积积 分分整个高数课本,我们一共学习了不定积分,定积分,重积分(二重,三重),曲线积分(两类),曲面积分(两类).在此,我们对 积分总结,比较,以期同学们对积分有一个整体的认识.一、不定积分不定积分是微分的逆运算,其计算方法、各种技巧是我们后面各种积分计算的基础，希望同学们熟记积分公式，及各 种方法(两类换元,分部积分,有理函数积分等)二、定积分1.定义式:( )baf x dx2.定义域:一维区间,例如 , a b3.性质:见课本 P229-P232特殊:若,则,即区间长度.1f ( )baf x dxba4.积分技巧:奇偶对称性.注意:定积分中积分变量可以任意替换即,而不定积分不具有这种性质.( )( )bbaaf x dxf y dy5.积分方法:与不定积分的方法相同.6.几何应用:定积分的几何意义: 表示以为顶与轴所夹区域面积的代数和(注意如,则面积为负);( )baf x dx( )f xx( )0f x 其他应用:如表示截面积,则积分为体积;平面弧长等.( )f x2( ) 1 ( )baf xy xdx三、二重积分1.定义式: ( , )xyDf x y d2.定义域:二维平面区域3.性质:见下册课本 P77 特殊: 若,则,即为的面积.1f ( , )xyDf x y dxdySSxyD4.坐标系:直角坐标系:型区域,型区域XY 极坐标系:适用范围为圆域或扇形区域,注意坐标转换后不要漏掉,积分时一般先确定的范围,再确定的范围.rr 5.积分技巧:奇偶对称性(见后),质心; 6.几何应用:二重积分的几何意义:若,则表示以为顶以为底的曲顶柱体体积;( , )0f x y ( , )xyDf x y dxdy( , )f x yxyD其他应用:求曲面的面积( , )zz x y221xyxyDzz dxdy四、三重积分1.定义式( , , )f x y z dv 2.定义域:三维空间区域; 3.性质:与二重积分类似;特殊: 若,则,其中表示的体积.1f ( , , )f x y z dvV V4.坐标系:直角坐标系:投影法,截面法(一般被积函数有一个自变量,而当该变量固定时所得截面 积易求时采用)柱坐标系:积分区域为柱形区域,锥形区域,抛物面所围区域时可采用;球坐标系:积分区域为球域或与球面相关的区域时,确定自变量范围时,先,后,最后 .r5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性(见后),质心等.6.应用: 表示密度,则为物体质量.(不考虑几何意义)( , , )f x y z( , , )f x y z dv 五、第一类曲线积分1.定义式:(二维) (三维)( , ) Lf x y ds|( , , ) Lf x y z ds2.定义域:平面曲线弧 空间曲线弧|3.性质:见课本 P128特殊: 则,表示曲线弧长.1f Lfdsss4.计算公式(二维为例):22( , )( ( ),( ) 1( )( )bLaf x y dsftttt dt:( ),( ), , L xtyt ta b类似可推出的公式.注意化为定积分时下限小于上限.:( ), , L yy x xa b5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心; 6.几何应用:见上 3. 六、第二类曲线积分1.定义式: (二维) ( , )( , ) LP x y dxQ x y dy(三维)( , , )( , , )( , , ) LP x y z dxQ x y z dyR x y z dy2.定义域:有向平面曲线弧(二维)或有向空间曲线弧(三维) 3.性质:见课本 P135 4.计算公式: ( , )( , ) ( ( ),( )( )( ( ),( )( ) ( ,( )( ,( )( )bLadcP x y dxQ x y dyPtttQttt dtP x f xQ x f xfx dx 注意:曲线积分化为定积分时,下限为起始点,上限为终点. 5.积分技巧:二维曲线积分可以应用格林公式(注意使用条件).积分与路径无关. 不能使用奇偶对称性. 6.应用:力做功. 七、第一类曲面积分1.定义式: ( , , )f x y z dS 2.定义域:空间曲面注意:空间曲面与坐标面重合或平行时,即为二重积分,故二重积分时第一类曲面积分的特例. 3.性质:见课本:与第一类曲线积分类似特殊: 则,表示曲线面积.1f ( , , )f x y z dSS S4.计算公式:类似可得在另两个曲面上的投影公式.22( , , )( , , ( , ) 1xyxyDf x y z dSf x y z x yzz dxdy 注意对于特殊的曲面如柱面考虑使用柱坐标,曲面考虑使用球坐标. 5.积分技巧:奇偶对称性,变量对称性,质心. 6.几何应用:见上 3. 八、第二类曲面积分1.定义式PdydzQdzdxRdxdy 2.定义域:有向空间曲面 3.性质:见课本 P1624.计算公式: ,类似可得另两个.( , , )( , , ( , )xyDR x y z dxdyR x y z x y dxdy 5.积分技巧:高斯公式,循环对称性.不能使用奇偶对称性. 注:要熟练掌握使用高斯公式做第二类曲面积分的题目,使用时要注意曲面方向以及是否封 闭. 6.应用:求流量,磁通量等. 奇偶对称性:定积分:若积分区间关于原点对称,例如 , a a若关于为奇函数,则( )f xx( )0aaf x dx 若关于为偶函数,则( )f xx 0( )2( )aaaf x dxf x dx 二重积分:若积分区域关于轴对称,记为的部分Dy1D0x 若关于为奇函数,则( , )f x yx( )( )( , )( , )0x yDx yf x y dxdydyf x y dx 若关于为偶函数,则( , )f x yx1( )( )( )0( , )( , )2( , )2( , )x yx yDx yDf x y dxdydyf x y dxdyf x y dxf x y dxdy 同样可以得到积分区域关于轴对称时, 关于为奇、偶函数的公式.Dx( , )f x yy三重积分: 若积分区域关于面对称,记为的部分xoy10z 若关于为奇函数,则( , , )f x y zz( , )( , )( , , )( , , )0z x yz x yf x y z dxdydzdxdyf x y z dz 若关于为偶函数,则( , , )f x y zz1( , )( , )( , )0( , , )( , , )2( , , )2( , , )z x yz x yz x yf x y z dxdydzdxdyf x y z dzdxdyf x y z dzf x y z dxdydz同样可以得到区域关于另两个曲面对称的情况. 例题:P123#1(1)(2) P124#2(4)第一类曲线积分:若积分曲线关于轴对称,记为的部分Ly1L0x 若关于为奇函数:( , )f x yx( , )0 Lf x y ds 若关于为偶函数:( , )f x yx1( , )2( , ) LLf x y dsf x y ds同样可以得到曲线关于轴对称的情况.x第一类曲面积分:若积分曲面关于面对称,记为的部分,xoy10z 若关于为奇函数:( , , )f x y zz( , , )0f x y z dz 若关于为偶函数:( , , )f x y zz1( , , )2( , , )f x y z dzf x y z dz 同样可以得到曲面关于另两个坐标面对称的情况. 例题:课本 P158#6(3),P184#2 变量对称性:一般在做重积分、曲面积分时使用，使用时要注意曲面或区域必须是关于变量是对称的,即对于曲面方程自变量相互替换后方程不改变,例如等,此时2222,1xyzRxyz( )( )( )f x dSf y dSf z dS 例题 1:其中为球面被平面所截的曲线.2,Ix ds 2222xyza0xyz例题 2: 其中为球面22() d ,IxyS 2222().xyzxyz循环对称性(适用第二类曲面积分):若积分曲面满足变量对称,而且中依次替换,即,P Q R, ,x y z后积分表达式不改变,则可以使用该对称性,有,xy yz zx3PdydzQdzdxRdxdyRdxdy 例题:课本 168 页#3(4)质心:适用重积分,第一类积分.请同学们思考如何区别各种积分?(定义域)区别:以下两个例题应该怎样算?,222222() d ,()xyzSxyzdxdydz 其中22222222:,:xyzRxyzR