高二数学高二数学“导数及其应用导数及其应用”综合测试卷综合测试卷一、填空题（本题共一、填空题（本题共 14 小题，每小题小题，每小题 5 分，合计分，合计 70 分）分）1.已知函数，则 2( )lnf xxx( )fx2.曲线在点的切线方程是 3231yxx1, 13.函数的单调增区间是 33yxx4.已知函数在区间上的最大值与最小值分别为，则3( )128f xxx3,3,M m Mm5.已知函数则 2( )2(1),f xxxf (0)f 6.已知函数在上单调递增，则的取值范围是 2( )lnf xxax1,a7.设函数 331f xaxx（xR） ，若对于任意，都有0 成立，1,1x f x则实数= a8.若函数的定义域为，对任意，则的( )f xR( 2)1f ,( )1xR fx( )3f xx解集为 9.曲线和在它们的交点处的两条切线与轴所围成的三角形面积为 1yx2yxx10. 已知函数的递增区间为，则的取值范围是 3(3 )(0)ya xx a( 1,1)a11. 已知函数的导函数若在处取到极大值,则的( )f x( )(1)(),fxa xxa( )f xxaa 取值范围是 12. 周长为的矩形围成圆柱（无底） ，当圆柱的体积最大时，圆柱的底面周长与圆柱12cm 的高之比是 13. 已知二次函数导数为且，对任意实数都有2( )f xaxbxc( ),fx(0)0f x则的最小值为 ( )0,f x (1) (0)ff 14. 在平面直角坐标系中，已知点是函数的图象上的动点，该图xOyP)0()(xexfx象在处的切线 交轴于点，过点作 的垂线交轴于点，设线段的PlyMPlyNMN中点的纵坐标为 ，则 的最大值是 tt二、解答题（第二、解答题（第 15,1615,16 题各题各 1414 分；分；17,1817,18 题各题各 1515 分；分；19,2019,20 题各题各 1616 分，共计分，共计 9090 分）分）15.已知函数图象上的点处的切线方程为.32( )f xxaxbxc 1,(1)Pf31yx （1）若函数在时有极值，求的表达式；( )f x2x ( )f x（2）若函数在区间上单调递增，求实数的取值范围.( )f x2,0b16若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点.( )yf x0xx0x( )yf x已知 a，b 是实数，1 和是函数的两个极值点132( )f xxaxbx（1）求 a 和 b 的值；（2）设函数的导函数，求的极值点；( )g x( )( )2g xf x( )g x17. 设函数.329( )62f xxxxa（1）对于任意实数恒成立，求实数的最大值；,( )x fxmm（2）若方程有且仅有一个实根，求实数的取值范围.( )0f x a18. 已知函数32( )3f xxaxx（1）若在上是增函数，求实数的取值范围；( )f x1,a（2）若是的极值点，求在上的最小值和最大值.3x ( )f x( )f x1,xa19. 用长为 24m 的钢条围成一个长方体形状的框架, 要求长方体的长与宽之比为 3：1, 问该长方体长、宽、高各为多少时,其体积最大？最大体积是所少？20. 设函数，其中为实数。axxxf ln)(axexgx)(a（1）若在上是单调减函数，且在上有最小值，求的取值范围；)(xf), 1 ( )(xg), 1 ( a（2）若在上是单调增函数，试求的零点个数，并证明你的结论。)(xg), 1()(xf高二数学高二数学“导数及其应用导数及其应用”综合测试参考答案综合测试参考答案1. 2. 3. 4. 5. 6. 2 lnxxx32yx 1,13242a 7. 8. 9. 10. 11. 12.42,3 4,010a 2:113. 14. 21 22e e15. 解：即2( )32,fxxaxb (1)323,fab 20.ab又(1)13 1 12,fabc 1.abc （1）函数在时有极值，( )f x2x ( 2)1240.fab 解得2,4,3,abc 32( )243.f xxxx （2）函数在区间上单调递增，Q32( )2bf xxxbxc 2,0在区间上恒成立，则2( )30fxxbxb 2,0( 2)1220(0)0fbbfb 得 实数的取值范围为.4,b b4,1617. 解：（1）对于任意实数2( )396,fxxxQ恒成立，恒成立，,( )x fxm239(6)0xxm解得的最大值为.81 12(6)0,m 3.4mm 3 4（2）当时，当时，2( )3963(1)(2),fxxxxxQ1x ( )0;fx 12x当时， 当时，取极大值当时，( )0;fx 2x ( )0.fx 1x ( )f x5(1);2fa2x 取极小值又方程有且仅有一个实根，或( )f x(2)2.fa( )0f x (2)0f(1)0,f解得或.实数的取值范围为.2a 5 2a a5,2,2U18. （1）由题设知时，2( )323.fxxax1,x31( )0.1,.2fxxaxx Q（时取等号）.时，当且仅当时min3132axx1x 3a 1x ( )0,fx 3.a（2）由题设知即(3)0,f3227630,5,( )53 .aaf xxxx令得或（舍去）.2( )31030,fxxx3x 1 3x 当时，单调递减；当时，单调递增.13x( )0,( )fxf x35x( )0,( )fxf x当时，有极小值3x ( )f x(3)9.f 又在上的最小值是最大值是(1)1,(5)15,( )fff x 1,5x(3)9,f (5)15.f19. 20.（1）0 在上恒成立，则，axxf1)(), 1 ( ax1)1 (，x故：1，若 1e，则0 在上恒aaxgxe)(aaxgxe)(), 1 ( 成立，此时，在上是单调增函数，无最小值，不合；axexgx)(), 1 ( 若e，则在上是单调减函数，在上是单aaxexgx)()ln1 (a，)(ln，a调增函数，满足故的取值范围为：e)ln()(minagxgaa（2）0 在上恒成立，则ex，axgxe)(), 1(a故： a1e)0(11)(xxaxaxxf()若 0 ，令0 得增区间为(0， )；a1e)(xf 1a令0 得减区间为( ，)(xf 1a当 x0 时，f(x)；当 x时，f(x)；当 x 时，f( )lna10，当且仅当 时取等号1a1aa1e故：当 时，f(x)有 1 个零点；当 0 时，f(x)有 2 个零点a1ea1e()若 a0，则 f(x)lnx，易得 f(x)有 1 个零点()若 a0，则在上恒成立，01)(axxf)0(，即：在上是单调增函数，axxxf ln)()0(，当 x0 时，f(x)；当 x时，f(x)此时，f(x)有 1 个零点综上所述：当 或 a0 时，f(x)有 1 个零点；当 0 时，f(x)有 2 个零a1ea1e点