线性代数第一章 行列式1 利用对角线法则计算下列三阶行列式 (1) 381141102解 3811411022(4)30(1)(1)1180132(1)81(4)(1)2481644 (2) bacacbcba解 bacacbcbaacbbaccbabbbaaaccc3abca3b3c3(3) 222111cbacba解 222111cbacbabc2ca2ab2ac2ba2cb2(ab)(bc)(ca)(4) yxyxxyxyyxyx解 yxyxxyxyyxyxx(xy)yyx(xy)(xy)yxy3(xy)3x33xy(xy)y33x2 yx3y3x32(x3y3) 2 按自然数从小到大为标准次序 求下列各排列的逆序数 (1)1 2 3 4 解 逆序数为 0(2)4 1 3 2 解 逆序数为 4 41 43 42 32(3)3 4 2 1 解 逆序数为 5 3 2 3 1 4 2 4 1, 2 1(4)2 4 1 3 解 逆序数为 3 2 1 4 1 4 3(5)1 3 (2n1) 2 4 (2n) 解 逆序数为 2) 1( nn3 2 (1 个)5 2 5 4(2 个)7 2 7 4 7 6(3 个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)(6)1 3 (2n1) (2n) (2n2) 2 解 逆序数为 n(n1) 3 2(1 个)5 2 5 4 (2 个) (2n1)2 (2n1)4 (2n1)6 (2n1)(2n2) (n1 个)4 2(1 个)6 2 6 4(2 个) (2n)2 (2n)4 (2n)6 (2n)(2n2) (n1 个)3 写出四阶行列式中含有因子 a11a23的项 解 含因子 a11a23的项的一般形式为(1)ta11a23a3ra4s其中 rs 是 2 和 4 构成的排列 这种排列共有两个 即 24 和 42 所以含因子 a11a23的项分别是(1)ta11a23a32a44(1)1a11a23a32a44a11a23a32a44(1)ta11a23a34a42(1)2a11a23a34a42a11a23a34a424 计算下列各行列式 (1) 71100251020214214解 71100251020214214010014231020211021473234cccc34) 1(143102211014 1431022110140141717200109932321 1cccc(2) 2605232112131412解 2605232112131412260503212213041224 cc041203212213041224 rr 0 000003212213041214 rr(3) efcfbfdecdbdaeacab解 efcfbfdecdbdaeacabecbecbecbadf abcdefadfbce4111111111(4) dcba100110011001解 dcba100110011001dcbaabarr10011001101021 dcaab101101) 1)(1(12 01011123 cdcadaabdccabcdabcdad1 cdadab111) 1)(1(235 证明:(1)(ab)3;1112222 bbaababa证明1112222 bbaababa 00122222221213ababaabaabacccc(ab)3 abababaab 22) 1(2221321)(abaabab(2); yxzxzyzyx ba bzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyax )(33 证明bzaybyaxbxazbyaxbxazbzaybxazbzaybyaxbzaybyaxxbyaxbxazzbxazbzayy b bzaybyaxzbyaxbxazybxazbzayx a bzayyxbyaxxzbxazzy b ybyaxzxbxazyzbzayx a 22zyxyxzxzy b yxzxzyzyx a33yxzxzyzyx b yxzxzyzyx a33 yxzxzyzyx ba)(33(3);0) 3() 2() 1() 3() 2() 1() 3() 2() 1() 3() 2() 1(2222222222222222ddddccccbbbbaaaa证明 (c4c3 c3c2 c2c1得)2222222222222222) 3() 2() 1() 3() 2() 1() 3() 2() 1() 3() 2() 1(ddddccccbbbbaaaa(c4c3 c3c2得) 5232125232125232125232122222 ddddccccbbbbaaaa 0 22122212221222122222 ddccbbaa(4)444422221111dcbadcbadcba(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd);证明 444422221111dcbadcbadcba)()()(0)()()(001111222222222addaccabbaddaccabbadacab)()()(111)()( 222addaccabbdcbadacab)()(00111)()(abdbddabcbccbdbcadacab)()(11)()()()(abddabccbdbcadacab=(ab)(ac)(ad)(bc)(bd)(cd)(abcd) (5)xna1xn1 an1xan 12211 00000 1000 01axaaaaxxxnnn L证明 用数学归纳法证明 当 n2 时 命题成立 2121221axaxaxaxD假设对于(n1)阶行列式命题成立 即Dn1xn1a1 xn2 an2xan1 则 Dn按第一列展开 有1 1100 100 01 ) 1(1 1 xxaxDDn nnnxD n1anxna1xn1 an1xan 因此 对于 n 阶行列式命题成立 6 设 n 阶行列式 Ddet(aij), 把 D 上下翻转、或逆时针旋转 90、或依副对角线翻转 依次得 nnnnaaaa D11111 11112nnnnaaaa D 11113aaaa Dnnnn 证明 D3D DDDnn 2) 1(21) 1( 证明 因为 Ddet(aij) 所以 nnnnnnnnnnaaaaaaaaaa D2211111111111) 1( ) 1() 1(331122111121nnnnnnnnaaaaaaaa DDnn nn2) 1( ) 1()2( 21) 1() 1( 同理可证 nnnnnnaaaa D ) 1(1111 2) 1(2DDnn Tnn 2) 1( 2) 1( ) 1() 1( DDDDDnnnnnnnn ) 1(2) 1( 2) 1(22) 1(3) 1() 1() 1() 1(7 计算下列各行列式(Dk为 k 阶行列式) (1), 其中对角线上元素都是 a 未写出的元素 aa Dn 11 都是 0 解(按第 n 行展开) aaaaaDn0 0010 00000 0000 0010 00 ) 1() 1(10 00000 0000 0010 000) 1( nnnaaa) 1() 1(2) 1(nnn aa aanan2an2(a21) nnnnna aa )2)(2(1) 1() 1(2); xaaaxaaax Dn 解 将第一行乘(1)分别加到其余各行 得 axxaaxxaaxxaaaaxDn 0000 00 0再将各列都加到第一列上 得x(n1)a(xa)n1axaxaxaaaanxDn 00000 000 00) 1(3);1 111)( ) 1()( ) 1( 1111 naaanaaanaaaDnnnnnnn解 根据第 6 题结果 有nnnnnnnnnnaaanaaanaaa D)( ) 1()() 1(1 1 11) 1( 1112) 1(1 此行列式为范德蒙德行列式 112) 1(1)1() 1() 1(jinnnnjaiaD 112) 1( )() 1(jinnn ji 1121 ) 1( 2) 1( )() 1() 1(jinnnnn