半无限大物体中的移动热源导热阮 登 芳(重庆大学机械工程学院,重庆,400044)摘 要 利用镜像法和热源函数法对移动热源在半无限大物体中的热传导问 题进行了分析,得到了壁面绝热和壁面恒温时常功率平面移动热源在半无限大物 体和表面有散热的半无限长细杆中形成的温度场的精确解。关键词 移动热源;热传导;温度分布中国图书资料分类法分类号 TK1240 引 言移动热源导热问题在工程上有广泛的应用,如电弧焊、 金属材料的热处理及摩擦加热等。为此,许多学者已进行过研究,文献1 ,2分析了平面移动热源在无限大物体中引起的 热传导问题的准稳态工况,指出当时间足够长时,在热源周围出现的是一个稳态温度场。文 献3利用热源函数法分析了平面移动热源在无限大物体和表面有散热的无限长细杆中引 起的热传导问题的非准稳态工况,得到了非准稳态温度响应的精确解。但是,在工程实际中 涉及到的往往是有界区域中的移动热源导热问题,因此确定有界区域中的移动热源在物体中造成的温度响应具有重要的理论和实用意义。笔者利用镜像法将半无限大物体中的移动 热源导热扩展到无限大区域,从而成功地实现了利用热源函数法并结合叠加原理确定半无 限大物体和表面有散热的半无限长细杆中常功率平面移动热源所造成的温度响应,为工程 计算提供了理论依据。1 半无限大物体中的移动热源导热图1 表面绝热时的移动热源导热111 壁面绝热 如图1所示,假定半无限大物体初始温 度为ti, 0后,有 一 均 匀 平 面 热 源q(W/ m2)从x= 0处开始以均匀速度v沿x 轴正方向移动,则移动热源将在物体中引起 一维热传导。 记物体中过余温度为(x,)=t(x,) -ti,为了确定x0区域中移动热源所造成的温度响应,先将物体向x轴的1999年1月重庆大学学报 (自然科学版)Vol.22 第22卷第1期Journal of Chongqing University(Natural Science Edition)Jan.1999收文日期 1998207206第一作者:女,1964年生,讲师,硕士反方向延拓到x-,从而成为无限大物体,同时,为了保证表面x= 0处绝热,必须在xv=q 2cpv2 - exp-v a(x-v)0erfc-x-v 2a+v 2aa-expv a(x+v)erfcx 2a+v aa1变为xvn(6)这表明,对于边界表面绝热的移动热源导热在半无限大物体中造成的温度响应,当时间足够长时,边界效应消失,在热源周围出现的是一个准稳态温度场,其温度分布与移动热 源在无限大物体中引起的一维热传导的准稳态工况相同1 ,2。图2 壁面恒温时的移动热源导热112 壁面恒温 如图2所示,为了保证壁面温度恒定(= 0) ,此时仍将物体向x轴负方向延拓至x-,且在xv(8)(8)表明,对于常功率移动热源在壁温恒定的半无限大物体中造成的温度响应,当时间足够长时,热源前及热源后且接近热源处的温度分布与移动热源在无限大物体中引起的一 维热传导的准稳态工况相同1 ,2,但边界表面附近的温度分布则受到边界条件的限制。(8) 的第1式可改写为 q/cpv= erfx 2a(9)显然,(9)与初始温度为ti、 边界表面过余温度为q/cpv的半无限大物体中的一维不稳态导热问题的温度分布相同。113 计算实例 作为实例,图3给出了a= 2. 510- 5m2/ s的某半无限大物体中平面移动热源导热的典型温度分布。 由图3(a)可见,当壁面绝热时,移动热源在无限大物体中所造成的温度分布随 着时间的推移而逐渐上升,最终达到准稳态工况。 壁面温度的上升规律为=q cpv1 - expv2aerfcv aa动热(10)当壁温恒定时,移动热源在半无限大物体中所造成的温度分布在热源所在平面其温度 最高,而当热源经过该平面后,此平面的温度将随时间的推移逐渐下降,直至为零,如图3(b)所示。96第22卷第1期 阮 登 芳: 半无限大物体中的移动热源导热 图3 移动热源在半无限大物体中造成的温度响应 ?( =/ (q - 1cp- 1v- 1)2 半无限长细杆中的移动热源导热图4 半无限长细杆中的移动热源导热假定半无限长细杆初始温度等于环 境温度tf, 0后,有一作平面移动的常功率热源以均匀速度v从细杆一端沿x轴 正方向移动,同时,细杆以换热系数h向环 境放热,如图4所示。 对于此移动热源非稳态导热问题可转化为相应条件下的半无限 大物体中的非稳态导热问题4,然后利用镜像法进行与前面同样的变换,最后可导出过余温度(=t-tf)分布为:细杆一端绝热=q 4krexp-v 2a(x-v) -r|x-v| xerfc|x-v| 2a-ra-exp-v 2a(x-v) +r|x-v|erfc|x-v| 2a+ra=+expv 2a(x+v) -r(x+v)cerfc(x+v) 2a-raxv-expv 2a(x+v) +r(x+v)源后erfc|x+v| 2a+ra。8(11)细杆一端恒温(= 0)07 重庆大学学报 (自然科学版) 1999年=q 4krexp-v 2a(x-v) -r|x-v|)erfc|x-v| 2a-ratf-exp-v 2a(x-v) +r|x-v|源非erfc|x-v| 2a+ra(-expv 2a(x+v) -r(x+v)erfc(x+v) 2a-ra|+expv 2a(x+v) +r(x+v)xperfc|x+v| 2a+rae(12)其中r=m2+v 2a=2m=hP kA 式中,A为细杆横截面面积(m2) ,P为细杆周长(m) ,k为细杆导热系数(W/ mK) .3 结 论1)分析结果表明,镜像法和热源函数法的有机结合可用于确定有界区域中的移动热源 导热问题的温度分布。2)导出了表面绝热和表面恒温的情况下常功率平面移动热源在半无限大物体和半无 限长细杆中造成的温度响应式(4)、(7)和式(1112) ,丰富和完善了移动热源导热理论,其 结果可供工程计算参考。参考文献1 Eckert E R G,Drake R M.Analysis of Heat and Mass Transfer. s.l. :McGraw2Hill ,1972.2502562 奥齐西克M N著 1 热传导 1 俞昌铭译 1 北京:高等教育出版社,1984.2252443 张洪济 1 移动热源导热的非准稳态精确解 1 见:工程热物理论文集 1 北京:科学出版社,1987.1711764 张洪济 1 热传导 1 北京:高等教育出版社,1992.283338Heat Conduction due to Moving Heat Sources in Semi2infinite BodyRuan Denfang (College of Mechanical Engineering ,Chongqing University)ABSTRACT Combined image method with heat source function method ,heat conduction due tomoving heat sources is analysed in semi2infinite body and cylinder with heat exchanging on its surface.The distribution of temperature is obtained when the wall temperature is constant and the wall heat fluxis zero. The result is useful for engineering calculation.KEYWORDS moving heat source ; heat conduction; temperature distribution(责任编辑 张小强)17第22卷第1期 阮 登 芳: 半无限大物体中的移动热源导热