图）OACxyBEPDACxyBO5 题图题图ACxyBODOxyBEPACDOxyBEPC P卓卓 育育 文文 化化 教教 育育 机机 构构 2219372022193720 2219431222194312路虽远，行则必至；事虽难，做则必成 4 xyOAFEM AMB33（2）设点 A（，0） ，B（，0） ，则，1x2x232 33033xx解得 OA1，OB3又tanOCB1213xx ，|3|OB OCOCB60，同理可求OCA30ACB90 由旋转性质可知 ACBD，BCAD 四边形 ADBC 是平行四边形 又ACB90四边形 ADBC 是矩形 （3）延长 BC 至 N，使假设存在一点 F，使FBD 的周长最小即CNCB最小FDFBDBDB 固定长只要 FD+FB 最小又CABN FD+FBFD+FN当 N、F、D 在一条直线上时，FD+FB 最小 又C 为 BN 的中点， （即1 2FCACF 为 AC 的中点） 又A（1，0） ，C（0，） 点 F 的坐标为 F（，）31 23 2 存在这样的点 F（，） ，使得FBD 的周长最小 1 23 27.7.如图（如图（1 1） ，抛物线，抛物线和和轴的交点为轴的交点为为为的中点，若有一动点的中点，若有一动点，3518 532xxyyMA,OAP自自点处出发，沿直线运动到点处出发，沿直线运动到轴上的某点（设为点轴上的某点（设为点） ，再沿直线运动到该抛物线对称轴上，再沿直线运动到该抛物线对称轴上MxE 的某点（设为点的某点（设为点） ，最后又沿直线运动到点，最后又沿直线运动到点，求使点，求使点运动的总路程最短的点运动的总路程最短的点，点，点的的FAPEF 坐标，并求出这个最短路程的长。坐标，并求出这个最短路程的长。解：如图（1） ，由题意可得（0，3） ，抛物线的对称点AM)23, 0(为，点关于轴的对称点为，点关于抛物线3xMxM)23, 0(