新疆师范大学2016届本科毕业论文（设计） 2016届本科毕业论文(设计) 题 目：不等式的若干证明方法 学 院：数学科学学院 专业班级：数学与应用数学12-1班 学生姓名：高春 指导教师：马昌秀 答辩日期：2016年5 月3日 新疆师范大学教务处 目 录1.引言12.证明不等式的常用方法22.1比较法22.1.1 作差法22.1.2作商法22.2 分析法32.3 综合法42.4 反证法52.5 放缩法5 2.6 数学归纳法6 2.7换元法7 2.7.1增量换元法.72.7.2三角换元法72.7.3 比值换元法82.8 标准化法92.9 公式法92.10 分解法102.11 构造法102.11.1 构造对偶式模型102.11.2 构造函数模型112.12 借助几何法113.利用函数证明不等式123.1 极值法124.利用著名不等式134.1 均值不等式134.2 柯西-施瓦茨不等式144.3 拉格朗日中值定理144.4 赫尔德不等式154.5 詹森不等式164.6 闵可夫斯基不等式174.7 伯努利不等式174.8 切比雪夫不等式184.9 琴生不等式194.10 艾尔多斯莫迪尔不等式194.11 排序不等式定理195.小结20参考文献21谢 辞22不等式的若干证明方法摘 要:不论在初等数学还是高等数学中,不等式都是非常重要的内容,而不等式的证明又是不等式知识的重要组成部分,在本篇文章中,综述了证明不等式的若干方法,从初等数学不等式的证明中经常用到的数学归纳法、反证法、放缩法、换元法、判别式法、函数法、几何法等等,到高等数学不等式的证明中经常利用的中值定理、泰勒公式以及一些著名的不等式,使不等式的证明方法更加的完善,有利于进一步的探讨和研究不等式的证明。关键词:不等式；不等式证明；常用方法Some prove inequalities methodAbstract: in both the elementary mathematics and advanced mathematics, the content of the inequality is very important, inequality and the proof is an important part of knowledge, in this article, several methods to prove inequality are reviewed in this paper, from the elementary mathematics inequality analyst frequently used mathematical induction, the reduction to absurdity, zooming method, substitution method and elementary method, function method, geometric method, etc., to the higher mathematics inequality analyst often use of mean value theorem, Taylor formula and some famous inequality, the inequality proof method more perfect, is conducive to further explore and research of inequality proof.Key words: inequality; Inequality proof; Commonly used method31.引言 在生活中,虽然不等关系要比相等关系更多的存在于现实世界里,但是人们对于不等式的认识要比等式要迟的多,直到17世纪以后,不等式的理论才逐渐发展起来,成为数学基础理论中的一个重要组成部分。数学不等式的研究最早从欧洲国家开始兴起, 其中有一个较大的研究群体, 它是位于欧洲东部的原南斯拉夫国家,对不等式的研究更是做出了巨大贡献。在数学不等式理论的发展史上,一共有两个比较重大的事件,它们分别是：切比雪夫在1882 年发表的论文和高德菲哈罗德哈代在1928 年任伦敦数学会主席届满时的演讲。哈代、李特尔伍德以及波利亚的著作Inequalities的前言中更是对不等式的哲学做出了非常有见地的见解: 一般来讲初等的不等式应该有初等的证明, 证明应该是“内在的”,并且应该给出使等号成立的证明。Fink说道：人们应该尽量陈述和证明那些不能推广的不等式；哈代也说：“基本的不等式是初等的”。自哈代、李特尔伍德以及波利亚的著作Inequalities由 Cambridge University Press在1934年开始出版以后, 数学不等式的理论和数学不等式理论应用的研究在数学史上正式开始活跃起来, 成为一门新兴的独立的数学学科, 从此以后不等式便不再是一些零星散乱、孤立的公式综合, 而是逐渐发展成为一套系统的、独立的科学理论。自20 世纪 70 年代以来 , 按照国际惯例,每四年在德国召开一次关于一般不等式 ( General Inequalities) 的国际学术会议 , 并且还要出版专门的会议论文集,不等式理论更是 2000 年在意大利召开的第三届世界非线性分析学家大会 (“The Third World Congress of Nonlinear Analyst s” ( WCNA - 2000) )的主题之一,从这些方面我们可以看出不等式在数学中的重要性。在研究数学的不等式过程中,有许多的内容都十分有用,如：不等式的性质、不等式的证明方法和不等式的解法,在本文中,就不一一说明了,而主要介绍一些证明不等式的常用方法、利用函数证明不等式的方法和利用一些著名不等式证明不等式的方法,希望通过这些方法的学习,我们可以更好的认识数学中不等式的一些特点,从而开拓我们的数学视野,深化我们对不等式的认识,以便于站在更高的角度来研究数学不等式,让数学不等式理论充满蓬勃生机、兴旺发达。2.证明不等式的常用方法2.1比较法比较法是把不等式两边作商或作差后和1或0做比较的方法 ,常用比较法的有两种：作差法和作商法。2.1.1 作差法从不等式两边的差是正数还是负数来判断它们的大小,其理论根据就是:若,则；若,则.此外,还要特别注意对任何实数,其平方后必不小于零。在运用此方法证不等式时,常常求不等式两端的差,所以这种方法通常也称为求差法。例 求证:对任何实数成立下述不等式：.证明: 利用比较大小的办法,我们求不等式两边式子之差,因为 所以 .2.1.2作商法作商法是把不等式两边做比,然后与1作比较,看比值是大于1还是小于1。例 设,求证：.（由于要比较的两式成幂的结构,故结合函数的单调性,故可采用作商比较法来证明.） 证明：作商得：, 又由指数函数的性质 当时,；当时,. 当时,.即 .2.2 分析法分析法也叫逆推法,就是假定给的不等式是成立的,推测使它成立的条件,用恒等变换和不等式的性质继续推测能使这些条件成立的条件,这样逐步的递推下去,最后得到一个已知成立的不等式的方法,并且让推导过程的每一步又都是可逆的,便证明了原不等式是正确的。对于比较复杂的不等式,往往可以运用这种方法进行思考,从而探索证题的途径。例 已知,证明,并讨论当为何值时等号成立.证明: 若原不等式成立, 则可写成 ,由于,两端乘以正数,则问题化为证明 但 所以问题又化为证明不等式即 这个不等式的正确是显然的,故原不等式成立.因为,所以等号成立当且仅当,解出.2.3 综合法综合法是利用已经证明过的不等式和不等式的性质,推出所要证明的不等式成立,综合法也是分析法的逆推.对于比较复杂的不等式,如果从已知直接推出结果,往往不易成功,这时,我们便可用逆向思维,由结果去推已知,也许会简单些,因此,在证明题时通常是先用分析法去探索证题的途径,再用综合法叙述证明过程.综合法证明不等式的逻辑关系是：（已知A）逐步推演不等式成立的必要条件（结论B）,符号如下：.例 已知为正实数,用综合法证明.证明：同理,三同向的不等式的两边相加得到：.2.4 反证法反证法是从求证结论的反向入手,即假设求证的不等式不成立,然后经过一堆番合乎逻辑的推理,推出与已知条件或其他正确的定理、命题、公式相矛盾的结论,从而否定开始所作的假设,以此断定求证的不等式成立的方法,也就是逆向思维。例 已知,且,求证：中至有一个是负数.证明：假设都是非负数,因为 所以 又 所以 这与已知矛盾.所以 中至少有一个是负数.注：对于某些问题,应用直接证法,过程繁杂或不易证明时,可考虑是否可用反证法。2.5 放缩法放缩法是把不等式两边通过添加或减少一些项使得到的式子与原式相差不大但可以更好的利用不等式性质的方法。放缩的技巧：想要证明,先找到一个（或多个）中间变量C,使,选择由A到C叫做“放”,由B到C叫做“缩”。例 求证:.证明: 因为 故原不等式成立.注：1、不等式放缩法的理论依据,是不等式的传递性,即若则；2、在使用放缩法时,“放”和“缩”都不能过头,要适当；3、放缩法的技巧性比较强,一般用于两边差别比较大的不等式中。2.6 数学归纳法 数学归纳法,常用于题目中带有n的题,一般步骤为先假设当和是不等式成立,再证明当是不等式成立,则原题得证。例 求证：(为大于1的自然数).证明: （1）当时,；（2）当时,；下证当时,原不等式也成立：因为 ,所以所以 ,即 由（1）（2）知原不等式成立.2.7 换元法换元法是把原不等式中的项用一些更简便的字母代替掉,用代替后的式子求解后再代回去的方法。2.7.1 增量换元法一般的,对称式（任意交换式子中两个字母的位置,式子的大小不变）和给定字母顺序（如abc）的不等式,常用增量法来换元,换元的目的呢,是通过换元来达到减元,使问题变得简单。 例 已知,求证：.。 证明: 由,可令 因为 所以 故 .2.7.2三角换元法 三角换元是一种很常见的换元方法,多用于条件不等式的证明,在解答类似这些题目时,适当的选择三角函数来进行换元,把代数问题转化为三角问题,然后根据三角函数的性质解决问题。例 已知,求证：.证明: ,则 .2.7.3 比值换元法对于题目中有多个等比式的不等式,我们先设一个辅助未知数去表示这个比值,然后将比值代入不等式求解,这就是比值换元法。例 已知,求证：.证明: 设,于是 x=k+1,y=2k-1,z=3k+2把以上各式代入得=.2.8 标准化法形如的函数,其中,且为常数,则之间的值越接近,的值越大（或不变）；当时,取最大值,即.标准化定理：当为常数时,有.例 设为三角形的三内角,求证：.证明: 由标准化定理得,当时, 取最大值 ,故 .2.9 公式法应用一些公式的结论,可以很好的得出一些难以证明的不等式的证明。例 已知为的三边长,求证：.证明: 由海伦公式,其中.两边平方,移项整理得,而,所以 . 2.10 分解法按照规定法则,把一个数或一个式分解为几个数或几个式,使复杂的问题转化为简单易解的基本问题,以便分而治之,各个击破,以更方便快捷的方法解题。例 ,且,求证：.证明: 因为 .所以 2.11 构造法构造法是通过构造一定的数学模型来解题的方法,所以用这方法的时候,一定要注意模型的选取,之后就会得到独特且有创意的解法。2.11.1 构造对偶式模型构造对偶式模型是先构造出和原不等式形式相同结果不同的式子,然后通过之间联系解题的方法。例 求证：.证明：设,由于,因此AB,从而,即,故原不等式成立.2.11.2 构造函数模型我们都知道,函数是学习数学的一条主线,一些本身没有明显函数关系的问题, 通过类比、联想、归纳、转化等数学方法便可以合理的构造成函数模型, 从而解决问题。例 已知,证明.证明: 考虑函数 = ,因为 .又的系数大于零,所以的值恒大于或等于零,所以 .2.12 借助几何法利用数形关系,掌握代数(三角)与几何的知识和方法,把一部分代数(或三角)不等式转化为几何问题,例如运用“两点间以连接这两点的直线段为最短的连线”、“三角形两边之和大于第三边”、“三角形大角对大边”等几何结论,证明不等式往往会比较方便,反之有些几何不等式也可以转化为代数或三角问题,迅速得到证明。例 已知是一个小于1的正数,证明 证明: 作边长为1的正方形,并用将他划分为四个矩形,使,则可根据三角形中两边之和大于第三边的道理,得到,（1） （2） + 即得.3.利用函数证明不等式3.1极值法对于像（或）（在区间I上）这样的不等式,极值法的关键是证明函数（在区间上）有唯一的极小值并且极小值大于等于A(或有唯一的极大值且极大值小于等于A),做法也比较简单。例 证明不等式,其中.证明: 令,记即要证,由于,由于在上连续可导,且有 所以在上有唯一确定的驻点,并且由极值的第一充分条件可得, 在取得的唯一极大值也是最大值,于是在上有最大值,并且最大值为,故,即.4.利用著名不等式4.1 均值不等式已知正数,则：.这个不等式串沟通了调和平均数 、几何平均数、算术平均数、平方平均数的关系,用这个不等式可以方便的解决很多求范围与证明问题。例 已知,是正实数,且,求证：.分析:不等式右边的值是8,左边是3个差不多的式子相乘,容易想到,对左边3个因式分别使用均值不等式,可以得到3个2连乘,又,由此变形可入手。证明：因为是正实数,所以 同理 上述三个不等式两边均为正,分别相乘,得:当且仅当时取等号.4.2 柯西-施瓦茨不等式柯西-施瓦茨不等式8例 设在区间上连续,且,证明证明:由柯西-施瓦茨不等式,得因为 所以 .4.3 拉格朗日中值定理拉格朗日公式6：若函数满足下列条件:（1）在上连续,（2）在内可导;则在开区间内至少存在一点,使得： 例 证明，当时：.证明: 当时,函数在上连续,在内可导,且,由拉格朗日定理得:,即 ,而 ,有 ,则不等式成立.4.4 赫尔德不等式设是正实数, 是正实数,且,则9 例 已知,且,求证：.证明: 利用赫尔德不等式,得 即 所以 .4.5 詹森不等式若为上凹函数,则对,有.例 不等式,其中均为正数.证明: 设,由的一阶和二阶导数,可见,在时为严格凸函数,依Jensen不等式有：从而即 又因为所以 .4.6 闵可夫斯基不等式设是两组实数, ,则 当且仅当时等号成立.闵可夫斯基不等式是用某种长度度量下的三角形不等式,当时得平面上的三角形不等式：.上图给出了对上式的一个直观理解。若记,则上式为.4.7伯努利不等式（1）设,且同号,则. （2）设,则:（）当时,有；（）当或时,有,上两式当且仅当时等号成立.4.8切比雪夫不等式（1）若,则;（2）若,则.下面给出一个时的契比雪夫不等式的直观理解.如图所示,在矩形OPAQ中, , ,很显然的有,阴影部分矩形的面积之和不小于空白部分矩形的面积之和（沿图中线段MN向上翻折比较就可以知道）.于是有：,即.4.9琴生不等式 设为内的凸函数,则对于内的任意n实数有： ,等号当且仅当时取得.琴生不等式是丹麦数学家琴生于1905年到1906年间建立的.利用琴生不等式我们可以得到一系列不等式,比如“幂平均不等式”,“加权的琴生不等式”等等。4.10艾尔多斯莫迪尔不等式设P点是内部或边界上的一点,P点到三边的距离分别为PD,PE,PF,则：,当且仅当为正三角形,且P为三角形中心时上式取等号.这是用于几何问题的证明和求最大（小）值时的一个重要不等式。4.11 排序不等式定理排序不等式定理：(排序不等式,又称排序定理)设,为两组实数,是的任一排列,那么,当且仅当或以上排列不等式也可以简记为：反序和乱序和同序和。5.小结 不等式在数学的整个学习和研究的过程中都是一个非常重要的内容,它涉及了初等数学、高等数学和数学分析的多个方面的内容,在数学中有着不可代替的作用,而不等式的证明则是不等式研究的重要内容,通过国内外多个专家和学者的不懈努力,不等式证明已经取得了丰硕的成果.著名数学家Metronomic在他的名著Analytic Inequalities的序言中说到：“所有的分析学家都要花费一半的时间通过文献查找他们想要而又证明不出来的不等式”。由此可见给出一个关于不等式方面的系统的证明方法仍具有很大的现实意义。在高等数学中,不等式有着举足轻重的作用,尤其是在研究数学分析中,起着不可替代的作用.由于不等式本身就很抽象,逻辑性也比较强,以及它的证明也比较灵活,方法多种多样,没有固定的模式,故而想要驾驭它也是比较困难的,因此,在数学的学习中,具体问题具体分析,对待不同的问题思维灵活,能够从不同的角度去观察,找出问题的关键所在,把握本质,才能快捷的解决证明不等式的问题。参考文献1 傅海伦.专题突破M.北京：金盾出版社,2004.2:21-23.2 周兴建.证明不等式的若干方法J. 中国科教创新导刊.2007,2:33-35.3 丁并桐.三角代换证明不等式的若干例说J.数学周刊.1993.5:25-26.4 许克明.证明不等式的几种方法N.四川师院学报.1983.6.5 王建荣.浅谈运用函数的单调性证明不等式的若干策略N.福建中学学报,2010.5.6 周晓农.导数在不等式证明中的应用J.金筑大学学报,2000.4:38-41.7 黄志军.一个优美不等式的多角度思考及拓展J.北京师范大学出版社,2010.4:16-19.8 郭家勇.利用导数证明不等式的几种方法N.江苏师范数学院报.2011.3:12-15.9 段明达.证明不等式的若干方法J.数学月刊.2007.3:59-62.10 金元希,田万海,毛宏德.初等代数研究M.北京：高等教育出版社,1983.4：22-24.11 孟金涛.浅谈不等式的若干证明方法N.郑州航空工业管理学院院报.2007.4:13-15.12 刘玉链,数学分析讲义M,北京:高等教育出版社,1992.3:31-33.谢 辞 时光如梭,四年的大学生活已接近尾声,期间刻苦努力和勤奋学习让我的大学生活过得丰富而充实,本篇论文作为大学学习生活的总结,经过两个月的努力毕业设计终于完成了,回想过去,太多的朋友给我帮助和支持,谨以此表示衷心的感谢。首先我要感谢的是我的毕业论文设计的指导老师马昌秀老师,在论文的准备和写作过程中,我得到指导老师的悉心指导和热情帮助,特别是她敏锐的学术眼光和严谨的治学态度使我受益颇多。同时,我也感谢其他的老师和同学,是他们给予我帮助让我走过大学的风风雨雨,在那些艰苦的日子里是他们激励和鼓励我,让我奋发图强。通过此次的论文,我学到了很多知识,跨越了传统方式下的教与学的体制束缚,在论文的写作过程中,通过查找资料和搜集相关的文献,培养了自学能力,并且由原先的被动的接受知识转换为主动的寻求知识,这可以说是学习上的一个很大的突破,在以往传统的学习模式下,我们可能会记住很多的书本的知识,但是通过毕业论文,我们学会了如何将所学的知识转化成自己的东西,学会了更好的处理知识和实践相结合的问题。总之,此次的论文写作过程中,我收获了很多,即为大学生活划上了一个完美的句号,也将为将来的人生做了一个铺垫。最后,我再次的感谢那些帮助过我的老师和同学,我将会以更多的努力来回报他们,我相信我会做的更好！