绝密绝密启用前启用前 试卷类型：试卷类型：A A20152015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）数学（理科）一、选择题（本大题共一、选择题（本大题共 8 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 40 分在每小题给出的四个选项中，只有分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项是符合题目要求的 ）1、若集合，则（ ）410x xx 410x xx IA B C D 1,41, 4 02、若复数（ 是虚数单位） ，则（ ）32ziiiz A B C D23i23i32i32i3、下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是（ ）A B C D21yx1yxx122x xy xyxe4、袋中共有个除了颜色外完全相同的球，其中有个白球， 个红球从袋中任取个球，151052所取的个球中恰有 个白球， 个红球的概率为（ ）211A B C D5 2110 2111 2115、平行于直线且与圆相切的直线的方程是（ ）210xy 225xyA或 B或250xy250xy250xy250xyC或 D或250xy250xy250xy250xy6、若变量，满足约束条件，则的最小值为（ ）xy4581302xyxy 32zxyA B C D423 5631 57、已知双曲线的离心率，且其右焦点为，则双曲线的方程为（ C:22221xy ab5 4e 2F 5,0C）A B C D22 143xy22 1916xy22 1169xy22 134xy8、若空间中个不同的点两两距离都相等，则正整数的取值（ ）nn A至多等于 B至多等于 C等于 D大于345 5 二、填空题（本大题共二、填空题（本大题共 7 小题，考生作答小题，考生作答 6 小题，每小题小题，每小题 5 分，满分分，满分 30 分分 ） （一）必做题（一）必做题（1113 题）题）9、在的展开式中，的系数为 41x x10、在等差数列中，若，则 na3456725aaaaa28aa11、设的内角，的对边分别为， 若，则CAACabc3a 1sin2 C6b 12、某高三毕业班有人，同学之间两两彼此给对方仅写一条毕业留言，那么全班共写了40条毕业留言 （用数字作答）13、已知随机变量服从二项分布，若，则 , n p 30 D20 p （二）选做题（二）选做题（14、15 题，考生只能从中选作一题）题，考生只能从中选作一题）14、 （坐标系与参数方程选做题）（坐标系与参数方程选做题）已知直线 的极坐标方程为，点的极坐l2 sin24A标为，则点到直线 的距离为 72 2,4AAl15、 （几何证明选讲选做题）（几何证明选讲选做题）如图 ，已知是圆的直径，1A ，是圆的切线，切点为，过圆心4A CCC1 作的平行线，分别交和于点和点，则CCCADD三、解答题16.（本小题满分 12 分）在平面直角坐标系中，已知向量xoy22(,),(si n, cos),(0,)222mnxxxu rr(1) 若，求的值；mnu rr t anx(2) 若与的夹角为，求的值.mu r nr3x17. （本小题满分 12 分）某工厂 36 名工人年龄数据如下表（1）用分成抽样法从 36 名工人中抽取容量为 9 的样本，且在第一分段里用随机抽样法抽到的年龄数据为 44，列出样本的年龄数据；（2）计算（1）中样本的均值和方差；x2s（3）36 名工人中年龄在和之间有多少人？所占百分比是多少（精确到 0.01）？xsxs18.（本小题满分 14 分）如图 2，三角形所在的平面与长方形所在的平面垂直，PD CABC D，点是的中点，点分别在线段上，且4,6,3PDPCABBCEC D、FG、ABBC.2,2AFFB C GG B(1) 证明：；PEFG(2) 求二面角的正切值；PADC(3) 求直线与直线所成角的余弦值.PAFG19. （本小题满分 14 分）设，函数1a2( )(1)xf xx ea(1) 求的单调区间；( )f x(2) 证明在上仅有一个零点；( )f x(,) (3) 若曲线在点 P 处的切线与 x 轴平行，且在点处的切线与直线 OP 平行， （O 是坐标()yf xM （m , n）原点） ，证明：.321mae20. （本小题满分 14 分）已知过原点的动直线与圆相交于不同的两点 A、B.l22 1:650Cxyx(1) 求圆的圆心坐标；1C(2) 求线段 AB 的中点 M 的轨迹 C 的方程；(3) 是否存在实数 k,使得直线与曲线 C 只有一个交点？若存在，求出 k 的取值范围；:(4)lyk x若不存在，说明理由.21. （本小题满分 14 分）数列满足：.a n* 12122. . . . . .3,2nnnaananN(1) 求的值；3a(2) 求数列的前 n 项和；a nnT(3)令证明：数列的前项和满足1 11111,(1. . . . . .) (2),23n nnTba ba nnnnbnSn22l nnSn20152015 年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）年普通高等学校招生全国统一考试（广东卷）数学（理科）参考答案数学（理科）参考答案 一、选择题1-8：DADB，ABCB二、填空题9、610、1011、112、156013、14、15、81 35 2 2三、解答题16（1）由题意知，mnu rr0m n u r rg由数量积坐标公式得，22sincos022xxtan1x （2）与的夹角为mu r nr3由向量的夹角公式22sincos122cos,1 12| |xxm nm nmn u r ru r rgu rrg1sin()42x又，(0,)2x(,)44 4x ，即46x5 12x所以的值为。x5 1217、 （1）由分层抽样知：36 人分成 9 组，每组 4 人，其中第一组的工人年龄为 44，所以其编号为 2所有样本数据的编号为：42,(1,2,9)nnL L其数据为：44，40，36，43，36，37，44，43，37；（2）由平均值公式知：444037409xL L由方差公式知：22221100(4440)(4040)(3740) 99s L L（3）因为，2100 9s 10(3,4)3s 所以 36 名工人中年龄在和之间的人数等于区间的人数；xsxs37,43即 40，40，41，39，共 23 人。所以 36 名工人中年龄在和之间的人数的百分比为。xsxs2363.89%3618（1）在中，为的中点，且PCDECDPCPDPECD又平面平面，且平面 平面= ，平面PCDABCDPCDIABCDCDPEPCD平面PE ABCD又平面FG ABCDPE FG（2）由（1）知平面，且平面PE ABCDAD ABCDPE AD又四边形是长方形，ABCDADCD又PECDEI平面，AD PCDADPD为二面角的平面角PDEPADC，6ABCD3DE 在中，RtPED2222437PEPDDE7tan3PEPDEDE所以所求二面角的正切值为PADC7 3（3）连接，在中，ACABC2,2AFFG CGGB，由异面直线所成角的定义知：/ /FGAC直线与直线所成的角的大小为PAFGPAC在中，RtPDA225PAPDAD223 5ACABBCPC42222545 169 5cos2252 5 3 5PAACPCPACPA AC g所以直线与直线所成的角的余弦值为PAFG9 5 2519（1）的定义域为( )f xR由导数公式知22( )2(1)(1),xxxfxxex exexR对任意，都有xR( )0fx 的单调递增区间为，无减区间。( )f x(,) （2）由（1）知在单调递增，且( )f x(,) (0)10fa 而11(1)(1)aafaaeaa e，1a 10a 10a 11ae110ae (1)0fa使得，0(0,1)xa0()0f x又在是单调函数( )f x(,) 在上仅有一个零点。( )f x(,) （3），令，解得2( )(1)xfxxe( )0fx 1x 点，2( 1,)Pae2OPKae又在处的切线与直线平行，( )f x( , )M m nOP( )OPfmK即22(1)mmeae而要证：321mae只需证：，而32(1)mae22(1)mmeae只需证：32(1)(1)mme即只需证：1mme 构造函数，( )1,xh xexxR( )1xh xe令，解得，解得( )0h x 0x ( )0h x 0x 在单调递减，在单调递增。( )1xh xex(,0)(0,)，即( )(0)0h xh1xex1mme ，得证。321mae20、 （1）由圆的方程化为标准方程得1C22(3)4xy圆的圆心坐标。1C1(3,0)C（2）设，为过原点的直线 与圆的交点，且为的中点，( , )M x y,A Bl1CM,A B由圆的性质知：1MOMC 10MC MO uuuu r uuu u rg又，1(3,)MCxyuuuu r (,)MOxy uuu u r由向量的数量积公式得2230xxy易知直线 的斜率存在，设直线 的方程为，llymx当直线 与圆相切时，解得l1C 2|30|2 1md m 2 5 5m 把相切时直线 的方程代入圆的方程化简得，解得l1C2930250xx5 3x 当直线 经过圆的圆心时，的坐标为l1CM(3,0)M又直线 与圆交于两点，为的中点l1C,A BMAB533x所以点的轨迹方