第 1 页第第 4 讲讲 万有引力与航天万有引力与航天自主学习回顾自主学习回顾知识点一知识点一 万有引力定律的内容、公式及适用条件万有引力定律的内容、公式及适用条件 知识梳理知识梳理 1内容：内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的大小与物体的质量 m1和 m2的乘积成 ，与它们之间的距离 r 的 成反比2公式：公式：，其中 G Nm2/kg2叫引力常221 rmmGF 量 3适用条件：适用条件：公式适用于 间的相互作用也适用于两个质量分布均匀的球体间 的相互作用，但此时 r 是 间的距离，一个均匀球体与球外一个质点的万有引 力也适用，其中 r 为球心到 间的距离 要点深化要点深化 1万有引力和重力的关系万有引力和重力的关系万有引力对物体的作用效果可以等效为两个力的作用，一个是重力 mg，另一个是物体随地球自转需要的向心力 F 向，如图 441 所示，可 知：(1)地面上的物体的重力随纬度的增大而增大故重力加速度 g 从赤道 到两极逐渐增加(2)在两极：重力等于万有引力，重力加速度最大 (3)在赤道：F万F向mg故2 2mRrMmGmg(4)由于地球的自转角速度很小，地球的自转带来的影响很小，一般情况下认为：，故 GMgR2，这是万有引力定律应用中经常用到的“黄金代mgRMmG2换” (5)距地面越高，物体的重力加速度越小，距地面高度为 h 处的重力加速度为：ghRRg2/)(其中 R 为地球半径，g 为地球表面的重力加速度 2万有引力定律的基本应用万有引力定律的基本应用 (1)基本方法：把天体(或人造卫星)的运动看成是匀速圆周运动，其所需向心力由 提供(2)“万能”连等式第 2 页mvTmrmrrvmmamgrMmGr 2222 )2(其中 g r为距天体中心 r 处的重力加速度 针对训练针对训练 1假如一做圆周运动的人造地球卫星的轨道半径增加到原来的 2 倍，仍做圆周运动，则( ) A根据公式 vr 可知卫星运动的线速度将增大到原来的 2 倍B根据公式，可知卫星所需的向心力将减小到原来的 1/2rvmF2 C根据公式可知地球提供的向心力将减小到原来的 1/42rMmGF D根据上述 B 和 C 中给出的公式可知，卫星运行的线速度将减小到原来的22知识点二知识点二 人造卫星人造卫星 知识梳理知识梳理 1应用万有引力定律分析天体运动的方法应用万有引力定律分析天体运动的方法把天体运动看成是 运动，其所需的向心力由天体间的万有引力提 供_ mamgrMmGr2应用时可根据实际情况选用适当的公式进行分析和计算 特别提醒特别提醒 三个近似三个近似 近地卫星贴近地球表面运行，可近似认为做匀速圆周运动的半径等于地球半径； 在地球表面随地球一起自转的物体可近似认为其重力等于地球对它的万有引力； 天体的运动轨道可近似看作圆轨道 2关于同步卫星的五个关于同步卫星的五个“一定一定” (1)轨道平面一定：轨道平面与 共面 (2)周期一定：与地球自转周期 ，即 T24 h. (3)角速度一定：与地球自转的角速度 (4)高度一定：由，得同步卫星离地面的高度22 2)()2()(hRTmhRMmGh 3.6107 m. (5)速度一定：v 3.1103 m/s. 要点深化要点深化 1两种加速度两种加速度卫星的向心加速度和随地球自转的向心加速度的比较卫星的向心加速度和随地球自转的向心加速度的比较卫星的向心加速度物体随地球自转的向心加速度第 3 页产生 万有引力万有引力的一个分力(另一分力为重力)方向 指向地心垂直指向地轴大小a(地面附近 a 近似为 g)2/ rGMga，其中 r 为地面上某点到ra2 地球地轴的距离变化 随物体到地心距离 r 的增大而减小从赤道到两极逐渐减小2. 两个半径两个半径天体半径天体半径 R 和卫星轨道半径和卫星轨道半径 r 的比较的比较 卫星的轨道半径是天体的卫星绕天体做圆周运动的圆的半径，所以 rRh当卫星 贴近天体表面运动时，h0，可近似认为轨道半径等于天体半径3两种周期两种周期自转周期和公转周期的比较自转周期和公转周期的比较自转周期是天体绕自身某轴线运动一周的时间，公转周期是卫星绕中心天体做圆周运 动一周的时间一般情况下天体的自转周期和公转周期是不等的，如：地球自转周期为 24 小时，公转周期为 365 天但也有相等的，如月球，自转、公转周期都约为 27 天，所以地 球上看到的都是月球固定的一面，在应用中要注意区别针对训练针对训练 22009 年 2 月 11 日，俄罗斯的“宇宙2251”卫星和美国的“铱33”卫星在西伯利亚上空 约 805 km 处发生碰撞这是历史上首次发生的完整在轨卫星碰撞事件碰撞过程中产生的 大量碎片可能会影响太空环境假定有甲、乙两块碎片，绕地球运动的轨道都是圆，甲的 运动速率比乙的大，则下列说法中正确的是( ) A甲的运动周期一定比乙的长 B甲距地面的高度一定比乙的高 C甲的向心力一定比乙的小 D甲的加速度一定比乙的大3我国正在自主研发“北斗二号”地球卫星导航系统，此系统由中轨道、高轨道和同步卫 星等组成，可将定位精度提高到“厘米”级，会在交通、气象、军事等方面发挥重要作 用已知三种卫星中，中轨道卫星离地最近，同步卫星离地最远，则下列说法中正确的是( ) A中轨道卫星的线速度小于高轨道卫星的线速度B中轨道卫星的角速度小于同步卫星的角速度C若一周期为 8 h 的中轨道卫星，某时刻在同步卫星的正下方，则经过 24 h 仍在该同 步卫星的正下方 D高轨道卫星的向心加速度小于同步卫星的向心加速度知识点三知识点三 三种宇宙速度三种宇宙速度 知识梳理知识梳理宇宙速度数值 (km/s)意 义第一宇宙速度7.9这是发射绕地球做圆周运动卫星的最小发射速度，若 7.9 km/sv11.2 km/s，物体绕 运行(环绕速度)第 4 页第二宇宙速度11.2这是物体挣脱地球引力束缚的最小发射速度，若 11.2 km/sv16.7 km/s，物体绕 运行(脱离速度)第三宇宙速度16.7这是物体挣脱太阳引力束缚的最小发射速度，若 v16.7 km/s，物 体将脱离 在宇宙空间运行(逃逸速度)特别提醒特别提醒 (1)三种宇宙速度均指的是发射速度，不能理解为环绕速度 (2)第一宇宙速度既是最小发射速度，又是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度要点深化要点深化 1如何推导出第一宇宙速度？如何推导出第一宇宙速度？ 由于在人造卫星的发射过程中，火箭要克服地球的引力做功，所以将卫星发射到离地 球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，故人造卫星的最小发射速度对应将卫星 发射到近地表面运行，此时发射时的动能全部转化为绕行的动能而不需要转化为重力势 能根据论述可推导如下： ，RvmRMmG2 1 2skmRGMv/9 . 71或， Rvmmg2 1skmgRv/9 . 712两种速度两种速度环绕速度与发射速度的比较环绕速度与发射速度的比较(1)不同高度处的人造卫星在圆轨道上运行速度即环绕速度v 环绕，其大rGMv环绕小随半径的增大而减小但是，由于在人造地球卫星发射过程中火箭要克服地球引力做功， 增大势能，所以将卫星发射到离地球越远的轨道，在地面上所需的发射速度就越大，此时 v发射v环绕 (2)人造地球卫星的最小发射速度应是卫星发射到近地表面运行，此时发射动能全部作 为绕行的动能而不需要转化为重力势能此速度即为第一宇宙速度，此时 v发射v环绕针对训练针对训练 42009 年 3 月 7 日(北京时间)世界首个用于探测太阳系外类地行星的“开普勒”号太空望 远镜发射升空，在银河僻远处寻找宇宙生命假设该望远镜沿半径为 R 的圆轨道环绕太阳 运行，运行的周期为 T，万有引力恒量为 G.仅由这些信息可知( ) A “开普勒”号太空望远镜的发射速度要大于第三宇宙速度B “开普勒”号太空望远镜的发射速度要大于第二宇宙速度C太阳的平均密度D “开普勒”号太空望远镜的质量5已知地球半径为 R，地球表面重力加速度为 g，不考虑地球自转的影响 (1)推导第一宇宙速度 v1的表达式；第 5 页(2)若卫星绕地球做匀速圆周运动，运行轨道距离地面高度为 h，求卫星的运行周期 T解题思路探究解题思路探究题型题型 1 万有引力定律在天体运动中的应用万有引力定律在天体运动中的应用 【例例 1】 “嫦娥一号”于 2009 年 3 月 1 日下午 4 时 13 分成功撞月，从发射到撞月历时 433 天，标志我国一期探月工程圆满结束其中，卫星发射过程先在近地圆轨道绕行 3 周， 再长途跋涉进入近月圆轨道绕月飞行若月球表面的重力加速度为地球表面重力加速度的 1/6，月球半径为地球半径的 1/4，根据以上信息得( ) A绕月与绕地飞行周期之比为B绕月与绕地飞行周期之比为 C绕月与绕地飞行向心加速度之比为 16 D月球与地球质量之比为 196以题说法以题说法 1两条线索 (1)万有引力提供向心力 F引F向(2)重力近似等于万有引力提供向心力 2两组公式rTmrmrvmrMmG2222)2(g r为轨道所在处重力加速度)rTmrmrvmmgr222 )2(3应用实例 (1)天体质量 M、密度的估算 测出卫星绕天体做匀速圆周运动的半径 r 和周期 T，由得，R 为天体的半rTmrMmG2 2)2(2324 GTrM3233334RGTrRM VM径当卫星沿天体表面绕天体运行时，rR，则23 GT第 6 页(2)卫星的绕行速度、角速度、周期与半径 R 的关系由得知：r 越大，v 越小rvmrMmG22rGMv 由得知：r 越大，越小rmrMmG2 23rGM由得知：r 越大，T 越大rTmrMmG2 2)2(GMrT324变式训练变式训练 11 2008 年 9 月 27 日“神舟七号”宇航员翟志刚顺利完成出舱活动任务，他的第一次 太空行走标志着中国航天事业全新时代的到来(如图 442 所示) “神舟七号”绕地球做 近似匀速圆周运动，其轨道半径为 r，若另有一颗卫星绕地球做匀速圆周运动的半径为 2r，则可以确定( ) A卫星与“神舟七号”的加速度大小之比为 14 B卫星与“神舟七号”的线速度大小之比为 1 C翟志刚出舱后不再受地球引力 D翟志刚出舱任务之一是取回外挂的实验样品，假如不 小心实验样品脱手，则它做自由落体运动12 近年来，人类发射的多枚火星探测器已经相继在火星上着陆，正在进行着激动人心 的科学探究，为我们将来登上火星、开发和利用火星资源奠定了坚实的基础如果火星探 测器环绕火星做“近地”匀速圆周运动，并测得该运动的周期为 T，则火星的平均密度 的表达式为(k 为某个常数)( )A BkT CkT2 DTk2Tk题型题型 2 天体