高考数学试卷中填空题的特点及复习对策高考数学试卷中填空题的特点及复习对策填空题又叫填充题，是将一个数学真命题，写成其中缺少一些语句的不完整形式，要求学生在指定 的空位上，将缺少的语句填写清楚、准确.它是一个不完整的陈述句形式，填写的可以是一个词语、数字、 符号、数学语句等.填空题不要求学生书写推理或者演算的过程，只要求直接填写结果，它和选择题一样， 能够在短时间内作答，因而可加大高考试卷卷面的知识容量，同时也可以考查学生对数学概念的理解、 数量问题的计算解决能力和推理论证能力.在解答填空题时，基本要求就是： 正确、迅速、合理、简捷. 一般来讲，每道题都应力争在 13 分钟内完成.填空题只要求填写结果，每道 题填对了得满分，填错了 得零分，所以，考生在填空题上失分一般比解答题严重.根据填空时所填写的内容形式，可以将填空题分 成两种类型：一是定量型，要求学生填写数值、数集或数量关系，如：方程的解、不等式的解集、函数 的定义域、值域、最大值或最小值、线段长度、角度大小等等.由于填空题和选择题相比，缺少选择支的 信息，所以高考题中多数是以定量型问题出现.二是定性型，要求填写的是具有某种性质的对象或者填写 给定的数学对象的某种性质，如：给定二次曲线的准线方程、焦点坐标、离心率等等.从历年高考成绩看， 填空题失分率一直很高，因为填空题的结果必须是数值准确、形式规范、表达式最简，稍有毛病，便是 零分.因此，解填空题要求在“快速、准确”上下工夫.由于填空题不需要写出具体的推理、计算过程， 因此要想“快速”解答填空题，则千万不可“小题大做” ，而要达到“准确” ，则必须合理灵活地运用恰 当的方法，在“巧”字上下工夫.解填空题的基本原则是“小题不能大做” ，解题的基本策略是“巧做”. 填空题的解法常见的有直接推演法、特殊元素法、图象解析法、待定系数法、等价转化法、分类讨论法、 探索规律法七种. 一、直接推演法：直接推演法，又称综合法，由因导果法，是解填空题的一种常用方法，也是一种 基本方法.它的解题方法是根据填空题的题设条件，通过应用定义、公理、定理、公式等经过计算、变形、 推理或判断，得出正确的结论.直接推演法解题自然，运用数学知识，通过综合法，直接得出正确答案. 使用直接法解填空题，要善于通过现象看本质，自觉地、有意识地采取灵活、简捷的解法. 典型例题： 例 1：（2012 年上海市理 4 分）计算： （i为虚数单位）.3 1i i 【答案】.12i【考点】复数的运算.【解析】将分子、分母同乘以分母的共轭复数，将分母实数化即可：.ii iiii ii212413 )1)(1 ()1)(3( 13例 2：（2012 年四川省理 4 分）设全集，集合，则 , , , Ua b c d , Aa b , , Bb c d ）（）（BCACUUU .【答案】 , , a c d【考点】集合的运算.【解析】，集合， , , , Ua b c d , Aa b , , Bb c d，. , UC Ac d（）aBCU）（）（）（BCACUUU , , a c d例 3：（2012 年北京市理 5 分）已知，若同时满足条件： xf xm(x2m) xm3 ,g x22或或， xRf x0g x0x(,4), f xg x0 或或或或或-或则 m 的取值范围是 【答案】.4,2 【考点】简易逻辑，函数的性质.【解析】由得. xg x220 又由条件的限制，可分析得出时，恒负. x(,4), f xg x0 -或x(,4) - f x就需要在这个范围内有得正数的可能，即4 应该比两根中小的那个大.12xx或由得，2m=m3m=1当时，解得交集为空集，舍去.m1, 0 m34xxxxxx例 7：（2012 年江苏省 5 分）已知函数的值域为，若关于x 的不2( )()f xxaxb a bR，0)，等式的解集为，则实数 c 的值为 ( )f xc(6)mm，【答案】9. 【考点】函数的值域，不等式的解集.【解析】由值域为，当时有，即， 0)，2=0xaxb240abV24ab .22 22( )42aaf xxaxbxaxx解得，.2 ( )2af xxc2acxc22aacxc不等式的解集为，解得.( )f xc(6)mm，()()2622aaccc 9c 例 8：（2012 年天津市理 5 分）某地区有小学 150 所，中学 75 所，大学 25 所. 现采用分层抽样的 方法从这些学校中抽取 30 所学校对学生进行视力调査，应从小学中抽取 所学校，中学中抽取 所学校. 【答案】18，9. 【考点】分层抽样的概念以及样本获取的方法与计算. 【分析】分层抽样也叫按比例抽样，由题知学校总数为 250 所，应从小学中抽取，中学中抽取.15030=182507530=9250例 9：（2012 年江苏省 5 分）现有 10 个数，它们能构成一个以 1 为首项，为公比的等比数列，3 若从这 10 个数中随机抽取一个数，则它小于8 的概率是 【答案】.3 5 【考点】等比数列，概率. 【解析】以 1 为首项，为公比的等比数列的10 个数为 1，3，9，-27，其中有 5 个负数，3 1 个正数 1 计 6 个数小于8，从这 10 个数中随机抽取一个数，它小于8 的概率是.63=105 二、特殊元素法：特殊元素法的解题方法是在有些填空题所涉及的数学命题与字母的取值范围有关， 在解决这类解答题，可以考虑从取值范围内选取某一个特殊的值，代入原命题进行验证，从而确定答案. 典型例题： 例 1：（2012 年四川省理 4 分）记为不超过实数的最大整数，例如， xx221.51.设为正整数，数列满足，现有下列命题： 0.31 anx1xa1 ()2n n naxxxnN 当时，数列的前 3 项依次为 5,3,2；5a nx对数列都存在正整数，当时总有；nxknknkxx当时，；1n 1nxa对某个正整数，若，则.k1kkxxnxa其中的真命题有 _.（写出所有真命题的编号） 【答案】.【考点】真命题的判定，对高斯函数的理解，数列的性质，特殊值法的应用，基本不等式的应用. x【解析】对于，若，根据 5a 1 ()2n n naxxxnN 当n=1 时，x2=3, 同理x3=. 故正确.2152213对于，可以采用特殊值列举法： 当a=3 时，x1=3, x2=2, x3=1, x4=2x2k=1, x2k+1=1, 此时数列从第二项开始为 2，1，2，1，不成立.故错误.nxnkxx对于，由的定义知，而为正整数，故，且是整数. x 1x xa0nx nx对于两个正整数、，当为偶数时；当为奇数时，ab+a b+=22a ba b +a b+1=222a ba b不论是偶数还是奇数，有.+a b+1 222a ba b和都是整数，nxna x.12111=11=12222222nnnnn nnnnn naaaaaxxxxxxxxxxxa 又当时，=1n1xa，成立.21331 =+0244aaa1xa1a当时，.故正确.1n 1nxa对于，当时， ，即.1kkxx 2k k kaxxx 02k k kaxxx 0k kaxx，即，解得.0kk kkaaxxxx0k kaxxkxa由，.故正确.1nxa1ka x或或化简得：. 2220=+0xxxf xxxx或或如图，作出函数和的图 2220=+0xxxf xxxx或或ym象， 如果有三个不同的实数解，即直线与 f xmym函数f(x)的图象有三个交点，如图， （1）当直线过抛物线的顶点ym2+yxx 或时，有两个交点；1 1 2 4或=0ym（2）当直线中时，有一个交点；ym104mmy 或y x作出（）所在平面区域（如图）.求出xy或的切=xy e线的斜率，设过切点的切线为e00P xy或， =0y exm m则，要使它最小，须.00000=yexmmexxx=0m的最小值在处，为.此时，点在上之间.y x00P xy或e00P xy或=xy e,A B当（）对应点时， ，xy或C=45 =205=7=7=534 =2012yxyxyyxyxyxx的最大值在处，为 7.y xC的取值范围为，即的取值范围是.y x 7e或b a 7e或四、待定系数法：待定系数法是一种常用的数学方法，对于某些数学问题，如果已知所求结果具有 某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结 果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程（组）或不等式（组），解之即得待定的系数. 典型例题： 例 1：（2012 年北京市理 5 分）已知为等差数列，为其前 n 项和.若，则= nanS11a =223Sa2a ； nS =【答案】1；.211nn44【考点】等差数列【解析】设等差数列的公差为，根据等差数列通项公式和已知，得d11a =223Sa.22221a =1a =d211d=a =ad22 .112 naan1 d11S =n=nn244例 2：（2012 年广东省理 5 分）.已知递增的等差数列满足，则 na11a 2 324aana . 【答案】.21n- 【考点】等差数列.【解析】设递增的等差数列的公差为（） ，由得， nad0d 2 324aa212(1)4dd+=+-解得，舍去负值，.2d = 2d =.21nan=-例 3：（2012 年浙江省理 4 分）设公比为的等比数列的前项和为若(0)q q nannS，则 2232Sa4432Saq 【答案】.3 2【考点】等比数列的性质，待定系数法.【解析】用待定系数法将，两个式子全部转化成用，q表示的式子：2232Sa 4432Sa 1a，111 233 1111132 32aa qa q aa qa qa qa q 两式作差得：，即：，解之得：或 (舍去).232 1113(1)a qa qa q q 2230qq 3 2q 1q 例 4：（2012 年辽宁省理 5 分）已知等比数列an为递增数列，且，2 510