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专题二专题二 高考中的三角函数的综合问题高考中的三角函数的综合问题1(2013北京)“”是“曲线 ysin(2x)过坐标原点”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件答案 A解析 当 时,ysin(2x)sin 2x 过原点当曲线过原点时,k,kZ,不一定有 .“”是“曲线 ysin(2x)过原点”的充分不必要条件2已知向量 a(2,sin x),b(cos2x,2cos x),则函数 f(x)ab 的最小正周期是( )A. B2C2 D4答案 B解析 f(x)2cos2x2sin xcos x1cos 2xsin 2x1sin,T.2(2x4)223若函数 f(x)(1tan x)cos x,0x0)66x2(1)求函数 f(x)的值域;(2)若函数 yf(x)的图像与直线 y1 的两个相邻交点间的距离为 ,求函数 yf(x)的2单调增区间思维启迪 对三角函数的性质的讨论,首先要化成 yAsin(x)k(一角、一次、一函数)的形式;根据(2)中条件可确定 .解 (1)f(x)sin x cos xsin x cos x(cos x1)321232122(sin x cos x)12sin(x )1.32126由1sin(x )1,6得32sin(x )11,6所以函数 f(x)的值域为3,1(2)由题设条件及三角函数图像和性质可知,yf(x)的周期为 ,所以,即 2.2所以 f(x)2sin(2x )1,6再由 2k 2x 2k (kZ),262解得 k xk (kZ)63所以函数 yf(x)的单调增区间为k ,k (kZ)63思维升华 三角函数的图像和性质是高考考查的重点,通常先将三角函数化为yAsin(x)k 的形式,然后将 tx 视为一个整体,结合 ysin t 的图像求解已知函数 f(x)sin2x2sin xcos x3cos2x.(1)求函数 f(x)的最小正周期;(2)当 x,时,求函数 f(x)的最大值和最小值1924解 f(x)sin2x2sin xcos x3cos2x1sin 2x2cos2x2cos 2xsin 2x2cos(2x )24(1)函数 f(x)的最小正周期 T.(2)因为x,所以2x .1924116494所以cos(2x )1.224所以 32cos(2x )2,即 3f(x)2.2422所以函数 f(x)的最小值为 3,最大值为 2.2题型二 三角函数和解三角形例 2 (2013重庆)在ABC 中,内角 A,B,C 的对边分别是 a,b,c,且a2b2abc2.2(1)求 C;(2)设 cos Acos B,求 tan 的值3 25cosAcosBcos225思维启迪 (1)利用余弦定理求 C;(2)由(1)和 cos Acos B可求得 AB,代入求 tan .3 25解 (1)因为 a2b2abc2,2由余弦定理有 cos C.a2b2c22ab 2ab2ab22又 00,|0)的最小正周期为 .(x4)(1)求 的值;(2)讨论 f(x)在区间上的单调性0,2解 (1)f(x)4cos xsin(x4)2sin xcos x2cos2x22(sin 2xcos 2x)222sin.(2x4)2因为 f(x)的最小正周期为 ,且 0.从而有,故 1.22(2)由(1)知,f(x)2sin.(2x4)2若 0x ,则 2x .24454当 2x ,即 0x 时,f(x)单调递增;4428当 2x ,2454即 x 时,f(x)单调递减82综上可知,f(x)在区间上单调递增,0,8在区间上单调递减8,23(2013四川)在ABC 中,角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 2cos2cos AB2Bsin(AB)sin Bcos(AC) .35(1)求 cos A 的值;(2)若 a4,b5,求向量在方向上的射影2BABC解 (1)由 2cos2cos Bsin(AB)sin Bcos(AC) ,得AB235cos(AB)1cos Bsin(AB)sin Bcos B ,35即 cos(AB)cos Bsin(AB)sin B .35则 cos(ABB) ,即 cos A .3535(2)由 cos A ,0b,则 AB,故 B ,4根据余弦定理,有(4)252c225c,2(35)解得 c1 或 c7(舍去)故向量在方向上的射影为|cos B.BABCBA224已知向量 a(cos ,sin ),b(cos x,sin x),c(sin x2sin ,cos x2cos ),其中00,0,0 )的部分图像如图所2示(1)求 f(x)的解析式;(2)设 g(x)f(x)2,求函数 g(x)在 x , 上的最大值,并确定此时 x 的值1263解 (1)由题图知 A2, ,T43则4 , .2332又 f( )2sin ( )2sin( )0,63264sin( )0,40 , ,2444 0,即 ,f(x)2sin( x )44324(2)由(1)可得 f(x)2sin (x) 12321242sin( x ),328g(x)f(x)24121cos3x4222cos(3x ),4x , , 3x ,634454当 3x ,即 x 时,g(x)max4.44
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