1.2.21.2.2 空间中的平行关系空间中的平行关系(1)(1)平行直线平行直线自主学习学习目标 能认识和理解空间平行线的传递性，会证明空间等角定理自学导引 1_的两条直线叫做平行线，过直线外一点有且只有 _直线与这条直线平行 2基本性质 4：_，用符号表述为 _ 3等角定理：如果一个角的两边与另一个角的两边 _，那么这两个角相等 4顺次连接不共面的四点 A、B、C、D 所构成的图形叫做_，四个点 叫做空间四边形的_，所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的_，连接 不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的_对点讲练 知识点一 理解有关概念及性质例 1 下列叙述是否正确，请说明理由 空间四边形的四个顶点不共面，它有四条边两条对角线 空间四边形不是平面图形，可以把它看作同一平面内有一条公共底边的两个三角形 沿着公共底边适当翻折而成的空间图形 顺次连接空间四边形四条边的中点得到一个平行四边形 四边都相等的四边形都是菱形 有三个角都是直角的四边形是矩形点评 空间四边形是立体几何中的一个重要模型，应掌握其画法及特征 变式训练 1 在空间四边形 ABCD 中，若 ACBD，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，则四边形 EFGH 是( ) A菱形 B矩形 C梯形 D正方形知识点二 平行公理的应用例 2 如图所示，P 是ABC 所在平面外一点，D、E 分别是PAB、PBC 的重心求证：DEAC，DE AC.1 3点评 空间图形中的平行，往往转化到某一个平面中去，利用平面性质：如中位线、 平行截割定理等 变式训练 2 如图所示，在空间四边形 ABCD 中，E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 上的点，且1，那么四边形 EFGH 是什么图形？AE EBAH HDCF FBCG GD知识点三 等角定理的应用例 3 如图所示，两个三角形 ABC 和 ABC的对应顶点的连线 AA、BB、CC交于同一点 O，且 .AO OABO OBCO OC2 3(1)求证：ABAB，ACAC，BCBC；(2)求的值S ABC S ABC点评 本题考查了等角定理，等角定理的实质是由两个结论合成的：若一个角的两 边与另一个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；若一个角的两边与另一 个角的两边分别平行且一组边的方向相反，那么这两个角互补 变式训练 3 如图所示，在正方体 ABCDA1B1C1D1中，E、F、E1、F1分别为所在边中点求证： (1)EFE1F1； (2)EA1FE1CF1.1.空间两条直线的位置关系Error! 2注意：等角定理的逆命题不成立. 课时作业一、选择题 1已知 ABPQ，BCQR，ABC30，则PQR 等于( ) A30 B30或 150 C150 D以上结论都不对 2若AOBA1O1B1，且 OAO1A1，OA 与 O1A1的方向相同，则下列结论中正确的是( ) AOBO1B1且方向相同 BOBO1B1 COB 与 O1B1不平行 DOB 与 O1B1不一定平行 3正方体 ABCDA1B1C1D1中，P、Q 分别为 AA1、CC1的中点，则四边形 D1PBQ 是( ) A正方形 B菱形 C矩形 D空间四边形 4如图所示，设 E、F、G、H 依次是空间四边形 ABCD边 AB、BC、CD、DA 上除端点外的点，且，.则下列结论中不正AE ABAH ADCF CBCG CD确的为( ) A当 时，四边形 EFGH 是平行四边形 B当 时，四边形 EFGH 是梯形C当 时，四边形 EFGH 是平行四边形1 2D当 时，四边形 EFGH 是梯形1 25已知空间四边形 ABCD 中，M、N 分别为 AB、CD 的中点，则下列判断正确的是( )AMN (ACBD)1 2BMN (ACBD)1 2CMN (ACBD)1 2DMN (ACBD)1 2题 号12345 答 案二、填空题 6下列命题中，正确的结论有_(填写序号) 如果一个角的两边与另一个角的两边分别平行，那么这两个角相等； 如果两条相交直线和另两条相交直线分别平行，那么这两组直线所成的锐角(或直角)相 等； 如果一个角的两边和另一个角的两边分别垂直，那么这两个角相等或互补； 如果两条直线同时平行于第三条直线，那么这两条直线互相平行 7在空间四边形 ABCD 中，点 E、F、G、H 分别是 AB、BC、CD、DA 的中点，若 ACBD，且 ACBD，则四边形 EFGH 的形状为_8.如图所示，正方体 ABCDA1B1C1D1中，判断下列直线的位置关系： (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是_； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是_； (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_ 三、解答题9.如图所示，在一个长方体木块的 A1C1面上有一点 P，过 P 点作一条直线和棱 CD 平行， 应怎样作？若要求过 P 点画一条直线和 BD 平行，又该怎样作？10.如图所示，在三棱锥 ABCD 中，E，F，G 分别是棱 AB，AC，AD 上的点，且满足AE AB.AF ACAG AD求证：EFGBCD.【答案解析】 自学导引 1在同一平面内不相交 一条 2平行于同一条直线的两条直线互相平行 如果 ab，cb，那么 ac 3分别对应平行，并且方向相同 4空间四边形 顶点 边 对角线 对点讲练 例 1 解 由空间四边形的定义知命题都是真命题空间四边形的四条边可相等，故命题 为假命题关于命题可构造正方体 ABCDA1B1C1D1，如图， D1ABABCBCD190，但AD1C60，四边形 ABCD1不是矩形，故为假命 题 变式训练 1 A 例 2 证明 连接 PD 并延长交 AB 于 M，连接 PE 并延长交 BC 于 N，则 M 为 AB 的中点， N 为 BC 的中点，MNAC，又 ，PD DMPE EN2 1DEMN，DEAC.又 ，DE MNPD PM2 3DE MN，又因 MN AC，2 31 2DE AC.1 3变式训练 2 解 四边形 EFGH 是平行四边形因为，AE EBAH HDCF FBCG GD所以AEHABD，CFGCBD.设k(k1)，则利用相似三角形的性质，知AE EBAH HDCF FBCG GDEHBD，FGBD，且 EHBD，FGBD，所以 EHFG，所以四边形 EFGH 是平行四k k1k k1边形 例 3 (1)证明 AA与 BB交于点 O，且 ，ABAB.AO OABO OB2 3同理 ACAC，BCBC. (2)解 ABAB，ACAC且 AB 和 AB、AC 和 AC方向相反， BACBAC. 同理ABCABC.因此ABCABC，且 .AB ABAO OA2 32 .S ABC S ABC(2 3)4 9变式训练 3 证明 (1)连接 BD、B1D1. E、F 分别为 AD、AB 的中点，则在ABD 中有 EFBD 且 EF BD.1 2同理，E1、F1分别为 B1C1、C1D1的中点，则在C1D1B1中有 E1F1B1D1且 E1F1 B1D1.1 2而在正方体 ABCD A1B1C1D1中，BB1DD1. 四边形 BB1D1D 为平行四边形， BDB1D1且 BDB1D1，EFE1F1. (2)取 A1B1的中点 M，连接 BM，则 BFA1M AB，1 2又 BFA1M，BFA1M， 四边形 A1FBM 为平行四边形 A1FBM，而 M、F1分别为 A1B1、C1D1的中点， 则 F1MC1B1，而 C1B1BC. F1MBC 且 F1MBC. 四边形 F1MBC 为平行四边形， BMF1C，又 BMA1F，A1FCF1. 同理取 A1D1的中点 N， 连接 DN，则 A1NDE， 所以四边形 A1NDE 为平行四边形 A1EDN，又 E1NCD 且 E1NCD. E1NDC 为平行四边形，DNCE1. 由基本性质 4，A1ECE1. EA1F 与E1CF1的两边分别对应平行， 即 A1ECE1，A1FCF1且方向都相反 EA1FE1CF1. 课时作业 1B 由等角定理知空间中如果两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或 互补 2D 等角定理的实质是角的平移，其逆命题不一定成立，OB 与 O1B1有可能平行， 也可能不在同一平面内，位置关系不确定 3B 设正方体棱长为 2，直接计算可知四边形 D1PBQ 各边均为 ，又 D1PBQ 是平行5四边形，所以四边形 D1PBQ 是菱形 4D 当 时 EHFG，EFGH 为平行四边形， 故 D 中结论不正确 5D如右图所示，取 BC 中点 E，连接 ME，NEError!MN (ACBD)1 26 7正方形 解析 E、F、G、H 分别为所在边的中点，由中位线性质知 EFAC，GHAC，1 21 2EFGH.四边形 EFGH 为平行四边形 又 ACBD，ACBD，EFFG，且 EFFG. 四边形 EFGH 为正方形 8(1)平行 (2)异面 (3)相交 (4)异面 9解 如图所示，(1)过点 P 作 EFC1D1分别交 B1C1、A1D1于点 E、F 即可因为 CDC1D1，所以 EFCD. (2)过点 P 作 GHB1D1分别交 B1C1、C1D1于点 G、H 即可因为 BDB1D1，所以 GHBD.10证明 在ABC 中，AE ABAF ACEFBC 且.EF BCAE AB同理，EGBD 且.EG BDAE AB又FEG 与CBD 的对应两边方向相同，FEGCBD.，EF BCEG BDEFGBCD.