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1轮换对称与考题轮换对称与考题安徽 李师如果 x1,x2是方程 ax2+bx+c=0(a0)的两根,由根与系数的关系,不能求得x1+x2,x1.x2,x21+x22,x31+x32,x1-x2等代数式的值。上式两个字母互换位置后,原式保持不变,故称之为一元二次方程的根的轮换对称式。这些对称式,在中考中有着广泛的应用,下 面以考题为例,说明如下。例例 1(太原市中考题)设方程 x2+x-1=0 的两个实数根分别是 x1,x2,则的值是 xx2111( )(A)1 (B)1 (C) (D)555解解:x1+x21,x1.x21,1。故选(A)。xxxx xx21212111例例 2(青海省中考题)设 x1,x2是方程 2x2-6x+3=0 的两个根,则 x21+x22的值为( )(A)3 (B)3 (C)6 (D)6解解:x1+x23,x1.x2,23x21+x22(x1+x2)22 x1.x26。故选(C)。例例 3(杭州市中考题)设 x1,x2是关于 x 的方程 x2+px+q=0 的两个根,设 x11,x21 是 关于 x 的方程 x2+qx+p=0 的两个根,则 p、q 的值分别是 ( )(A)1,-3 (B)1,3 (C)1,3 (D)1,3解解:x1+x2-p,x1.x2q, (x11)(x21)q, (x11)(x21)=p 由、解得 p=-1,q=-3.故选(C)。例例 4(重庆市中考题)已知 x1,x2是关于 x 的方程(a-1)x2+x+a2-1=0 的两个实数根,且x1+x2,则 x1.x2。31解解:由题意,得,31 11aa=-2.x1.x21。112aa例例 5(山东荷泽市中考题)已知方程 x2+(2m+1)x+m2-2=0 的两个实数根的平方和等于 11,求 m 的值。解解:设方程两个实数根为 x1,x2。2由题意,得 x21+x22(x1+x2)22x1.x211,又 x1+x2(2m+1), x1.x2m2-2,-(2m+1)2-2(m2-2)=11,整理,得 m2+2m-3=0,解得,m1=-3,m2=1.当 m1=-3 时,(5)241720,舍去;故 m1。例例 6(江苏南通市中考题)设方程组 x2-x-y=0, x=x1 x=x2y=2x-1 的解是 y=y1 y=y2求和 y1.y2的值。xx2111解解:把 y=2x-1 代入 x2-x-y=0 中,得x2-3x+1=0.3。xxxx xx21212111y1=2x1-1,y2=2x2-1,y1.y2(2x1-1) (2x2-1)4x1.x22(x1x2)11。例例 7(淮安市中考题)已知关于 x 的一元二次方程 x2-mx+2m-1=0 的两个实数根的平方 和是 23,求 m 的值。某同学解答如下:解解:设 x1,x2是方程的根,由根与系数的关系,得x1+x2m, x1.x22m-1,由题意,得 x21+x2223。又 x21+x22(x1+x2)22x1.x2;m2-2(2m-1)=23.解之,得 m1=7,m2=-3.所以,m 的之为 7 或3。上述解答中有错误,请你指出错误之处,并重新给出完整的解答。解解:(1)原解中 x1+x2m,应改为 x1+x2m,且取 m 值时未分析根的情况。(2)设 x1,x2是方程的两根,则 x1+x2m,x1.x22m-1。由题意,得 x21+x2223。解得,m1=7,m2=-3.当 m7 时,m2-4(2m-1)=-30,x20,x1+x2=3,x1+x23,2k-3=3,解得 k=3,这与 k矛盾,舍去。125若 x10,(2k-3)2=9,解得 k=0。例例 11(北京市中考题)已知关于 x 的方程 x2-2mx+3m=0 的两个实数根是 x1,x2且 (x1x2)216。如果关于 x 的另一个方程 x2-2mx+6m-9=0 的两个实数根都在 x1与 x2之间, 求 m 的值。解解:x1,x2是方程 x2-2mx+3m=0的两个实数根,x1+x22m, x1x2=3m,(x1x2)216,(x1x2)24 x1x216,4m2-12m=16,解得,m1=-1,m2=4.(1)当 m1=-1 时,方程为 x2+2x-3=0,x1=-3,x2=1.方程 x2-2mx+6m-9=0 为 x2+2x-15=0,x1=-3,x2=1。5,3 不在3,1 之间,m=-1 不合题意,舍去。(2)当 m=4 时,方程为 x2-8x+12=0,x1=2,x2=6;方程为 x2-8x+15=0,x1=-3,x2=5。2356,即 x1x1 x2x2,方程的两根都在方程的两根之间。综上 m=4。安徽岳西县城关中学(246600)李庆社联系电话:05562173802 13955622882mmtlqsyahoo.com.cn
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