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2.(2010 陕西文) 8.若某空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是B(A)2(B)1(C)2 3(D)1 3(2010 安徽文) (9)一个几何体的三视图如图,该几何体的表面积是(A)372 (B)360 (C)292 (D)28013.(2010 福建文)3若一个底面是正三角形的三棱柱的正视图如图所示,则其侧面积等于 ( )A3 B2 C2 3 D6【答案】D6.(2010 天津文) (12)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 。【答案】3【解析】本题主要考查三视图的基础知识,和主题体积的计算,属于容易题。由俯视图可知该几何体的底面为直角梯形,则正视图和俯视图可知该几何体的高为 1,结合三个试图可知该几何体是底面为直角梯形的直四棱柱,所以该几何题的体积为1+=2 (1 2)2 1 37.(2010 天津理) (12)一个几何体的三视图如图所示,则这个几何体的体积为 【答案】10 3由三视图可知,该几何体为一个底面边长为 1,高为2 的正四棱柱与一个底面边长为 2,高为 1 的正四棱锥组成的组合体,因为正巳灵珠的体积为 2,正四棱锥的体积为,所以该几何体的体积 V=2+ 144 133 = 4 310 31. 一空间几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为( ).A.22 3 B. 42 3 C. 2 323 D. 2 343【解析】:该空间几何体为一圆柱和一四棱锥组成的,圆柱的底面半径为 1,高为 2,体积为2,四棱锥的底面边长为2,高为3,所以体积为 212 32333所以该几何体的体积为2 323.2.一个棱锥的三视图如图,则该棱锥的全面积(单位:c2m)为(A)48+122 (B)48+242 (C)36+122 (D)36+2422 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 俯视图 (2011广东省东莞市一模)一空间几何体的三视图如下图所示,该几何体的体积为12,则正视图与侧视图中x的值为( )853(2011广东,9)如下图,某几何体的正视图(主视图),侧视图(左视图)和俯视图分别是等边三角形,等腰三角形和菱形,则该几何体体积为( )A4 B4 3C2 D23答案 C解析 由三视图知该几何体是四棱锥,底面是菱形,其面积S 222,高h3,1 233所以VSh 232.1 31 3336(2011北京丰台区期末)若一个螺栓的底面是正六边形,它的正(主)视图和俯视图如下图所示,则它的体积是( )A. B333232 25332 25C9 D9332 253128 25答案 C解析 由三视图知,该螺栓的上部是一个底半径为 0.8,高为 2 的圆柱,下部是底面为边长为 2,高为 1.5 的正六棱柱,故体积V0.8226221.59343,故选 C.32 257(文)(2011天津文,10)一个几何体的三视图如下图所示(单位:m),则该几何体的体积为_m3.答案 4解析 由几何体的三视图知,原几何体是两个长方体的组合体上面的长方体的底面边长为 1,1,高为 2,体积为 2;下面长方体底面边长为 2,1,高为 1,体积为 2.该几何体的体积为 4.(理)(2010山东聊城、邹平模考)已知一个几何体的三视图如下图所示(单位:cm),其中正(主)视图是直角梯形,侧(左)视图和俯视图都是矩形,则这个几何体的体积是_cm3.答案 3 2解析 依据三视图知,该几何体的上、下底面均为矩形,上底面是边长为 1 的正方形,下底面是长为 2,宽为 1 的矩形,左侧面是与底面垂直的正方形,其直观图如下图所示,易知该几何体是四棱柱ABCDA1B1C1D1,其体积VS梯形ABCDAA11 cm3.12 1 23 28(2011皖南八校联考)已知三棱锥的直观图及其俯视图与左视图如下,俯视图是边长为 2 的正三角形,左视图是有一直角边为 2 的直角三角形,则该三棱锥的主视图面积为_答案 2解析 由条件知,该三棱锥底面为正三角形,边长为 2,一条侧棱与底面垂直,该侧棱长为 2,故主视图为一直角三角形,两直角边的长都是 2,故其面积S 222.1 2空间向量与立体几何解答题精选(选修 2-1)1已知四棱锥的底面为直角梯形,PABCD/ABDC底面,且,PADAB,90oABCD1 2PAADDC,是的中点。1AB MPB()证明:面面;PAD PCD ()求与所成的角;ACPB ()求面与面所成二面角的大小。AMCBMC 证明:以为坐标原点长为单位长度,如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为AAD.1(0,0,0), (0,2,0),(1,1,0),(1,0,0), (0,0,1),(0,1, )2ABCDPM()证明:因., 0),0 , 1 , 0(),1 , 0 , 0(DCAPDCAPDCAP所以故由题设知,且与是平面内的两条相交直线,由此得面ADDCAPADPADDC .又在面上,故面面.PADDCPCDPADPCD()解:因),1, 2 , 0(),0 , 1 , 1 (PBAC.510|,cos, 2,5| ,2| PBACPBACPBACPBACPBAC所以故()解:在上取一点,则存在使MC( , , )N x y z,R,MCNC.21, 1,1),21, 0 , 1 (),1 ,1 (zyxMCzyxNC要使14,00,.25ANMCAN MCxzuuu r uuu u rg只需即解得0),52, 1,51(),52, 1 ,51(,. 0),52, 1 ,51(,54MCBNBNANMCANN有此时能使点坐标为时可知当为ANBMCBNMCANMCBNMCAN所以得由.,0, 0所求二面角的平面角.30304|,|,.555 2cos(,).3| |2arccos().3ANBNAN BNAN BNAN BNANBN uuu ruuu ruuu r uuu rQg uuu r uuu ruuu r uuu rguuu ruuu r故所求的二面角为2如图,在四棱锥中,底面是正方形,侧面是正三角形,VABCDABCDVAD平面底面VAD ABCD()证明:平面;AB VAD()求面与面所成的二面角的大小VADDB 证明:以为坐标原点,建立如图所示的坐标图系.D()证明:不防设作,(1,0,0)A则, , (1,1,0)B)23, 0 ,21(V)23, 0 ,21(),0 , 1 , 0(VAAB由得,又,因而与平面内两条相交直线, 0VAABABVAABADABVAD,都垂直. 平面.VAADAB VAD()解:设为中点,则,EDV)43, 0 ,41(E).23, 0 ,21(),43, 1 ,43(),43, 0 ,43(DVEBEA由., 0DVEADVEBDVEB又得因此,是所求二面角的平面角,AEB,721|),cos( EBEAEBEAEBEA解得所求二面角的大小为.721arccos3如图,在四棱锥中,底面为矩形,PABCDABCD侧棱底面, PA ABCD3AB 1BC 2PA 为的中点.EPD()求直线与所成角的余弦值;ACPB ()在侧面内找一点,使面,PABNNE PAC 并求出点到和的距离.NABAP 解:()建立如图所示的空间直角坐标系,则的坐标为、, , ,A B C D P E(0,0,0)A、( 3,0,0)B( 3,1,0)C(0,1,0)D、,(0,0,2)P1(0,1)2E从而).2, 0 , 3(),0 , 1 , 3(PBACD DC CB BA AV V设的夹角为,则PBAC与,1473723|cos PBACPBAC与所成角的余弦值为.ACPB1473()由于点在侧面内,故可设点坐标为,则NPABN( ,0, )xz,由面可得,)1 ,21,(zxNENE PAC . 0213, 01. 0)0 , 1 , 3()1 ,21,(, 0)2 , 0 , 0()1 ,21,(. 0, 0xzzxzxACNEAPNE化简得即163zx即点的坐标为,从而点到和的距离分别为.N) 1 , 0 ,63(NABAP31,64如图所示的多面体是由底面为的长方体被截面所截面而得到的,其中ABCD1AEC F.14,2,3,1ABBCCCBE()求的长;BF()求点到平面的距离.C1AEC F解:(I)建立如图所示的空间直角坐标系,则,(0,0,0)D(2,4,0)B设.1(2,0,0),(0,4,0),(2,4,1),(0,4,3)ACEC(0,0, )Fz为平行四边形,1AEC F. 62,62|).2 , 4, 2().2 , 0 , 0(. 2),2 , 0 , 2(), 0 , 2( ,11的长为即于是得由为平行四边形由BFBFEFFzzECAFFAEC(II)设为平面的法向量,1n1AEC F) 1 ,(,11yxnADFn故可设不垂直于平面显然 02020140, 0, 011 yxyxAFnAEn得由 .41, 1, 022, 014yxxy即的夹角为,则111),3 , 0 , 0(nCCCC与设又.333341161133|cos1111 nCCnCC到平面的距离为C1AEC F.11334 333343cos|1CCd5如图,在长方体,中,点在棱上移1111ABCDABC D11,2ADAAABEAD动.(1)证明:;11D EAD(2)当为的中点时,求点到面的距离;EABE1ACD(3)等于何值时,二面角的大小为.AE1DECD4解:以为坐标原点,直线分别为轴,建立空间直角坐标系,设D1,DA DC DD, ,x y z,则AEx11(1,0,1),(0,0,1),(1, ,0), (1,0,0),(0,2,0)ADExAC(1)., 0) 1, 1 (),1 , 0 , 1 (,1111EDDAxEDDA所以因为(2)因为为的中点,则,从而,EAB(1,1,0)E)0 , 2 , 1(),1, 1 , 1 (1ACED,设平面的法向量为,则) 1 , 0 , 1(1AD1ACD),(cban , 0, 01ADnACn也即,得,从而,所以点到平面的距离 002 caba caba2)2 , 1 , 2
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