1第十四章第十四章 轴对称轴对称一、一、 本章内容的新课程标准要求本章内容的新课程标准要求 二、二、 知识结构知识结构 三、三、 课时安排课时安排 四、四、 各节知识浅析各节知识浅析 第一节第一节 轴对称轴对称 一一 关键概念和原理关键概念和原理 概念概念：轴对称图形，对称轴，轴对称，对称点，线段垂直平分线. 原理原理：轴对称图形的性质及判定；线段的垂直平分线的判定及性质；成轴对称的两个图形 的性质；如何判定两个图形关于某条直线对称. 二 知识点知识点： 1 轴对称与轴对称图形的联系与区别轴对称与轴对称图形的联系与区别. 轴对称：轴对称：把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这 两个图形关于这条直线对称.两个图形关于某直线对称，也称为轴对称.这条直线就是它的对 称轴. 轴对称图形轴对称图形：如果一个图形沿一条直线对折，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个 图形就叫做轴对称图形，这条直线就是它的对称轴. 区别：区别：轴对称图形是说一个具有特殊性质的图形，是对一个图形说的；轴对称是指两个图形之间的位置关系，是对两个图形说的.联系联系：轴对称与轴对称图形都有对称轴，如果把轴对称的两个图形看成一个整体，那么 它就是一个轴对称图形；如果把轴对称图形沿对称轴分成两部分，那么这两个图形就关于 这条直线成轴对称. 2 线段的垂直平分线及其结论线段的垂直平分线及其结论 定义定义：经过线段中点并且垂直与这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线. 结论结论：线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等；反之，到线段两端的距离相等的 点，在线段的垂直平分线上，所以线段的垂直平分线可以看作是到线段两端距离相 等的所有点的集合. 两者的关系两者的关系： 点在线段的垂直平分线上点在线段的垂直平分线上点到线段两端的距离相等点到线段两端的距离相等 3.轴对称和轴对称图形的性质轴对称和轴对称图形的性质 共同的特征共同的特征：对折后的两部分是完全重合的，即对应线段相等，对应角相等. 性质：性质：（1）关于某条直线成轴对称的两个图形全等；（2）对称轴是对应点所连线段的垂直平分线.三三.综合探究综合探究 1.运用轴对称进行图形设计运用轴对称进行图形设计 例例 1. 某居民小区搞绿化,要在一块矩形空地上建花坛,现征集设计方案,要 求设计的图案由圆和正方形组成（圆和正方形的个数不限）,并且使整个 矩形场地成轴对称图形,请在矩形中画出你设计的方案. 2.运用线段垂直平分线的性质解决几何设计中的选址问题运用线段垂直平分线的性质解决几何设计中的选址问题 例例 2. 如图,某地有两所大学和两条交叉的公路,点 M、N 表示 大学,OA、OB 表示公路，现计划修建一座物资仓库，希望仓 库到两所大学的距离相同，到两条公路的距离也相同，你能 确定出仓库应该建在什么位置吗？请在图中画出你的设计.AOMNB2第二节第二节 轴对称变换轴对称变换 一关键概念和原理一关键概念和原理 概念概念：轴对称变换 原理原理：作轴对称图形，一个点关于 x 轴、y 轴的对称点的坐标的特点. 二知识点二知识点 1. 轴对称变换轴对称变换 定义定义：由一个平面图形得到它的轴对称图形叫做轴对称变换. 轴对称变换同旋转变换、平移变换一样，都是图形变换的一种，轴对称变换的实质就轴对称变换的实质就 是图形的翻折是图形的翻折，而翻折问题往往可以看作是图形的全等全等问题，解这类问题的关键是利用图 形的全等，找出对应线段对应角，挖掘题目的隐含条件，再利用结论使问题获解. 注意注意：经过变换以后，只是位置发生了变化，图形的形状和大小并未改变经过变换以后，只是位置发生了变化，图形的形状和大小并未改变.2. 关于坐标轴对称的点的特点关于坐标轴对称的点的特点 建议在教学中，让学生学会用方程组表示，数形结合建议在教学中，让学生学会用方程组表示，数形结合，为今后解综合题打下基础.即点 A（x1，y1）与 B（x2，y2）关于 x 轴对称1212xxyy0 点 A（x1，y1）与 B（x2，y2）关于 y 轴对称1212xx0yy 点 A（x1，y1）与 B（x2，y2）关于原点对称1212xx0yy0 得 得得 得三三. 典型例题典型例题 例例 3. 如图，请写出ABC 中各顶点的坐标在同一坐 标系中画出直线 m：x=1，并作出ABC 关于直线 m 对 称的ABC若 P（a，b）是ABC 中 AC 边上一点， 请表示其在ABC中对应点的坐标例例 4. 在下图这一组中找出它们所蕴含的内在规律，然后在横线的空白处设计一个恰当 的图形. 例例 5. 如图所示,把一个正方形三次对折后沿虚线剪下一角,则展开后所得的图形是（ ）.四四.综合探究综合探究 （一）运用轴对称的性质求最值（一）运用轴对称的性质求最值 1.运用轴对称的性质求线段之和的最小值运用轴对称的性质求线段之和的最小值一 一 一 一 一一 一 一 一一 一 一 一DCBA3例例 6.（内蒙古乌海市（内蒙古乌海市.2002）如图）如图 1,某公路的同一侧有 A、B、C 三个村庄，要在公路边建一货栈 D，向 A、B、C 三个 村庄送农用物资，路线是：DABCD 和DCBAD. 1.试问在公路边上是否存在一点 D，使送货路程最短？（把 公路边近似看作公路上） 2.将 A、B、C 三点放在平面直角坐标系中，把 x 轴建立在 公路上，坐标如图所示.请画出 D 点所在的位置，并写出画法. 3.求出 D 点在该坐标系中的坐标（要求有运算过程）2.利用轴对称解决周长最小问题利用轴对称解决周长最小问题 例例 7.在锐角AOB 内有一定点 P，试在 OA、OB 上确定 两点 C、D，使PCD 的周长最短3.利用轴对称解决线路最短问题利用轴对称解决线路最短问题 例例 8.如图 1,A 为厩,B 为帐篷,牧马人某一天要从马厩牵出马, 先到草地某一处牧马,再到河边饮马,然后回到帐篷.请你帮他确定这一天的最短路线.（教材 p1379）（二）数形结合（二）数形结合,利用轴对称找规律利用轴对称找规律 例例 9.晓慧同学学习了轴对称知识后,忽然想起来过去做过的一道 题:有一组数排列成方阵,如图 1 所示,试计算这组数的和.晓慧想方阵 就像正方形,正方形是轴对称图形,能不能利用轴对称的思想来解决方 阵的计算问题呢?晓慧试了试,竟得到了非常巧妙的方法,你也能试试 看吗?（三）轴对称变换与平面直角坐标系的综合应用（三）轴对称变换与平面直角坐标系的综合应用 1.点关于横纵坐标轴对称的规律点关于横纵坐标轴对称的规律 例例 10.（1）若点 M（2,a）和点 N（a+b,3）关于 x 轴对称,试求 a,b 的值;（2）若点 M（2,a）和点 N（a+b,3）关于 y 轴对称,试求 a,b 的值.解: 横轴横不变横轴横不变,纵轴纵不变纵轴纵不变 ab2a31;a30b5ab20a32a3b5. 得 得得 得得 得得 得例例 11.（1）求一次函数 y=2x-1 的图象关于 x 轴对称的直线的函数解析式； （2）不作函数 y=-2x+1 与 y=2x-1 的图象,试判断它们的图象关于哪一个坐标轴对称.一 1H BANM一 2DCNABDCHBAM一 10xyC 4,1 B 2,4 A 1,2 EDCABP0HF一 176 65 5 544 33 25 4898776 654 32142.利用轴对称求特殊点的坐标利用轴对称求特殊点的坐标 例例 12. 如图，在平面直角坐标系中，点 P（2，3） ， Q（3，2） ，请在 x 轴和 y 轴上分别找到 M 点和 N 点， 使四边形 PQMN 周长最小. （1）作出 M 点和 N 点. （2）求出 M 点和 N 点的坐标.（四）镜子、倒影与轴对称变换（四）镜子、倒影与轴对称变换 1.从镜子里看物体从镜子里看物体左右相反左右相反 例例 13. 如图如图 1 所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？所示的是在一面镜子里看到的一个算式，该算式的实际情况是怎样的？图 12.从水中看物体从水中看物体上下颠倒上下颠倒 例例 14.14.如图,是一只停泊在平静水面上的小船,它的“倒影”应是图中的（ ）.第三节第三节 等腰三角形等腰三角形 一关键概念和原理一关键概念和原理 概念概念：等腰三角形，顶角，底角，腰，底边，等边三角形 原理原理：等腰三角形的性质、判定；等边三角形的性质、判定；直角三角形的性质 二二. 知识点知识点 1.等腰三角形的概念、性质及判定等腰三角形的概念、性质及判定 定义定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. 对称性对称性：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（或底边上的中线或顶角的平 分线）所在的直线. 性质性质：等腰三角形，底边上的高，底边上的中线和顶角的平分线三线合一；等腰三角形中相等的边所对的角也相等. 判定判定：如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所对的边也相等.2.等边三角形及其性质等边三角形及其性质 定义定义：三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也称为正三角形. 性质性质：（1）等边三角形是轴对称图形且有三条对称轴； （2）等边三角形的各角都相等，并且每一个角都等于 60；（3）等边三角形是特殊的等腰三角形，等边三角形具有等腰三角形的一切性质. 判定判定：（1）三个角都相等的三角形是等边三角形；（2）有一个角是 60的等腰三角形是等边三角形. 3. 直角三角形中，直角三角形中，30的角所对的直角边等于斜边的一半的角所对的直角边等于斜边的一半.D DC CB BA A33OYXNMQ1P1Q(3,2)P(2,3)5综合探究综合探究 （一）由于等腰三角形的特殊性，当题目条件不明确时，要注意分类讨论（一）由于等腰三角形的特殊性，当题目条件不明确时，要注意分类讨论 1. 边没明确腰、底边没明确腰、底 例例. 等腰ABC 中，AB=2BC,且三角形周长为 40.求 AB 的长. 2. 内角没明确是顶角还是底角内角没明确是顶角还是底角 例例.（1）已知等腰三角形有一个内角为 70，求其余两个内角的度数.（2）已知等腰三角形有一个内角为 100，求其余两个内角的度数. 3. 腰上的高分形内和形外腰上的高分形内和形外 例：例：已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 45，求这个等腰三角形顶角的度数 （二）（二） 等边三角形中有关边、角数量关系的探究等边三角形中有关边、角数量关系的探究 例例: 如图,以ABC 的两边 AB、AC 向外作等边三角形 ABE 和等边三角形 ACD，连结 BD、CE，相交于 O.（1）试写出图中 和 BD 相等的一条线段并说明你的理由；（2）BD 和 CE 夹角的 大小与ABC 的形状有关吗？说明理由. （三）等腰三角形在函数中的应用（三）等腰三角形在函数中的应用 例例 15：等腰三角形的周长为 20cm. （1）求底边 y（cm）与腰长 x（cm）之间的关系式；（2）求出自变量 x 的取值范围；（3）画出该函数的图象.（四）轴对称在等腰三角形中的应用（四）轴对称在等腰三角形中的应用 1.利用等腰三角形的轴对称性寻找特殊点利用等腰三角形的轴对称性寻找特殊点 例例 16：如图，在等边三角形 ABC 所在平面内找一点 P，使PAB,PBC,PAC 都是等腰三角形，你能找出几个这样的点？ 请画出它们的位置.2.利用轴对称变换集中几何条件利用轴对称变换集中几何条件 例例 17：