2010-8-111信息与系统科学研究所精勤求学 敦笃励志 果毅力行 忠恕任事从有限维空间到无穷维空间Move Towards Infinite Dimensional Spaces Starting from Finite Dimensional SpacesMove Towards Infinite Dimensional Spaces Starting from Finite Dimensional Spaces从有限维空间到无穷维空间Move Towards Infinite Dimensional SMove Towards Infinite Dimensional Spaces Starting from Finite Dpaces Starting from Finite Dimensionimensional Spacesal Spaces报告人：彭济根 Jgpengmail.xjtu.edu.cn Http:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cn报告人：彭济根 Jgpengmail.xjtu.edu.cn Http:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cn2010-8-11Http:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cnHttp:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cn内容提要内容提要 引言引言 一维实空间一维实空间 有限维空间有限维空间 无穷维空间无穷维空间 距离空间距离空间 几个实例几个实例2010-8-11Http:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cnHttp:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cn关键词一：有限维，无限维，空间关键词一：有限维，无限维，空间 -一、引言一、引言?维数维数：是指用以表征对象的最少参数的个数。称一个对象是：是指用以表征对象的最少参数的个数。称一个对象是n维的，如果它可由且仅由维的，如果它可由且仅由n个有序参数个有序参数“表征表征”。? 空间空间：是指赋予一定结构的集合。数学上的结构一般可分 为三大类：拓扑结构、代数结构、序结构。其中：是指赋予一定结构的集合。数学上的结构一般可分 为三大类：拓扑结构、代数结构、序结构。其中? 拓扑结构（广义几何）是通过定义元素之间的拓扑结构（广义几何）是通过定义元素之间的“邻近方式邻近方式” 而构建的。相关的基本概念是开集、极限、连续等；而构建的。相关的基本概念是开集、极限、连续等； ? 代数结构是通过定义集合元素间的运算而构建的。例 加法运算、数乘运算、乘法运算等；代数结构是通过定义集合元素间的运算而构建的。例 加法运算、数乘运算、乘法运算等； ? 序结构是通过定义元素间的某种序结构是通过定义元素间的某种“传递传递”关系而构建的。关系而构建的。2010-8-11Http:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cnHttp:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cn? 有限维空间有限维空间：如果存在某个常数：如果存在某个常数n，使得空间中每个 点都可以由至多，使得空间中每个 点都可以由至多n个有序参数表征，则称之为有限维 空间。这样的最小个有序参数表征，则称之为有限维 空间。这样的最小n称为空间的维数，同时，该空间 称为称为空间的维数，同时，该空间 称为n 维空间。维空间。? 无穷维空间无穷维空间：若空间中至少存在一个点不能由有限 个参数表征，则称之为无穷维空间。：若空间中至少存在一个点不能由有限 个参数表征，则称之为无穷维空间。值得注意的是，空间的维数与被用来表征的参数的选择值得注意的是，空间的维数与被用来表征的参数的选择 紧密相关。例如，一个平面若以复数来表征，它是紧密相关。例如，一个平面若以复数来表征，它是1维维 而若以实数来表征，它是而若以实数来表征，它是2维的。维的。 一般地，一个以复数表征的一般地，一个以复数表征的n维空间，在实数表征下是维空间，在实数表征下是 2n维的。维的。一、引言一、引言2010-8-11Http:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cnHttp:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cn熟知，当一个空间具有（或被赋以）线性结构时熟知，当一个空间具有（或被赋以）线性结构时 （即，定义有加法和数乘运算，且满足（即，定义有加法和数乘运算，且满足8条运算定律，条运算定律， 此时该空间称为线性空间），空间的维数可以通过确此时该空间称为线性空间），空间的维数可以通过确 定最大无关向量集来定义。若最大无关向量集是有限定最大无关向量集来定义。若最大无关向量集是有限 集，则空间中每个点都可以唯一地表示为无关向量的集，则空间中每个点都可以唯一地表示为无关向量的 线性组合，因而每个元素都可以这个线性组合的系数线性组合，因而每个元素都可以这个线性组合的系数 来表征。因此，由定义知，这个空间的维数就是最大来表征。因此，由定义知，这个空间的维数就是最大 无关向量集中向量的个数。无关向量集中向量的个数。线性空间是许多数学研究特别是应用研究最基本的空间线性空间是许多数学研究特别是应用研究最基本的空间结构形式。为此，本讲义将针对线性空间而展开。结构形式。为此，本讲义将针对线性空间而展开。线性空间是许多数学研究特别是应用研究最基本的空间线性空间是许多数学研究特别是应用研究最基本的空间结构形式。为此，本讲义将针对线性空间而展开。结构形式。为此，本讲义将针对线性空间而展开。一、引言一、引言2010-8-11Http:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cnHttp:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cn1维，非线性1维，非线性1维，非线性1维，非线性1维，非线性1维，非线性1维，非线性1维，非线性1维，线性1维，线性1维，线性1维，线性P.P(经度，纬度经度，纬度)P.P(x,y,z)2维，非线性2维，非线性2维，非线性2维，非线性3维，线性3维，线性3维，线性3维，线性一、引言一、引言2010-8-11Http:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cnHttp:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cn?设。易见，设。易见，Pn中的每个元素都可用中的每个元素都可用 n 元有序组元有序组（a1, a2, ,an）表征。因此，表征。因此，Pn是是 n 限 空间。限 空间。?设。 易见，设。 易见，Sm中的每个元素都可以用中的每个元素都可以用 m 元有序组元有序组（b1, b2, , bm）表征。因此，表征。因此，Sm是是 m 限空间。限空间。?设设C0,1表示所有在区间表示所有在区间0,1上连续的函数全体。该集 合中的元素不可能由有限个参数组来表征。因此，它 是无穷维的。上连续的函数全体。该集 合中的元素不可能由有限个参数组来表征。因此，它 是无穷维的。nn 1P:Rk kk ka xa=m 1Ssin:R,Rmkk kbkx bx=一、引言一、引言2010-8-11Http:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cnHttp:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cn从定义形式看，空间结构与空间维数是两个独立的概念。但从定义形式看，空间结构与空间维数是两个独立的概念。但 在实际问题中，空间结构往往是通过空间的表征参数组来定在实际问题中，空间结构往往是通过空间的表征参数组来定 义的。自然地，空间的维数越高，其表征的参数就越多，因义的。自然地，空间的维数越高，其表征的参数就越多，因 此，随着维数的增大，空间结构性质就越复杂。那么，此，随着维数的增大，空间结构性质就越复杂。那么， 问题问题1：随着维数的增加，特别是：随着维数的增加，特别是“达到达到”无穷维时，空间无穷维时，空间 结构性质将呈现出怎样的变化？结构性质将呈现出怎样的变化？ 值得指出的是，数学的许多领域处理的往往不是空间本值得指出的是，数学的许多领域处理的往往不是空间本 身的性质，而是空间中的变换（或称算子），因此身的性质，而是空间中的变换（或称算子），因此 问题问题2: 随着维数的增加，特别是在无穷维空间中，空间随着维数的增加，特别是在无穷维空间中，空间 变换将呈现出怎样的复杂性？变换将呈现出怎样的复杂性？周知，实数是集三大数学结构于一体的最基本的空间，周知，实数是集三大数学结构于一体的最基本的空间， 是数学研究的本体。为此，我们就从实数这个1维空间开是数学研究的本体。为此，我们就从实数这个1维空间开 始，在分析框架内，围绕始，在分析框架内，围绕空间的拓扑性质及其空间变换空间的拓扑性质及其空间变换 性质性质而展开讨论。而展开讨论。一、引言一、引言2010-8-11Http:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cnHttp:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cn1. 序列的极限：序列的极限：2. 函数（映射）的极限：函数（映射）的极限：二、一维实空间: 实数二、一维实空间: 实数基本概念基本概念基本概念基本概念一一2010-8-11Http:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cnHttp:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cn3. 映射（函数）的连续性：映射（函数）的连续性：4. 聚点、闭集、开集等聚点、闭集、开集等二、一维实空间: 实数二、一维实空间: 实数极限存在的判别准则：极限存在的判别准则：1. 单调增上有界序列必有极限；单调增上有界序列必有极限； 2. 序列收敛当且仅当它是序列收敛当且仅当它是Cauchy列（或基本列）。列（或基本列）。 3. 映射的极限定义中，映射的极限定义中，代代替。替。定积分定义中的收敛性不能用定积分定义中的收敛性不能用 序列的收敛性来刻画！序列的收敛性来刻画！定积分定义中的收敛性不能用定积分定义中的收敛性不能用 序列的收敛性来刻画！序列的收敛性来刻画！2010-8-11Http:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cnHttp:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cn1. 线性线性：实数空间是线性的。实数空间是线性的。2. 完备性完备性：前面有关序列收敛的第二个判定准则表明， 实数是完备的。即，每个前面有关序列收敛的第二个判定准则表明， 实数是完备的。即，每个Cauchy列都有极限列都有极限。3. 可分性可分性：第三个判别准则表明，实数是可分的（事实 上它以有理数集这个可数集为稠密子集）第三个判别准则表明，实数是可分的（事实 上它以有理数集这个可数集为稠密子集）。4. 致密性（列紧性）致密性（列紧性）：任何有界序列必有收敛子列任何有界序列必有收敛子列。 5. 紧性紧性：有界闭集的任何开覆盖都有有限的子覆盖有界闭集的任何开覆盖都有有限的子覆盖。6. 区间套性质区间套性质：单调减的闭区间族单调减的闭区间族an, bn的交集非空。的交集非空。二、一维实空间: 实数二、一维实空间: 实数实数的基本性质实数的基本性质实数的基本性质实数的基本性质二二周知，致密性定理、有限覆盖定周知，致密性定理、有限覆盖定 理以及闭区间套定理三者是等价理以及闭区间套定理三者是等价 的的。周知，致密性定理、有限覆盖定周知，致密性定理、有限覆盖定 理以及闭区间套定理三者是等价理以及闭区间套定理三者是等价 的的。2010-8-11Http:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cnHttp:/jgpeng.gr.xjtu.edu.cn1. 线性函数的表征：映射线性函数的表征：映射F(x)为线性的，当且仅当存在 常数为线性的，当且仅当存在 常数 a 使使F(x)=ax。2. 连续函数在有界闭区间（闭集）上必取到极值。连续函数在有界闭区间（闭集）上必取到极值。3. 连续函数在有界闭区间（闭集）上是一致连续的。连续函数在有界闭区间（闭集）上是一致连续的。4. 闭区间（闭集）在连续映射下的原像是闭集。闭区间（闭集）在连续映射下的原像是闭集。5. 区间上的凸函数一定连续。