第 2 讲 函数的单调性与最大(小)值一、选择题1下列函数中，既是偶函数又在(0，)内单调递减的函数是( )Ayx2 By|x|1Cylg|x| Dy2|x|解析 对于 C 中函数，当 x0 时，ylg x，故为(0，)上的减函数，且ylg |x|为偶函数答案 C2已知函数f(x)为 R 上的减函数，则满足f(|x|)f(1)的实数x的取值范围是( )A(1,1) B(0,1)C(1,0)(0,1) D(，1)(1，)解析 f(x)在 R 上为减函数且f(|x|)f(1)，|x|1，解得x1 或x1.答案 D3若函数yax与y 在(0，)上都是减函数，则yax2bx在b x(0，)上是( )A增函数 B减函数C先增后减 D先减后增解析 yax与y 在(0，)上都是减函数，b xa0，即 x2 时，f(x)0，则20)对于下列命题：函数 f(x)的最小值是1；函数 f(x)在 R 上是单调函数；若 f(x)0 在上恒成立，则 a 的取值范围是 a1；12，)对任意的 x10 在上恒成立，则 2a 10，a1，故正确；由图象可知12，)12在(，0)上对任意的 x10 且a1)的单调区间解 当a1 时，函数ya1x2在区间0，)上是减函数，在区间(，0上是增函数；当 0x12，则 f(x1)f(x2)x x x1x2(x1x2)a，2 1ax12 2ax2x1x2x1x2由 x2x12，得 x1x2(x1x2)16，x1x20.要使 f(x)在区间2，)上是增函数，只需 f(x1)f(x2)0 恒成立，则 a16.13已知函数 f(x)a2xb3x，其中常数 a，b 满足 ab0.(1)若 ab0，判断函数 f(x)的单调性；(2)若 abf(x)时的 x 的取值范围解 (1)当 a0，b0 时，因为 a2x，b3x都单调递增，所以函数 f(x)单调递增；当 a0.(i)当 a0 时，x，(32)a2b解得 xlog；32(a2b)(ii)当 a0，b0,1x1x20，即0.x2x11x2x1又(x2x1)(1x2x1)(x21)(x11)0，x2x11x2x1，01.x2x11x2x1由题意，知 f0，即 f(x2)f(x1)，(x2x11x1x2)f(x)在(0,1)上单调递减，又 f(x)为奇函数且 f(0)0，f(x)在(1,1)上单调递减.