www.0476114.com www.iskao.com 整理者：辛国庆 电话：15148119438多元文化下的勾股定理的证明法多元文化下的勾股定理的证明法11 数本班 郭检香摘要摘要内容摘要内容摘要: :勾股定理是世界上最伟大的定理之一，其简单表述为：直角三角形两边的平方和等于斜边的平方。对勾股定理的研究，不同民族在起始时间上不同，在中国可追溯到古希腊的毕达哥拉斯学派，但最早使用勾股定理的是古巴比伦人。勾股定理不仅是一些数学定理的基础，在生产和生活中运用也很广泛。本文主要介绍多种的证明方法以供大家更深入地理解勾股定理。下面来介绍下几种勾股定理证明方法下面来介绍下几种勾股定理证明方法勾股定理的证明勾股定理的证明【证法证法 1】1】做 8 个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b，斜边长为 c，再做 三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们像上图那样拼成两个正方形. . 从图上可以看到，这两个正方形的边长都是 a + b，所以面积相等. . 即abcabba214214222， 整理得 222cba. . 【证法证法 2】2】 （邹元治证明）（邹元治证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边做四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面babababacbacba cbacbacbacbawww.0476114.com www.iskao.com 整理者：辛国庆 电话：15148119438ababccABCDE积等于ab21 . . 把这四个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上， B、F、C 三点在一条直线上，C、G、D 三点在一条直线上. . RtHAE RtEBF, AHE = BEF. . AEH + AHE = 90, AEH + BEF = 90. . HEF = 18090= 90. . 四边形 EFGH 是一个边长为 c 的 正方形. . 它的面积等于 c2. RtGDH RtHAE, HGD = EHA. . HGD + GHD = 90, EHA + GHD = 90. . 又 GHE = 90, DHA = 90+ 90= 180. . ABCD 是一个边长为 a + b 的正方形，它的面积等于2ba . . 22 214cabba. . 222cba. . 【证法证法 3】3】 （赵爽证明）（赵爽证明） 以 a、b 为直角边（ba） ， 以 c 为斜 边作四个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面积等于ab21 . . 把这四个直角三 角形拼成如图所示形状. . RtDAH RtABE, HDA = EAB. . HAD + HAD = 90， EAB + HAD = 90， ABCD 是一个边长为 c 的正方形，它的面积等于 c2. EF = FG =GH =HE = ba , HEF = 90. . EFGH 是一个边长为 ba 的正方形，它的面积等于2ab . 22 214cabab. . 222cba. . 【证法证法 4】4】 （18761876 年美国总统年美国总统 GarfieldGarfield 证明）证明） 以 a、b 为直角边，以 c 为斜边作两个全等的直角三角形，则每个直角三角形的面DGCFAHEBabcabcabcabcbac GDACBFEHwww.0476114.com www.iskao.com 整理者：辛国庆 电话：15148119438PHGFEDCBAabcabcabcab c积等于ab21 . . 把这两个直角三角形拼成如图所示形状，使 A、E、B 三点在一条直线上. . RtEAD RtCBE, ADE = BEC. . AED + ADE = 90, AED + BEC = 90. . DEC = 18090= 90. . DEC 是一个等腰直角三角形，它的面积等于2 21c. . 又 DAE = 90, EBC = 90, ADBC. . ABCD 是一个直角梯形，它的面积等于2 21ba . . 22 21 21221cabba. . 222cba. . 【证法证法 5】5】 （梅文鼎证明）（梅文鼎证明） 做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b ，斜边长为 c. . 把 它们拼成如图那样的一个多边形，使 D、E、F 在一条直线上. . 过 C 作 AC 的延长线交 DF 于点 P. . D、E、F 在一条直线上, 且 RtGEF RtEBD, EGF = BED， EGF + GEF = 90， BED + GEF = 90， BEG =18090= 90. . 又 AB = BE = EG = GA = c， ABEG 是一个边长为 c 的正方形. . ABC + CBE = 90. . RtABC RtEBD, ABC = EBD. . EBD + CBE = 90. . 即 CBD= 90. . 又 BDE = 90，BCP = 90， BC = BD = a. . BDPC 是一个边长为 a 的正方形. . 同理，HPFG 是一个边长为 b 的正方形. . 设多边形 GHCBE 的面积为 S，则,21222abSbawww.0476114.com www.iskao.com 整理者：辛国庆 电话：15148119438cccbacbaABCEF PQMNabSc2122, 222cba. .【证法证法 6】6】 （项明达证明）（项明达证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长 为 c. . 再做一个边长为 c 的正方形. . 把它们拼成如图所示的多边形，使 E、A、C 三点在 一条直线上. . 过点 Q 作 QPBC，交 AC 于点 P. . 过点 B 作 BMPQ，垂足为 M；再过点 F 作 FNPQ，垂足为 N. . BCA = 90，QPBC， MPC = 90， BMPQ， BMP = 90， BCPM 是一个矩形，即MBC = 90. . QBM + MBA = QBA = 90， ABC + MBA = MBC = 90， QBM = ABC， 又 BMP = 90，BCA = 90，BQ = BA = c， RtBMQ RtBCA. . 同理可证 RtQNF RtAEF. . 从而将问题转化为【证法 4】 （梅文鼎证明）. . 【证法证法 7】7】 （欧几里得证明）（欧几里得证明） 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 H、C、B 三点 在一条直线上，连结 BF、CD. . 过 C 作 CLDE， 交 AB 于点 M，交 DE 于点 L. . AF = AC，AB = AD， FAB = GAD， FAB GAD， FAB 的面积等于2 21a， GAD 的面积等于矩形 ADLM 的面积的一半， 矩形 ADLM 的面积 =2a. . 同理可证，矩形 MLEB 的面积 =2b. . 正方形 ADEB 的面积 cbacba ABCDEFGHMLKwww.0476114.com www.iskao.com 整理者：辛国庆 电话：15148119438= 矩形 ADLM 的面积 + 矩形 MLEB 的面积 222bac ，即 222cba. . 【证法证法 8】8】 （利用相似三角形性质证明）（利用相似三角形性质证明） 如图，在 RtABC 中，设直角边 AC、BC 的长度分别为 a、b，斜边 AB 的长为 c，过 点 C 作 CDAB，垂足是 D. . 在 ADC 和 ACB 中， ADC = ACB = 90， CAD = BAC， ADC ACB. . ADAC = AC AB， 即 ABADAC2. . 同理可证，CDB ACB，从而有 ABBDBC2. . 222ABABDBADBCAC，即 222cba. . 【证法证法 9】9】 （杨作玫证明）（杨作玫证明） 做两个全等的直角三角形，设它们的两条直角边长分别为 a、b（ba） ，斜边长为 c. . 再做一个边长为 c 的正方形. . 把它们拼成如图所示的多边形. . 过 A 作 AFAC，AF 交 GT 于 F，AF 交 DT 于 R. . 过 B 作 BPAF，垂足为 P. . 过 D 作 DE 与 CB 的延长线垂直，垂足为 E，DE 交 AF 于 H. . BAD = 90，PAC = 90， DAH = BAC. . 又 DHA = 90，BCA = 90， AD = AB = c， RtDHA RtBCA. . DH = BC = a，AH = AC = b. . 由作法可知， PBCA 是一个矩形， 所以 RtAPB RtBCA. . 即 PB = CA = b，AP= a，从而 PH = ba. . RtDGT RtBCA , RtDHA RtBCA. . RtDGT RtDHA . . DH = DG = a，GDT = HDA . . 又 DGT = 90，DHF = 90， GDH = GDT + TDH = HDA+ TDH = 90， DGFH 是一个边长为 a 的正方形. . GF = FH = a . . TFAF，TF = GTGF = ba . . TFPB 是一个直角梯形，上底 TF=ba，下底 BP= b，高 FP=a +（ba）. . 用数字表示面积的编号（如图） ，则以 c 为边长的正方形的面积为543212SSSSScABDCacb987654321PQRTHGFEDCBAabcabcccwww.0476114.com www.iskao.com 整理者：辛国庆 电话：15148119438 abaabbSSS21438= abb212，985SSS， 82 4321SabbSS= 812SSb. . 把代入，得98812 212SSSSbSSc= 922SSb= 22ab . . 222cba. .【证法证法 10】10】 （李锐证明）（李锐证明） 设直角三角形两直角边的长分别为 a、b（ba） ，斜边的长为 c. . 做三个边长分别为 a、b、c 的正方形，把它们拼成如图所示形状，使 A、E、G 三点在一条直线上. . 用数字 表示面积的编号（如图）. . TBE = ABH = 90， TBH = ABE. . 又 BTH = BEA = 90， BT = BE = b， RtHBT RtABE. . HT = AE = a. . GH = GTHT