第二章第二章 矩矩 阵阵一、矩阵运算一、矩阵运算1 （97，填（4）题，3 分）设，B 为三阶非零矩阵，且 AB0，则 t122 43 311At 3【分析】由 AB0 也可推知 r(A)+r(B)3，而 r(B)0。于是 r(A)2,故有|A|=0t=-3. 【详解】由于 B 为三阶非零矩阵，且 AB=0,可见线性方程组 Ax0 存在非零解，故122 4303 311Att 二、伴随矩阵二、伴随矩阵1 （05，12 题，4 分）设 A 为 n()阶可逆矩阵,交换 A 的第 1 行与第 2 行得矩阵 B，2n ，分别为 A，B 的伴随矩阵，则*A*B（A）交换的第 1 列与第 2 列得*A*B（B）交换的第 1 行与第 2 行得*A*B（C）交换的第 1 列与第 2 列得*A*B（D）交换的第 1 行与第 2 行得*A*B【 】 【答】应选（C） 【分析】本题考查初等变换得概念与初等矩阵的性质，只需利用初等变换与初等矩阵的关 系以及伴随矩阵的性质尽心分析即可 【详解】为书写简捷，不妨考查 A 为 3 阶矩阵，因为 A 作初等行变换得到 B，所以用初等 矩阵左乘 A 得到 B，按已知有0 1 0 1 0 0 0 0 1AB 于是11110 1 00 1 01 0 01 0 00 0 10 0 1BAA 从而*0 1 0 1 0 0|0 0 1BA BA 又因|A|=-|B|，故，所以应选（C）*0 1 0 1 0 00 0 1AB 三、可逆矩阵三、可逆矩阵1 （96，八题，6 分）设，其中 E 是 n 阶单位矩阵，是 n 维非零列向量，TAE是的转置，证明：T（1）的充要条件是2AA1T （2）当时，A 是不可逆矩阵1T 【分析】本题考查矩阵乘法的分配律、结合律。题中是 n 维列向量，则是 n 阶矩阵T且秩为 1。而是一个数T 【详解】（1）2()()2()(2)TTTTTTTAEEEE 因此2(2)(1)0TTTTTAAEE 因为，所以故的充要条件为00T2AA1T （2）方法一：当时，由，有，1T TAE0TA 因为故有非零解，因此|A|=0,说明 A 不可逆00Ax 方法二：当，由，即 EA 的每一列均为的解，1T 2()0AAA EA0Ax 因为说明有非零解，故秩(A)n,因此 A 不可逆0,TEA0Ax 方法三：用反证法。假设 A 可逆，当，有1T 2AA于是，即，这与矛盾，故 A 时不可逆矩阵121A AA AAETAEE2 （01，填（4）题，3 分）设矩阵 A 满足，其中 E 为单位矩阵，则240AAE1()AE1(2 )2AE【分析】本题中矩阵 A 的元素没有给出，因此用伴随矩阵，用初等行变换求逆的方法行不 通，应当考虑用定义法。【详解】由题设，240AAE有222 , ()(2 )2AAEEAEAEE也即1()(2 )2AEAEE故11()(2 )2AEAE四、初等变换和初等矩阵四、初等变换和初等矩阵1 （95，选（5）题，3 分）设，111213212223313233aaaAaaaaaa ，则必有212223111213311132123313aaaBaaaaaaaaa 10 1 0 1 0 0 0 0 1P 21 0 0 0 1 0 1 0 1P （A） （B）12APPB21AP PB（C） （D）12PP AB21P PAB【 】 【答】应选（C）【分析】因为，为初等矩阵，对 A 左乘或右乘初等矩阵，相当于对 A 施行了一次行1P2P或列初等变换，这里，B 是由 A 先将第一行加到第三行，再交换第一、二行两次初等变换得到的，故有12PP AB【详解】是交换单位矩阵的第一、二行所得初等矩阵，是将单位矩阵的第一行加到第1P2P三行所得初等矩阵，而 B 是由 A 先将第一行加到第三行，然后再交换第一、二行两次初等交换得到的，因此有，故正确选项为（C）12PP AB2 （97，八题，5 分）设 A 是 n 阶可逆方阵，将 A 的第 i 行和第 j 行对换后得到的矩阵为 B（1）证明 B 可逆；（2）求1AB 【分析】本题考查了初等矩阵的定义，性质一级初等变换的关系，将的第 i 行和第 j 行A 对换，相当于左乘一初等矩阵，交换两行，行列式变号，其值仍不为零，从而可逆B【详解】 （1）记是由 n 阶单位矩阵的的 i 行和的 j 行对换后得到的初等矩阵，则( , )E i jBE(i, j)A，于是有|B|=|E(i, j)|A|=-|A|0,故 B 可逆（2）11111 ( , ) ( , )( , )( , )ABA E i j AAA Ei jEi jE i j3 （04，选（11）题，4 分）设 A 是 3 阶方阵，将 A 的第 1 列与第 2 列交换得 B,再把 B 得第 2 列加到第 3 列得 C，则满足 AQC 的可逆矩阵 Q 为（A） （B） 0 1 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 0 1 （C） （D）0 1 0 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 1 【 】 【答】应选（D） 【分析】本题考查初等矩阵的概念与性质，对 A 作两次初等列变换，相当于右乘两个相应 的初等矩阵，而 Q 即为此两个初等矩阵的乘积 【详解】由题意，有0 1 01 0 0 1 0 0,0 1 1 0 0 10 0 1ABBC 于是， 0 1 01 0 00 1 1 1 0 00 1 11 0 0 0 0 10 0 10 0 1AAC 可见应选（D）4 （06， （12）题，4 分）设 A 为 3 阶矩阵，将 A 的第 2 行加到第 1 行得 B，再将 B 的第1 列的1 倍加到第 2 列得 C，记则1 1 0 0 1 0 0 0 1P （A） （B）1CP AP1CPAP（C） （D）TCP APTCPAP【 】 【分析】本题为矩阵运算，需要利用矩阵的初等变换与初等矩阵之间的关系来求解。 【详解】因为 P 为初等矩阵，PA 相当于把 A 的第 2 行加到第 1 行，记 BPA，所以正选应在（B） ， （D）之中，而相当于把 B 的第 2 列加到第 1 列，故选项（D）错误，于TBP 是，正确选项为（B）五、矩阵方程五、矩阵方程1 （95，填 5 题，3 分）设三阶方阵 A，B 满足关系式：，且 A=16A BAABA，则 B1003 1004 1007 3 0 00 2 00 0 1 【分析】解这种矩阵的题型，应先进行化简后再计算，但注意的是：左乘与右乘矩阵时是 有区别的，请不要轻易地犯这种低级错误。【详解】在已知等式两边右乘以，得16A BAABA1A16A BEB于是1112 0 03 0 06()6 0 3 00 2 00 0 60 0 1BAE 2 （00，十题，6 分）设矩阵 A 的伴随矩阵，且，*10000100101003 08A 113ABABAE其中 E 为 4 阶单位矩阵，求矩阵 B 【分析】本题为求解矩阵方程问题，B 相当于是未知矩阵，其一般原则是先化简，再计算，根据题设，等式可先右乘 A，再左乘，尽量不去计算*A1A【详解 1】由，知，因此有*|AAA AA E*1| |nAA，于是*38 | |AA| 2A 在等式两边先右乘 A，再左乘，得113ABABAE*A，*(2)6EA BE于是*110006 0 0 0 01000 6 0 06(2)61 0106 0 6 0 03060 3 01BEA 【详解 2】（同解 1） 。由，得| 2A *|AAA E*1*11000200001000200 ()2()21 0102 020313100008844AA AA 可见 A-E 为可逆矩阵，于是由，有，而1()3AE BAE13()BAEA111000100001000100 ()20102 01043301000344AE 因此100020 0 06 0 0 0010002 0 00 6 0 0320102 02 06 0 6 04310 3 0101000344B六、矩阵得秩六、矩阵得秩1 （96，填 5 题，3 分）设 A 是 43 矩阵，且 A 得秩 r(A)=2，而，则102 020 1 03B r（AB）2【分析】本题是基本题型，考查的是矩阵的秩【详解】因为，说明矩阵 B 可逆，故秩 r(AB)=秩 r(A)=210 2 02 0100 1 0 3B 2 （98，选 4 题，3 分）设矩阵是满秩的，则直线111222333abcabcabc 与直线333121212xaybzc aabbcc111232323xaybzc aabbcc（A）相交于一点 （B）重合（C）平行但不重合 （D）异面【 】 【答】应选（A）【分析】本题综合运用了线性代数于空间解析几何两个知识点，主要考查对满秩方阵、二 向量共线的条件及三向量共面的条件等概念的理解及应用，作为选择题本题 首先可由两直 线不共线，排除选项(B)和(C)，根据对称性，不难观察到点同时满足两个方程，故应选（A）123123123(,)aaa bbb ccc【详解】设矩阵是满秩的，所以通过行初等变换后得矩阵111222333abcabcabc 仍是满秩的，于是两直线的方向向量121212232323333aabbccaabbccabc 1121212,Saa bb cc2232323,Saa bb cc线性无关，可见此两直线既不平行，又不重合。又、分别为两直线上111