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【技巧】巧添辅助线:为了完成问题的解答,需在图形中添加一些线,称之为辅助线.辅助 线的添加有利于使题目中的条件集中,能较容易找到一些量之间的关系,进而引刃而解.目 前为止,添加辅助线有以下几类:(供参考) 1) “连接法”看似山重水复疑无路,却也柳暗花明又一村. 2)遇到等腰三角形,可作底边上的高,利用“三线合一” ,依据是全等变换中的“对折” 3)遇到三角形的中线,倍长中线,使延长线段与原中线长相等,构造全等三角形,利用的 思维模式是全等变换中的“旋转” 4)遇到角平分线,可以自角平分线上的某一点向角的两边作垂线段,会给我们带来两个 “惊 喜”Rt和距离相等,所考知识点常常是角平分线的性质定理或逆定理 5)截长法与补短法,具体做法是在某条线段上截取一条线段与特定线段相等,或是将某条 线段延长,是之与特定线段相等,再利用三角形全等的有关性质加以说明这种作法,适 合于证明线段的和、差、倍、分等类的题目 特殊方法:在求有关三角形的定值一类的问题时,常把某点到原三角形各顶点的线段 连 接起来,利用三角形面积的知识解答 【导学 P40 延伸训 练】 1)连接法看似山重水复疑无路,却也柳暗花明又一 村 【例 1】如图,已知A=C=Rt,且 AB=CD,试证明 AD=BC.【练习】已知,如图 AB=AC,且ABD=ACD.试证明 BD=CD.2)等腰三角形中,可作底边上的高. 【例 2】如图,已知 D、E 两点在线段 BC 上,ABAC,ADAE,试说明 BD=CE 的理由.3)倍长中线 【例 3】已知ABC 中,AB=5,AC=3,则中线 AD 的取值范围是_. 【练习】如图,ABC 中,BD=DC=AC,E 是 DC 的中点,求证:AD 平分BAE.4)角平分线上的点向角两边引垂线段ABCDOABCDABCEDEDCBADCBA【例 4】如图,在四边形 ABCD 中,BCBA,ADCD,求证:BAD+C=180【练习】如图 4,在ABC 中,BD=CD,ABD=ACD,求证 AD 平分BAC.5)截长补短【例 5】如图,中,AB=2AC,AD 平分,且 AD=BD,ABCBAC 求证:CDAC【练习】如图,已知ABC 为等边三角形,其边长为 k,DBC 为等腰三角形,BD=CD 且BDC=120过点 D 作PDQ=60,DP、DQ 分别交 AB、AC 于点 M、N,记为,为.AMNCVxABCCVy(1)如图 1,特别地,当 BM=CN 时,易证 BM+CN=MN.此时:()()()2AMNxCAMANMNAMANBMBNAMBMANCNABACkV,于是.3ABCyCABACBCkV22 33xk yk(2)如图 2,当PDQ 绕点 D 旋转,使得 DP、DQ 交线段 AB、AC 于点 M、N 时, (1)中的结论还成立吗?请说明. 【分析】当PDQ 从(1)中的特殊位置旋转至一般的情况时,通 过“截长补短”我们可在图形左边补出一个与NCD 全等的三角 形. 【解答】如图,延长 AB 至 E 使得 BE=CN,连接 DE.因为ABC 为等边三角形,所以ABC=ACB=60; 又 BD=CD 且BDC=120,从而DBC=DCB=30, 于是ABD=ACD=Rt,所以DBE=DCN=Rt;CDBAABCDABCDP QMN图 1ABCDMNPQE图 212在DBE 和DCN 中,,于是DBEDCN,BDCN DBEDCNBECN 所以1=2,DE=CN;又BDC=120, 所以EDN=1+BDN=2+BDN=BDC=120, 又PDQ=60,所以EDM=NDM=60;在EDM 和NDM 中,,所以EDMNDM,所以 MN=ME;而 ME=BM+BEEDMNDMEDNDDMDM 且 CN=BE,所以 ME=BM+CN,即 MN=BM+CN;所以()()()2AMNxCAMANMNAMANBMBNAMBMANCNABACkV,于是.故(1)中的结论仍然成立.3ABCyCABACBCkV22 33xk yk(3)如图 3,当PDQ 绕点 D 旋转,使得 DP、DQ 交 BA、AC 的延长线于点 M、N 时, (1)中 的结论还成立吗?请说明.旋转 【例 6】已知:ABC 中,BC=AC,且C=90.点 D 为 AB 的中点,DMDN,DM,DN 分别交 BC,CA 于点 E,F,当MDN 绕点 D 转动时.(1)写出点 D 到 ABC 三个顶点的距离之间的数量关系;(2)试判断DEF 的形状.ABCDQ NPM图 3ABCDMNEF【作业】 1、如图,OP 是MON 的平分线,请你利用该图形画 一对以 OP 所在直线为对称轴的全等三角形。请你参考这 个作全等三角形的方法,解答下列问题: (1)如图,在ABC 中,ACB 是直角,B=60,AD、CE 分别是BAC、BCA 的平分线,AD、CE 相交于点 F。请你判断并写出 FE 与 FD 之间的数量关系; (2)如图,在ABC 中,如果ACB 不是直角,而(1)中的其它条件不变,请问,你在 (1)中所得结论是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由。2、已知四边形中,ABCDABADBCCDABBC120ABC o,绕点旋转,它的两边分别交(或它们的延长线)于60MBN oMBNBADDC,EF,当绕点旋转到时(如图 1) ,易证MBNBAECFAECFEF 当绕点旋转到时,在图 2 和图 3 这两种情况下,上述结论是否成立?MBNBAECF 若成立,请给予证明;若不成立,线段,又有怎样的数量关系?请写出你的AECF,EF 猜想,不需证明OPAMNEBCDFACE FBD图图图(图 1)ABCDEFMN(图 2)ABCDEFMN(图 3)ABCDEFMN
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