2007-2008 学年学年 第第 2 学期学期 期末考试试卷期末考试试卷 线性代数课程试题(A 卷) 共共 3 页页 第第 1 页页考考试说试说明明：本课程为闭卷考试，考试时间 100 分钟。 满分为：100 分一填 空题（每题 3 分，共 15 分）1设的基为，则在基下的坐3R123111 0 ,1 ,1 001 1 2 3 123, 标为 。2已知方阵，且满足方程，则的逆矩阵 A220AAIA1A。3设为 3 阶实对称矩阵, 向量,分别对应于特征值AT5 , 2 , 11Tkk3 ,2 ,2和的特征向量, 则 。23k4若矩阵的秩，则 。123 235 36A t ( )2r A t 5设为 3 阶矩阵，且，则 。,A B2,3AB12AB二单 项选择题（每题 3 分，共 15 分）1向量组线性相关的充要条件是( )。12,(2)mm L(A) 中至少有两个向量成正比；m,21L(B) 中至少有一个零向量；m,21L(C) 中至少有一个向量可由其余的向量线性表示；m,21L题号一二三四五六总分得分优选专业优选专业年年级级 XXXXXX XXXXXXXX 学号学号 姓名姓名 授课教师授课教师 座号座号 -装装装-订订订-线线线-(D) 中任一部分组线性相关。m,21L2已知阶行列式，则下列表述正确的是（ ） 。n0A （A）行列式主对角线上的元素全为零；A（B）的行向量组线性相关；A（C）方程仅有零解； 0AX （D）的秩为。*An3设为同阶方阵，下列结论成立的有（ )。,A B C(A）； （B）；ABBA111()ABAB（C）若，则； （D）。ACBCBC()TTTABAB4已知元非齐次线性方程，为方程对应的齐次线性方nAXb0AX AXb 程组，则有（ ） 。（A）若只有零解，则有惟一解；0AX AXb（B）有惟一解的充要条件是；AXb( )r An（C）有两个不同的解，则有无穷多解；AXb0AX （D）有两个不同的解，则 的基础解系中含有两个以上向量。AXb0AX 5行列式的充要条件是（ ） 。12021k k（A）； （B）；（C）或；（D）且。1k 3k 1k 3k 1k 3k 三计算下列各题（32 分）1. 求阶行列式的值。n011 101110D L L LLLL L2设矩阵满足方程，求矩阵。B2511 1310BB3设, 求，及。123 231A301211BBA32ABTAB4求矩阵的特征值与特征向量。324 202 423A 四求向量组，1234( 1, 1,0,0) ,(1,2,1, 1) ,(0,1,1, 1) ,(1,3,2,1)TTTT 的一个极大无关组, 并将其余向量用这个极大无关组线性表示。5(2,6,4, 1)T（10 分）五设二次型，利用正交变换法将二次型化222 1231231 3( ,)22f x x xxxxx xf为标准型，并写出正交矩阵。 （10 分）六设线性方程组试确定的值，使方程组有解，并求出1234123412342202132xxxxxxxxxxxxa a其全部的解。 （10 分）七 （8 分）设向量组中，前个向量线性相关，后个12,(3)nn L1n1n向量线性无关，试证明：（1）可表示为的线性组合；121,nL（2）不能不能表示为的线性组合。n11,nL2007-2008 学年 第 2 学期线性代数A 卷答案一填 空题（每题 3 分，共 15 分）1； 2 ； 3 ； 4 ； 5 ( 1, 1,3)T 11()2AAI3k 3t 。11623AB二选 择题（每题 3 分，共 15 分）1C; 2B ; 3D ; 4C ; 5D。三计算下列各题（解法不唯一，答案仅供参考，下同。 ）1. 。2 。 1( 1)(1)nn83 31B3, 。224 442AB96732271AB01 78TAB4，得。所对应的特征向量2(1) (8)IA1231,8 1,所对应的特征向量。( 1,2,0) ,( 1,0,1)TT38(2,1,2)T四解：作矩阵，对其进行初等行变换化为阶梯形矩阵，12345(,)A 10101011020001100000A 极大无关组为，且，。124, 31251242五解：二次型对应的矩阵为，特征多项式为，101 020 101A 2(2)IA 从而，.所对应的特征向量有及。1232,0122(0,1,0)T(1,0,1)T所对应的特征向量。正交单位化后得30( 1,0,1)T，11211,(,0,) ,22TYX Y311(,0,)22TY因此， 。二次型的标准型为。12311022 ( ,)100 11022QY Y Y 22 1222fyy六解：，因此，当时，方程组有解。12120 ( , )05151 00001A b a 1a 一般解为：。122131,0,0,1,00,1,0,15555TT TXkk七证明：（1）由题设知线性无关，又线性相关，所以21,nL11,nL可表示为的线性组合。121,nL（2）反证法。若能表示为的线性组合，由（1） ，能表示为n11,nLn的线性组合，所以线性相关，矛盾。21,nL2,nL