专题二专题二 高考中的三角函数的综合问题高考中的三角函数的综合问题1(2013北京)“”是“曲线 ysin(2x)过坐标原点”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 当 时，ysin(2x)sin 2x 过原点当曲线过原点时，k，kZ，不一定有 .“”是“曲线 ysin(2x)过原点”的充分不必要条件2已知向量 a(2，sin x)，b(cos2x,2cos x)，则函数 f(x)ab 的最小正周期是( )A. B2C2 D4答案 B解析 f(x)2cos2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x1sin，T.2(2x4)223若函数 f(x)(1tan x)cos x,0x0)66x2(1)求函数 f(x)的值域；(2)若函数 yf(x)的图像与直线 y1 的两个相邻交点间的距离为 ，求函数 yf(x)的2单调增区间思维启迪 对三角函数的性质的讨论，首先要化成 yAsin(x)k(一角、一次、一函数)的形式；根据(2)中条件可确定 .解 (1)f(x)sin x cos xsin x cos x(cos x1)321232122(sin x cos x)12sin(x )1.32126由1sin(x )1，6得32sin(x )11，6所以函数 f(x)的值域为3,1(2)由题设条件及三角函数图像和性质可知，yf(x)的周期为 ，所以，即 2.2所以 f(x)2sin(2x )1，6再由 2k 2x 2k (kZ)，262解得 k xk (kZ)63所以函数 yf(x)的单调增区间为k ，k (kZ)63思维升华 三角函数的图像和性质是高考考查的重点，通常先将三角函数化为yAsin(x)k 的形式，然后将 tx 视为一个整体，结合 ysin t 的图像求解已知函数 f(x)sin2x2sin xcos x3cos2x.(1)求函数 f(x)的最小正周期；(2)当 x，时，求函数 f(x)的最大值和最小值1924解 f(x)sin2x2sin xcos x3cos2x1sin 2x2cos2x2cos 2xsin 2x2cos(2x )24(1)函数 f(x)的最小正周期 T.(2)因为x，所以2x .1924116494所以cos(2x )1.224所以 32cos(2x )2，即 3f(x)2.2422所以函数 f(x)的最小值为 3，最大值为 2.2题型二 三角函数和解三角形例 2 (2013重庆)在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，且a2b2abc2.2(1)求 C；(2)设 cos Acos B，求 tan 的值3 25cosAcosBcos225思维启迪 (1)利用余弦定理求 C；(2)由(1)和 cos Acos B可求得 AB，代入求 tan .3 25解 (1)因为 a2b2abc2，2由余弦定理有 cos C.a2b2c22ab 2ab2ab22又 00，|0)的最小正周期为 .(x4)(1)求 的值；(2)讨论 f(x)在区间上的单调性0，2解 (1)f(x)4cos xsin(x4)2sin xcos x2cos2x22(sin 2xcos 2x)222sin.(2x4)2因为 f(x)的最小正周期为 ，且 0.从而有，故 1.22(2)由(1)知，f(x)2sin.(2x4)2若 0x ，则 2x .24454当 2x ，即 0x 时，f(x)单调递增；4428当 2x ，2454即 x 时，f(x)单调递减82综上可知，f(x)在区间上单调递增，0，8在区间上单调递减8，23(2013四川)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且 2cos2cos AB2Bsin(AB)sin Bcos(AC) .35(1)求 cos A 的值；(2)若 a4，b5，求向量在方向上的射影2BABC解 (1)由 2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC) ，得AB235cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B ，35即 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B .35则 cos(ABB) ，即 cos A .3535(2)由 cos A ，0b，则 AB，故 B ，4根据余弦定理，有(4)252c225c，2(35)解得 c1 或 c7(舍去)故向量在方向上的射影为|cos B.BABCBA224已知向量 a(cos ，sin )，b(cos x，sin x)，c(sin x2sin ，cos x2cos )，其中00，0,0 )的部分图像如图所2示(1)求 f(x)的解析式；(2)设 g(x)f(x)2，求函数 g(x)在 x ， 上的最大值，并确定此时 x 的值1263解 (1)由题图知 A2， ，T43则4 ， .2332又 f( )2sin ( )2sin( )0，63264sin( )0，40 ， ，2444 0，即 ，f(x)2sin( x )44324(2)由(1)可得 f(x)2sin (x) 12321242sin( x )，328g(x)f(x)24121cos3x4222cos(3x )，4x ， ， 3x ，634454当 3x ，即 x 时，g(x)max4.44