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112010 高考数学复习详细资料(精品)高考数学复习详细资料(精品)不等式的性质不等式的性质 知识清单: 1不等式的性质:(对称性或反身性);abba(传递性);abbcac,(可加性),此法则又称为移项法则;aba cb c (同向可相加)abcdacbd,(可乘性) . 0abcacbc,;0abcacbc,(正数同向可相乘)00abcdacbd,(乘方法则)00nnabnNab()(开方法则)0,20nnabnN nab()(倒数法则)110ababab,注意: 条件与结论间的对应关系,是“”符号还是“”符号;运用不等式性 质的关键是不等号方向的把握,条件与不等号方向是紧密相连的。 运用不等式的性质可以对不等式进行各种变形,虽然这些变形都很简单,但却 是我们今后研究和认识不等式的基本手段. 2定理 1:如果 a,bx|x 是正实数,那么(当且仅当 a=b 时取“=”号).2ba ab注:该不等式可推出:当 a、b 为正数时,(当且仅当 a = b 时取“=”号)222 1122abababab即:平方平均数算术平均数几何平均数调和平均数 2.含立方的几个重要不等式(a、b、c 为正数): 3322aba bab由3332223()()abcabcabc abcabacbc 可推出3333abcabc(,);0abc 等式即可成立0abcabc 或时取等如果 a,b,cx|x 是正实数,那么.3 3abcabc(当且仅当 a=b=c 时取“=”号) 3.绝对值不等式:11123123(0)ababab abaaaaaa时, 取等号注:均值不等式可以用来求最值(积定和小,和定积大), 特别要注意条件的满足:一正、二定、三相等. 课前预习1 (06 上海文,14)如果,那么,下列不等式中正确的是( )0,0ab(A) (B) (C) (D)11 abab22ab| |ab2 (06 江苏,8)设 a、b、c 是互不相等的正数,则下列等式中不恒成立的是(A) (B)|cbcabaaaaa1122(C) (D)21|babaaaaa2133 (2003 京春文,1)设 a,b,c,dR,且 ab,cd,则下列结论中正确的 是A.a+cb+d B.acbd C.acbd D.cb da4 (1999 上海理,15)若 a(b+)2均不能成立aba11b1 a1D.不等式和(a+)2(b+)2均不能成立|1 |1 baa1 b15 (06 浙江理,7) “ab0”是“ab”的( )222ba (A)充分而不必要条件 (B)必要而不充分条件 (C)充分必要条件 (D)既不允分也不必要条件 6 (1) (2001 京春)若实数 a、b 满足 a+b=2,则 3a+3b的最小值是( )A.18 B.6 C.2 D.23437 (2000 全国,7)若 ab1,P,Q(lgalgb) ,Rlg(ba lglg 2111) ,则( )2baA.RPQ B.PQR C.QPRD.PRQ2010 高考数学复习详细资料(精品)高考数学复习详细资料(精品)不等式证明不等式证明 知识清单: 一、常用的证明不等式的方法 1比较法 比较法证明不等式的一般步骤:作差变形判断结论;为了判断作差 后的符号,有时要把这个差变形为一个常数,或者变形为一个常数与一个或几 个平方和的形式,也可变形为几个因式的积的形式,以便判断其正负。 2综合法 利用某些已经证明过的不等式(例如算术平均数与几何平均数的定理)和 不等式的性质,推导出所要证明的不等式,这个证明方法叫综合法;利用某些 已经证明过的不等式和不等式的性质时要注意它们各自成立的条件。 综合法证明不等式的逻辑关系是:,及从已知12nABBBBL条件出发,逐步推演不等式成立的必要条件,推导出所要证明的结论。AB 3分析法 证明不等式时,有时可以从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的 充分条件,把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,如果能够 肯定这些充分条件都已具备,那么就可以断定原不等式成立,这种方法通常叫 做分析法。 注意: (1) “分析法”是从求证的不等式出发,分析使这个不等式成立的充分条件, 把证明不等式转化为判定这些充分条件是否具备的问题,即“执果索因” ; (2)综合过程有时正好是分析过程的逆推,所以常用分析法探索证明的途径, 然后用综合法的形式写出证明过程。 二、不等式的解法 解不等式是求定义域、值域、参数的取值范围时的重要手段,与“等式变 形”并列的“不等式的变形” ,是研究数学的基本手段之一。 高考试题中,对解不等式有较高的要求,近两年不等式知识占相当大的比 例。 1不等式同解变形(1)同解不等式((1)与同解;f xg x( )( )f xF xg xF x( )( )( )( )(2)与同解,与mf xg x0, ( )( )mf xmg x( )( )mf xg x0, ( )( )同解;mf xmg x( )( )(3)与同解) ;f x g x( ) ( ) 0f xg xg x( )( )( ( )00112一元一次不等式 解一元一次不等式(组)及一元二次不等式(组)是解其他各类不等式的 基础,必须熟练掌握,灵活应用。情况分别解之。axbaaa分( )( )( )1020303一元二次不等式或分及情况分axbxca200()axbxca200()a 0a 0别解之,还要注意的三种情况,即或或,最好联 bac24 0 0 0 系二次函数的图象。 4分式不等式分式不等式的等价变形:0f(x)g(x)0,0)()( xgxf)()( xgxf。 0)(0)()( xgxgxf5简单的绝对值不等式 绝对值不等式适用范围较广,向量、复数的模、距离、极限的定义等都涉 及到绝对值不等式。高考试题中,对绝对值不等式从多方面考查。 解绝对值不等式的常用方法: 讨论法:讨论绝对值中的式于大于零还是小于零,然后去掉绝对值 符号,转化为一般不等式; 等价变形: 解绝对值不等式常用以下等价变形:|x|0),|x|ax2a2xa 或 x0)。一般地有:|f(x)|g(x)f(x)g (x)或 f(x)b,cd,则下列结论中正确的是( )A.a+cb+d B.acbd C.acbd D.cb daEG2、若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根,求x0) 1(2mxmx的取值范围.m变式 1:解关于 x 的不等式头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头)(0113Rmxxm变式 2:设不等式 x22ax+a+20 的解集为 M,如果 M1,4,求实数 a 的取值范围?EG3、求的最大值,使满足约束条件.yxz 2yx, 11 yyxxy变式 1:设动点坐标(x,y)满足(xy+1)(x+y4)0,x3,则x2+y2 的最小值为( )11A头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头B头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头C头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头D头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头10510217EG4、画出不等式组表示的平面区域. 0330402yxyxyx变式 1:点(2,t)在直线 2x3y+6=0 的上方,则 t 的取值范围是_头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头变式 2:求不等式x1+y12 表示的平面区域的面积头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头EG5、 (1)把 36 写成两个正数的积,当这两个正数取什么值时,它们的和最小? (2)把 18 写成两个正数的和,当这两个正数取什么值时,它们的积最大?变式 1:函数y =的值域为 头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头2m112m变式 2:设 x0, y0, x2+=1,则的最大值为22y21xyEG6、已知集合,求.06|2xxxA082|2xxxBBA变式 1:已知 A=x|x33x22x0,B=x|x2axb0且 AB=x|0x2,ABxx2,求 a、b 的值头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头变式 2:解关于 x 的不等式头 头头 头头 头 头头头 头头 头 头 头头http:/www.xjktyg.com/wxc/wxckt126.comwxckt126.comhttp:/www.xjktyg.com/wxc/头 头头头 头头 头头 头头 头 头头头 头)(0113RmxxmEG7、求证:cabcabcba222变式 1:己知都是正数,且成等比数列,cba,cba,求证:.)(2222cbacba变式 2:
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