86第四章 养老保险问题非线性方程求根的数值解法4.14.1 养老保险问题养老保险问题4.1.1 问题问题的引入的引入养老保险是保险中的一种重要险种，保险公司将提供不同的保险方案以供 选择，分析保险品种的实际投资价值。也就是说，如果已知所交保费和保险收 入，则按年或按月计算实际的利率是多少？或者说，保险公司需要用你的保费 至少获得多少利润才能保证兑现你的保险收益？4.1.2 模型分析模型分析假设每月交费 200 元至 60 岁开始领取养老金。某男子 25 岁起投保，届时 养老金每月 2282 元；如果其 35 岁起保，届时月养老金 1056 元。试求出保险公 司为了兑现保险责任，每月至少应有多少投资收益率？这也就是投保人的实际 收益率。4.1.3 模型假模型假设设这应当是一个过程分析模型问题。过程的结果在条件一定时是确定的。整 个过程可以按月进行划分，因为交费是按月进行的。假设投保人到第月为止，k所交保费及收益的累计总额为，每月收益率为 ，用表示 60 岁之前每kFrqp、月所交的费用和 60 岁之后每月所领取的费用，N 表示停交保险费的月份，M 表 示停领养老金的月份。4.1.4 模型建立模型建立在整个过程中，离散变量的变化规律满足：kF(4.1.1)11(1),0,1,.,1(1),.,1kkkkFFrp kNFFrq kNM 在公式（4.1.1）中实际上表示从保险人开始交纳保险费以后，保险人账户kF上的资金数值。我们关心的是，在第月时，能否为非负数？如果为正，MMF则表明保险公司获得收益；若为负，则表明保险公司出现亏损；当为零时，表 明保险公司最后一无所有，所有的收益全归保险人，把它作为保险人的实际收益。从这个分析结果来看，引入变量，很好地刻画了整个过程中资金的变化kF关系。特别是引入收益率 ，虽然它不是我们所求的保险人的收益率，但从问r 题的系统环境中来看，必然要考虑引入另一对象保险公司的经营效益，以 此作为整个过程中各量变化的表现基础。874.1.5 模型求解模型求解在(4.1.1)中两式，取初始值，我们可以得到：00FMNkrrqrFFNkrrprFFNkNk Nkkk k,.,1,1)1()1(,.,2 , 1 , 0,1)1()1 (0再分别取，和，并利用可以求出：,Nk Mk 0MF0)1)(1 ()1 ( pqrpqrNMM它是一个非线性方程。因此求解该模型，就转换为一个求非线性方程的问题。 众所周知，代数方程求根问题是一个古老的数学问题。早在16世纪就找到 了三次、四次方程的求根公式。但直到19世纪才证明了次的一般代数方程5n 是不能用代数公式求解的，因此需要研究用数值方法求得满足一定精度的代数 方程的近似解。 在工程和科学技术中许多问题常归结为求解非线性方程的问题。正因为非 线性方程求根问题是如此重要的基础，因此它的求根问题很早就引起了人们的 兴趣，并得到了许多成熟的求解方法。下面我们介绍非线性方程的基本概念与 重要解法。4.24.2 非线性方程求根的数值方法非线性方程求根的数值方法4.2.1 根的搜索相关定根的搜索相关定义义定义定义 4.2.1 设有一个非线性方程，其中为实变量的非线性函数。 0f x ( )f xx（1）如果有使，则称为方程的根，或为的零点。x()0f xx f x（2）当为多项式，即 f x1 10( ),0nn nnnf xa xaxaxaa L则称为次代数方程。当包含指数函数或者三角函数等特殊函数( )0f x n( )f x时，则称为特殊方程。( )0f x （3）如果，其中。为正整数，则称为( )()( )mf xxxg x()0g xmx的重根。当时，称为的单根。( )0f x m1m x( )0f x 88定理定理 4.2.1 设为具有复系数的次代数方程，则在复数域上恰( )0f x n( )0f x 有 个根（ 重根计算 个） 。如果为实系数方程，则复数根成对出现，nrr( )0f x 即当：为的复根，则亦是的复根。0i ( )0f x i( )0f x 定理定理 4.2.2 设在连续，且，则存在，使得( )f x, a b( )( )0f af b,xa b，即在内存在零点。()0f x f x( , )a b4.2.2 逐步搜索法逐步搜索法对于方程，为明确起见，设，从 0f x ,xa b 0f a ( )0f b 区间左端点出发按某个预定步长（如取，为正整数） ，一步0xahbahNN一步地向右跨，每跨一步进行一次根的搜索。即检查节点上的函数值kxakh的符号，若，则即为方程解；若，则方程根在区间 kf x 0kf xkx 0kf x中，其宽度为。1,kkxxh例例 4.2.1 考察方程 310f xxx 由于 则在内至少有一个根，设从 010,250ff f x0,2出发，以为步长向右进行根的搜索。列表记录各节点函数值的符号, 0x 0.5h 如表 4.2.1 所示。可见方程在内必有一根。1.0,1.5表 4.2.1的符号 f xx00.51.01.5的符号( )f x-+易见，此方法应用关键在步长的选择上。很明显，只要步长取得足够hh 小，利用此法就可以得到任意精度的根，但缩小，搜索步数增多，从而使计h 算量增大，用此方法对高精度要求不简便。4.2.3 二分法二分法对非线性方程： 0 f x 4.2.189其中在上连续且设，不妨设在内仅有一个 f x, a b 0f af b f x, a b零点。求方程()的实根的二分法的过程，就是将逐步分半，检查函数4.2.1x, a b值符号的变化，以便确定包含根的充分小区间。二分法的步骤如下：记，1aa1bb第 1 步：分半计算，即将分半。计算中点及。若1k 11 a , b 11 12abx 1f x，则根必在内，否则必在内（若11()()0f af x1122, ,a xa b1122 , ,x ba b，则） ，于是得到长度一半的区间含根，即1()0f x1xx22,a b，且。22() ()0f af b22111()2baba第步：（*分半计算）重复上述过程。k 设已完成第 1 步第步，分半计算得到含根区间L1k ，且满足，即，1122,kka ba ba bL() ()0kkf af b,kkxa b，则第步的分半计算：，且有：11()2kkkbabak2kk kabx122kk kkbaxxba 4.2.2确定新的含根区间，即如果，则根必在11,kkab() ()0kkf af x内，否则必在内，且有：11, ,kkkkaxab11, ,kkkkx bab。总之，由上述二分法得到序列，由(4.2.2)有：111()2kkkbaba kx。limkkxx 可用二分法求方程的实根的近似值到任意指定的精度，这是因( )0f x x为：设为给定精度要求，则由，可得分半计算次数应满02kkbaxxk足：lnlnln2bak 4.2.3二分法的优点是方法简单，且只要求连续即可。可用二分法求出( )f x90在内的全部实根，但二分法不能求复根及偶数重根，且收敛较慢，( )0f x , a b函数值计算次数较多。例例 4.2.2 用二分法求在内一个实根，且要求精确到小数点后6( )1f xxx 12，第三位。 （即）*31102kxx解解 ：由代入式(4.2.3)，其中，可确定所需分半次数为30.5 101,2)ab（，计算结果部分如表 4.2.2 所示（显然） 。11k (1)10,(2)0ff 表 4.2.2 部分计算结果 kkakbkx()kf x81.1328131.1406251.1367190.02061991.1328131.1367191.1347660.4268415101.1328131.1347661.13378900959799. 0111.1337891.1347661.1342770045915. 04.2.4 迭代法迭代法迭代法是一种逐次逼近法。它是求解代数方程、超越方程及方程组的一种 基本方法，但存在是否收敛及收敛快慢的问题。用迭代法求解的近似根，首先需将此方程化为等价的方程： ( )0f x ( ) xg x (4.2.4)然而将化为等价方程的方法是很多的。( )0f x (4.2.4)例例 4.2.3 对方程( )sin0.50f xxx可用不同的方法将其化为等价方程：（1） （2）1sin0.5( )xxg x1 2sin0.5( )xxgx定义定义 4.2.2 （迭代法）设方程为( )xg x（1）取方程根的一个初始近似，且按下述逐次代入法，构造一个近似解序列：0x 10211, kkxg xxg xxg xL (4.2.5)这种方法称为迭代法（或称为单点迭代法） ，称为迭代函数。( )g x（2）若由迭代法产生序列有极限存在，即，称为收敛或迭 kx*limkkxx kx代过程收敛，否则称迭代法不收敛。若连续，且，则 (4.2.5)( )g x*limkkxx 91，即为方程的解（称为函1limlim ()lim()kkkkkkxxg xgxg x x (4.2.4)x数的不动点） ，显然在由方程转化为等价方程时，选择不 g x( )0f x ( )xg x同的迭代函数，就会产生不同的序列（即使初值选择一样）且这些( )g x kx0x序列的收敛情况也不一定相同。 例例 4.2.4 对例 4.2.1 中方程考查用迭代法求根 11 1sin0.5,0,1,2,sin0.5 ,0,1,2,kkkkaxxkbxxk LL由计算可以看出，我们选取的两个函数，分别构造序列收 12,gxgx kx敛情形不一样（初值都取为 1） ，在中收敛且，在中计( )a kx1.497300x( )b算出无定义。部分计算结果如下表 4.2.3：11 4sin0.5sin1.987761x表 4.2.3 部分计算结果 k( )kax( ) kbx ()kafx01.01.011.3414710.52359921.4738200.02360131.049530-0.49655541.497152-1.48776151.49728961.49730071.49730073.610因此对用迭代法求方程的近似根，需要研究下述问题：( )0f x （1） 如何选取迭代函数使迭代过程收敛。( )g x 1kkxg x（2） 若收敛较慢时，怎样加速收敛。 kx kx迭代法的几何意义：求方程根的问题，是求曲线与直线( )xg x( )yg x交点的横坐标，当迭代函数的导数函数在根处满足下述几yxx( )g x xgx种条件时，从几何上来看迭代过程的收敛情况如图 4.2.1。 1kkxg x从曲线上一点出发，沿着平行于轴方向前进交( )yg x 000,px g xx于一点再从点沿平行