1第第 2 2 讲讲 命题及其关系、充分条件与必要条件命题及其关系、充分条件与必要条件【2013 年高考会这样考】1考查四种命题的意义及相互关系2考查对充分条件、必要条件、充要条件等概念的理解3考查题型主要以选择题、填空题形式出现，常与集合、几何等知识结合命题【复习指导】复习时一定要紧扣概念，联系具体数学实例，理清命题之间的相互关系，重点解决：(1)命题的概念及命题构成；(2)四种命题及四种命题间的相互关系；(3)充分条件、必要条件、充要条件的概念的理解及判定 基础梳理1命题的概念在数学中用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题其中判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题2四种命题及其关系(1)四种命题命 题表述形式原命题若p，则q逆命题若q，则p否命题若綈p，则綈q逆否命题若綈q，则綈p(2)四种命题间的逆否关系(3)四种命题的真假关系两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性；两个命题互为逆命题或互为否命题，它们的真假性没有关系23充分条件、必要条件与充要条件(1)如果pq，则p是q的充分条件，q是p的必要条件；(2)如果pq，qp，则p是q的充要条件一个区别否命题与命题的否定是两个不同的概念：否命题是将原命题的条件否定作为条件，将原命题的结论否定作为结论构造的一个新的命题；命题的否定只是否定命题的结论，常用于反证法两条规律(1)逆命题与否命题互为逆否命题；(2)互为逆否命题的两个命题同真假三种方法充分条件、必要条件的判断方法(1)定义法：直接判断“若p则q” 、 “若q则p”的真假并注意和图示相结合，例如“pq”为真，则p是q的充分条件(2)等价法：利用pq与綈q綈p，qp与綈p綈q，pq与綈q綈p的等价关系，对于条件或结论是否定式的命题，一般运用等价法(3)集合法：若AB，则A是B的充分条件或B是A的必要条件；若AB，则A是B的充要条件双基自测1(人教 A 版教材习题改编)以下三个命题：“ab”是“a2b2”的充分条件；“|a|b|”是“a2b2”的必要条件；“ab”是“acbc”的充要条件其中真命题的序号是_解析 由 23/ 22(3)2知，该命题为假；a2b2|a|2|b|2|a|b|，该命题为真；abacbc，又acbcab；“ab”是“acbc”的充要条件为真命题答案 2(2011陕西)设a a，b b是向量，命题“若a ab b，则|a a|b b|”的逆命题是( )A若a ab b，则|a a|b b| B若a ab b，则|a a|b b|C若|a a|b b|，则a ab b D若|a a|b b|，则a ab b解析 “若a ab b，则|a a|b b|”的逆命题是“若|a a|b b|，则a ab b” 答案 D3(2011山东)对于函数yf(x)，xR R， “y|f(x)|的图象关于y轴对称”是“yf(x)是3奇函数”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件解析 若yf(x)是奇函数，则f(x)f(x)，|f(x)|f(x)|f(x)|，y|f(x)|的图象关于y轴对称，但若y|f(x)|的图象关于y轴对称，如yf(x)x2，而它不是奇函数，故选 B.答案 B4(2011安徽)命题“所有能被 2 整除的整数都是偶数”的否定是( )A所有不能被 2 整除的整数都是偶数B所有能被 2 整除的整数都不是偶数C存在一个不能被 2 整除的整数是偶数D存在一个能被 2 整除的整数不是偶数解析 原命题是全称命题，则其否定是特称命题，故选 D.答案 D5命题“若ab，则 2a2b1”的否命题为 .答案 若ab，则有 2a2b1考向一 命题正误的判断【例 1】(2011海南三亚)设集合A、B，有下列四个命题：AB对任意xA都有xB；ABAB；ABBA；AB存在xA，使得xB.其中真命题的序号是_(把符合要求的命题序号都填上)审题视点 对于假命题，举出恰当的反例是一难点解析 不正确，如A1,2,3，B2,3,4，有AB但 2A且 2B.不正确，如A1,2，B2,3，有AB而AB2不正确，如A1,2，B2，有AB但BA.正确答案 正确的命题要有充分的依据，不一定正确的命题要举出反例，这是最基本的数学思维方式，也是两种不同的解题方向，有时举出反例可能比进行推理论证更困难，二者4同样重要【训练 1】 给出如下三个命题：四个非零实数a，b，c，d依次成等比数列的充要条件是adbc；设a，bR R，且ab0，若 1，则 1；a bb a若f(x)log2x，则f(|x|)是偶函数其中不正确命题的序号是( )A BC D解析 对于，可举反例：如a，b，c，d依次取值为 1,4,2,8，故错；对于，可举反例：如a、b异号，虽然 1，但 0，故错；对于，yf(|x|)log2|x|，显然为偶a bb a函数，故选 B.答案 B考向二 四种命题的真假判断【例 2】已知命题“若函数f(x)exmx在(0，)上是增函数，则m1” ，则下列结论正确的是( )A否命题是“若函数f(x)exmx在(0，)上是减函数，则m1” ，是真命题B逆命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是增函数” ，是假命题C逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上是减函数” ，是真命题D逆否命题是“若m1，则函数f(x)exmx在(0，)上不是增函数” ，是真命题审题视点 分清命题的条件和结论，理解四种命题间的关系是解题关键解析 f(x)exm0 在(0，)上恒成立，即mex在(0，)上恒成立，故m1，这说明原命题正确，反之若m1，则f(x)0 在(0，)上恒成立，故逆命题正确，但对增函数的否定不是减函数，而是“不是增函数” ，故选 D.答案 D判断四种形式的命题真假的基本方法是先判断原命题的真假，再判断逆命题的真假，然后根据等价关系确定否命题和逆否命题的真假如果原命题的真假不好判断，那就首先判断其逆否命题的真假【训练 2】 已知命题“函数f(x)、g(x)定义在 R R 上，h(x)f(x)g(x)，如果f(x)、g(x)均为奇函数，则h(x)为偶函数”的原命题、逆命题、否命题、逆否命题中正确命题的个数是( )A0 B1 C2 D3解析 由f(x)、g(x)均为奇函数，可得h(x)f(x)g(x)为偶函数，反之则不成立，如5h(x)x2是偶函数，但函数f(x)，g(x)ex都不是奇函数，故逆命题不正确，故其否x2 ex命题也不正确，即只有原命题和逆否命题正确答案 C考向三 充要条件的判断【例 3】指出下列命题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件” “必要不充分条件”“充要条件” “既不充分也不必要条件”中选出一种作答)(1)在ABC中，p：AB，q：sin Asin B；(2)对于实数x、y，p：xy8，q：x2 或y6；(3)非空集合A、B中，p：xAB，q：xB；(4)已知x、yR R，p：(x1)2(y2)20，q：(x1)(y2)0.审题视点 结合充分条件，必要条件的定义判断所给命题间的关系解 (1)在ABC中，ABsin Asin B，反之，若 sin Asin B，因为A与B不可能互补(因为三角形三个内角和为 180)，所以只有AB.故p是q的充要条件(2)易知，綈p：xy8，綈q：x2 且y6，显然綈q綈p，但綈p/ 綈q，即綈q是綈p的充分不必要条件，根据原命题和逆否命题的等价性知，p是q的充分不必要条件(3)显然xAB不一定有xB，但xB一定有xAB，所以p是q的必要不充分条件(4)条件p：x1 且y2，条件q：x1 或y2，所以pq但q/ p，故p是q的充分不必要条件判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q，二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题【训练 3】 (2010山东)设an是首项大于零的等比数列，则“a1a2”是“数列an是递增数列”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件解析 a1a2且a10，则a1(1q)0，a10 且q1，则数列an递增；反之亦然答案：C6难点突破 2高考中充要条件的求解从近几年课改区高考试题可以看出，高考主要以选择题或填空题的形式对充分条件、必要条件内容进行考查，一般难度不大，属中档题，常与不等式、数列、向量、三角函数、导数、立体几何等内容结合考查考查形式主要有两种：一是判断指定的条件与结论之间的关系；二是探求某结论成立的充要条件、充分不必要条件或必要不充分条件判断充分、必要条件要从两方面考虑：一是必须明确哪个是条件，哪个是结论；二是看由条件推出结论和由结论推出条件哪个成立，该类问题虽然属于容易题，但有时会因颠倒条件与结论或因忽视某些隐含条件等细节而失分一、充要条件与不等式的解题策略【示例】(2011天津)设x，yR R，则“x2 且y2”是“x2y24”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件C充分必要条件 D既不充分也不必要条件二、充要条件与方程结合的解题策略【示例】 (2011陕西)设nN N*，一元二次方程x24xn0 有整数根的充要条件是n_.7三、充要条件与数列结合的解题策略【示例】 (2010山东)设an是等比数列，则“a1a2a3”是“数列an是递增数列”的( )A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充分必要条件D既不充分也不必要条件四、充要条件与向量结合的解题策略【示例】(2010福建)若向量a a(x,3)(xR R)，则“x4”是“|a a|5”的( )A充分而不必要条件 B必要而不充分条件8C充要条件 D既不充分又不必要条件五、充要条件与三角函数结合的解题策略【示例】 (2010上海)“x2k(kZ Z)”是“tan x1”成立的( ) 4A充分不必要条件 B必要不充分条件C充要条件 D既不充分也不必要条件