橙子奥数工作室 http:/www.aoshoo.com 教学档案 1980 年上海市高中数学竞赛试题 第一试 1已知 a 1 , b 1，求证loglog4ababab+ 2设1x、2x是方程210xx+ =的两个根，求19801980 1 21()xx+的值 3设 D 为ABC 的边 BC 上的点，连结 AD 得ABD 和ACD 如果这三个三角形相似，问ABC 是怎样的三角形？为什么？ 4已知ABC 的边 BC 上有两点 D、E，且 BD = CE求证：AB + AC AD + AE 5非零实数, , , , ,a b c x y z满足条件222222abcxyzaxbycz+=+=+，求证：xyz abc= 6ABC中最大角A是最小角C的 2 倍，夹角A的两边b = 5，c = 4求第三边a和ABC的面积 7已知平面的斜线在此平面上的射影与该平面内过此斜线足的两直线构成等角，求证：斜线本身与上述两直线也构成等角 8已加函数21sincos4yxx=+，问x取何值时，函数y有极值 9设P点在双曲线x2y2 = 1 上运动，P处切线与圆x2 + y2 =1 交于A和B，求弦AB中点Q的轨迹方程 第二试 1已知ABC中，lgtanlgtan2lgtanACB+=，求角B的范围 2在单位正方体ABCDABCD中，在一个面的对角线AB上取M点使AB = 3AM、在另一个面的对角线BD上取N点使BD = 3BN求证：MN是AB和BD的公垂线，并求MN的长 3抛物线与Oy轴相切于原点，直线x + y + 1 = 0 是抛物线在顶点的切线，求此抛物线的方程 4证明：12222222222nF=+ 3已知正四棱锥PABCD的侧面与底面的夹角为，相邻两侧的夹角为，求证：2coscos= 4设1112275jnmmjkkj= ，求正整数n的值 5设n为偶数，试证：111112 1!(1)!3!(3)!5!(5)!(1)!1!nnnnnn +=? 6设抛物线的对称轴是210xy+ =，准线是250xy=，且与直线230y +=相切，求此抛物线方程 7已知32sinsin2sin3()()()xxxxxx+，且0 ，求的取值范围 8 已知复数1z、2z、3z，1|1z=、2|zk=、3|2zk=，1argz=、2argz=、3argz=， 且1230zzz+=，问k为何值时，2sin ()的值为最大？ 第二试 1设n是正整数，k是不小2的整数，试证kn可以表示成n个相继的奇数之和 2试证在22nn（n是正整数）个相等小方格组成的棋盘上任意挖去一个小方格后，总可以由三个小方 格构成的L形块（如图）恰好铺满（既不重叠，也不越界） 3橙子奥数工作室防盗暗记计算：3321lim1nnkk k=+ 4在方程组432 112432 223432 334432 441axbxxaxbxxaxbxxaxbxx+= +=+= +=中，a、b是实数，且0a求证： （1）当240ba+时，方程组至少有一组非零实数解； （2）当240ba+； 当15/6x，1acc=+ ，1bcc=，那么 A、ab B、ab C、ab= D、ab B、|BCBC C、|BCBC 0）作与y轴平行的直线且和C相交于点M1，然后过点M1作c的切线和x轴相交于点P2，再过P2作与y轴平行的直线且和C相交于点M2，又过M2作C的切线和x轴相文于点P3以下，用同样的方法直至无穷记PkMkPk+1的面积为Sk 求：S1 + S2 + + Sn + 的值 5空间有10个点，其中有4个点在同一平面上除此之外，这10个点中不再有4个点共面 求：以其中一点为顶点，过其他3个点的圆为底面的圆锥的个数 6已知直线(0)ykxb b=+与二次曲线222220AxBxyCyDxEyF+=相交于M、N两点 试求OM、ON垂直的充要条件 7设(0,1,2,1)kzkn=?是10nz =的n个根，1 110( )0mm mmf xa xaxaa =+?，其中m为小于n的正整数求证：10 01()nk kf zan= 第二试 1已知函数2( )22 , ,1f xxxxt t=+的最小值是( )g t写出( )Sg t=的解析表达式，并画出它的图象 2把n2个互不相等的实数排成右表，取每行的最大数得n个数，其中最小的一个是x；再取每列的最小数，又得n个数，其中最大的一个是y，试比较xn与yn的大小 3ABCDABCD是边长为1的正方体，M、N分别在棱BB、CD上，且11,22BMMBD NNC= （1）指出MN的中垂面在已知正方体上截得的截面是个什么样的图形，并加以说明； （2）求出这截面在正方体的底面ABCD上的射影的面积 111212122212nnnnnnaaaaaaaaa?4试证n（2n）个互不相等的正整数的倒数平方和不能是整数 5从二次曲线C外一点L引C的两条切线，其切点的连线为直线l，再从C外另外两点M、N同样引C的切线，其切点的连线分别为直线m和n，又L，M，N三点共线，试证l，m，n三线共点 6如图，AE和AF、BF和BD、CD和CE分别是ABC中A、B、C的三等分线，求证DEF是等边三角形 简略答案 第一试： 1DCEB 2 （1）()()()()Spapbpcpd=，其中2abcdp+=； （2）略 3221244aab+ 432 7a 5836 6222220AbDkbFkCbEbF+= 70a 第二试： 1 当01t 时，( )1g t=； 当0t时，2( )(1)1g tt=+ 图略 2 设,ijpqxaya=，则ijiqpqaaa，余略 35 84 6略 （收集：王瑜 录入：成俊锋） aoshoo.comCEFDAB橙子奥数工作室 http:/www.aoshoo.com 教学档案 1983 年上海市高中数学竞赛试题 第一试 一、填充题 11tan15 1tan15+=_ 22( 32 )( 52 )( 53 )|( 23 )( 25 )iiiii+=_ 31到1000中所有被3除余2，并且被7除余4的正整数之和为_ 4一个椭圆内切于一个长为m，宽为n的矩形，这个椭圆的内接矩形的周长的最大值是_ 533106 3106 3+= _ 6如果1、x、y三个正数，既依次是一个等差数列的第l项、第m项、第n项，又依次是一个等比数列的第l项、第m项、第n项，那么x、y应满足的关系式是_ 7在集合1，2，n中，任意取出一个子集，计算它的元素之和，则所有各个子集元素之和的总和是_ 8点P在单位正方体的ABCDA B C D的棱CD上滑动，过P、A、C做截面，所得截面的面积的最小值是_ 二、选择题： 1如果命题“坐标满足方程F (x , y) = 0的点都在曲线C上”是不正确的，那么 A、曲线C上的点的坐标都满足方程F (x , y) = 0 B、坐标满足方程F (x , y) = 0的点都不在曲线C上 C、曲线C上的点的坐标不都满足方程F (x , y) = 0 D、坐标满足方程F (x , y) = 0的点有些在C上，有些不在C上 E、一定有不在曲线C上的点，其坐标满足方程F (x , y) = 0 2四名甲队队员，三名乙队队员站成一排，任何两名乙队队员不靠在起，不同的站法有 A、4! 3! B、3 54!P C、2(4!) D、3 44!P E、以上都不是 3已知,x yN，xy，331919xyyx+=+，1 2log ()axy=+，则a的取值范围是 A、( 3,2) B、 2 ,1 C、( 1,1) D、1, 2 E、(2 , 3) 4arctan( cot45)= A、4 B、45 C、29452 D、29452 E、(2 , 3) 5当1(0 ,)2k 时，方程|1|xkx=的解的个数是 A、0 B、1 C、2 D、3 E、4 6已知正整数a、b、c满足条件： 30abc，则称Q为P关于R的对称点（是一种“点对称” ） 特别地，当P、R重合时，对任意，P关于R的对称点都是P 3设sinyx=，问是否存在1n+个实系数的多项式0( )P x，1( )P x、2( )P x、( )nP x，其中n为任意正整数，1 0010( )(0)mm mP xa xa xaa=+?，使1 01( )( )( )0nn nP x yP x yP x+? 简略答案 第一试： 一、13 28 324216 4222mn+ 52 611yxxy= 722(1)nn n+ 86 2二、EBACD EE 第二试： 134、1arctan2、1arctan3（可以随意排列）2 当01u且00y =时，收敛点坐标为（0, 0x） ； 当1=时，若0b，收敛点坐标为（0, 0x） ，若0b=，收敛点坐标为00(,)xy 3答案是否定的 （试题收集：王瑜 录入：成俊锋） 橙子奥数工作室 http:/www.aoshoo.com 教学档案 1984 年上海市高中数学竞赛试题 第一试 一、选择题 1某大学有外语教师120名，其中教英语的有50名，教日语的有45名，教法语的有40名有15名既教英语又教日语，有10名既教英语又教法语，有8名既教日语又教法语，有4名教英语日语和法语三门课，则不教这三门课的外语教师有多少名？ A、10 B、14 C、18 D、22 E、26 2220 1920 19 18 1720 191log (1)1 21 2 3 41 220+= ?A、17 B、18 C、19 D、20 E、其他 3在ABC中，C是直角，则2sin2sinAB+ A、有最大值无最小值 B、有最小值无最大值 C、有最大值也有最小值 D、无最大值也有无最小值 E、等于常数 4已知225sinsin240+=，在第二象限，则cos2= A、3 5B、3 5 C、2 2D、4 5E、其他 5已知tan2logcos3=，是锐角，则2(1 cot)1logsin22+= A、7 4 B、7 4C、1 4 D、1 4E、7 10 6111111ABCDEFA B C D E F是正六棱柱，M是DE的中点，这正六棱柱过1A、C、M三点的截面是 A、三角形 B、四边形 C、五边形 D、六边形 E、七边形 7与空间不共面的四点距离相等的平面有多少个？ A、3 B、4 C、6 D、7 E、 其他 8