11.2 函数及其表示1.2.1 函数的概念讲述讲述初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 提问提问问题 1：=1（）是函数吗？yxR问题 2：=与=是同一函数吗？yxyxx2投影投影观察对应：分析分析观察分析集合 A 与 B 之间的元素有什么对应关系？二、讲授新课二、讲授新课 函数的概念函数的概念 （一）函数与映射投影投影函数：函数：设 A，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系，使对于集合 A 中的任意一个f数，在集合 B 中都有唯一确定的数和它对应，那么就称：AB 为从集合 A 到集合 B 的x)(xff一个函数，记作=，A。其中叫自变量，的取值范围 A 叫做函数=的定义域；y)(xfxxxy)(xf与的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合|A，叫做函数=的值域。xy)(xfxy)(xf函数符号=表示“是的函数” ，有时简记作函数。y)(xfyx)(xf函数的三要素：函数的三要素：对应法则、定义域 A、值域|Af)(xfx 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。映射：映射：设是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系,使对于集合中的任意一个元素,A BfAx在集合中都有唯一确定的元素与之对应,那么就称对应为从集合到集合的一个映By:fABAB射. 如果集合中的元素对应集合中元素,那么集合中的元素叫集合中元素的原象,集AxByAxBy2合中元素叫合中的元素的象.ByAx 映射概念的理解映射概念的理解(1)映射包含三个要素:原像集合 A,像集合 B(或 B 的子集)以及从集合 A 到集合 B 的对应BAf:法则.两个集合 A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则可用文字表述,也可以用符号表ff示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性:映射是有次序的,一般地从 A 到 B 的映射与从 B 到 A 的映射是不同的; (2)任意性:集合 A 中的任意一个元素都有像,但不要求 B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合 A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出.映射BAf:函数ByAxxfy,),(集合 A,B 可为任何集合,其元素可以是物, 人,数等函数的定义域和值域均为非空的数集对于集合 A 中任一元素,在集合 B 中a 都有唯一确定的像对函数的定义域中每一个,值域中都有x 唯一确定的值与之对应对集合 B 中任一元素,在集合 A 中不b 一定有原像对值域中每一个函数值,在定义域中都有 确定的自变量的值与之对应函数是特殊的映射,映射是函数的推广.注意注意（1）函数实际上就是集合 A 到集合 B 的一个特殊对应：AB。这里 A，B 为非空的数集。f（2）A：定义域，原象的集合；|A：值域，象的集合，其中|AB；：对应)(xfx)(xfxf 法则，A，Bxy（3）函数符号：=，是的函数，简记y)(xfyx)(xf 回顾回顾（二）已学函数的定义域和值域：1、一次函数=(0)：定义域，值域)(xfaxbaRR2、反比例函数=(0)：定义域|0，值域y | y0)(xfxkkx x3、二次函数=2(0)：定义域，值域：当0 时， | ；)(xfaxbxcaRay yabac 442当0 时， | 。ay yabac 442（三）函数的值：关于函数值)(af例析：若=231，求。)(xfxx)2(f解：=22321=11)2(f注意注意（1）在=中表示对应法则，不同的函数其含义不一样；y)(xff（2）不一定是解析式，有时可能是“列表” 、 “图象” ；)(xf（3）与是不同的，前者为变数，后者为常数，是的一个特殊值。)(xf)(af)(af)(xf （四）区间的概念投影投影设、是两个实数，而且，我们规定：abab （1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为,；axbxab3（2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为（,） ；axbxab （3）满足不等式或者的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为、axbaxbx),ba；,(ba（4）实数集可以用区间表示为（,） ；满足不等式，的Rxaxaxbxb 实数的集合可以分别表示为, ， （,） ， （,， （,） 。xa)abb 注意注意注意集合与区间之间的关系：区间是数集，表示区间端点的两个实数不能相等，但数集中不 等式两端的两个实数可以相等，如。axa 三、实例提升三、实例提升 例析例析例 1、设集合 M=|02，N=|02，从 M 到 N 有 4 种对应如下图所示：xxyy其中能表示为 M 到 N 的函数关系的有 。 解析根据对应的含义和函数的概念，可以看出能表示 M 到 N 的函数关系。 例析例析例 2、求下列函数的定义域：； =； =21)(xxf)(xf23 x)(xf1xx21解析函数的定义域通常由问题的实际背景确定，如果只给出解析式=，而没有指明它的定y)(xf 义域，那么函数的定义域就是指能使这个式子有意义的实数的集合。x解：2=0，即=2 时，分式无意义，xx21 x而2 时，分式有意义x21 x 这个函数的定义域是|2。x x320，即时，根式无意义xx3223 x而 320，即时，根式才有意义xx3223 x这个函数的定义域是|。x x32当10 且 20，xx即1 且2 时，根式和分式同时有意义xx1xx21这个函数的定义域是|1 且2x xx 另解：要使函数有意义，必须：10 且 201 且2xxxx这个函数的定义域是：|1 且2x xx 强调强调解题时要注意书写过程，注意紧扣函数定义域的含义。由本例可知，求函数的定义域就是根 据使函数式有意义的条件，布列自变量应满足的不等式或不等式组，解不等式或不等式组就得到所 求的函数的定义域。 求函数的定求函数的定义义域的常域的常见类见类型：型：4（1）当为整式时，定义域为；)(xfR（2）当为分式时，定义域为使分母不为 0 的的集合；)(xfx（3）当为 n 次根式中的偶次根式时，定义域为使被开方式非负的的集合；)(xfx（4）当是由几个式子组成时，定义域是使各个式子都有意义的的取值的集合。)(xfx例析例析例 3、已知函数=3252，求，。)(xfxx)3(f)2(f) 1( af解析解：(3)=332532=14；f=3()25()2=85；)2(f222=3(1)25(1)+2=32。) 1( afaaaa 例析例析例 4、下列函数中哪个与函数=是同一个函数？yx（1）； （2）； （3）2)( xy 33xy 2xy 解析解：（1）=，0，0，定义域不同且值域不同，不是同一个函数；yxxy （2）=，定义域值域都相同，是同一个函数；yxxRyR（3）=|=，0；值域不同，不是同一个函数。yx )0()0( xxxxy例析例析例 5、下列各组中的两个函数是否为相同的函数？（1） （定义域不同）3)5)(3( 1xxxy52 xy（2） （定义域不同）111xxy) 1)(1(2xxy（3） （定义域、值域都不同）2 1)52()(xxf52)(2xxf 注意注意两个函数相同即它们的定义域和对应法则完全相同。四、演练反馈四、演练反馈1、函数的定义域是（ ）) 13lg(13)(2 xxxxfA B C D),31() 1 ,31()31,31()31,(2、下列各组，函数与表示同一个函数的是（ ）)(xf)(xgA=1，=0 B=0 ，=)(xf)(xgx)(xfx)(xgxx2C=2， = D=3，=)(xfx)(xg4)( x)(xfx)(xg93)( x3、已知函数=23，求：)(xfx（1），；)0(f)2(f)5(f（2）；)(xff （3）若0，1，2，3，求函数的值域。x4、若，则到的映射有 个，到的映射有 个，4 , 3 , 2 , 1A,cbaB , ,a b cRABBA到的函数有 个AB5演练反馈答案：演练反馈答案：1、B 2、D 3、 （1）=3，=1，=7； （2）=49； )0(f)2(f)5(f)(xffx（3）值域为3，1，1，3 4、81,64,816板书板书函数的概念 （一）函数与映射函数的三要素：对应法则、定义域 A、值域|Af)(xfx 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 （二）已学函数的定义域和值域：1、一次函数=(0)：定义域，值域)(xfaxbaRR2、反比例函数=(0)：定义域|0，值域y | y0)(xfxkkx x3、二次函数=2(0)：定义域，值域：当0 时， | ；)(xfaxbxcaRay yabac 442当0 时， | 。ay yabac 442板书板书（三）函数的值：关于函数值)(af例析：若=231，求。)(xfxx)2(f解：=22321=11)2(f板书板书（四）区间的概念（1）满足不等式的实数的集合叫做闭区间，表示为,；axbxab （2）满足不等式的实数的集合叫做开区间，表示为（,） ；axbxab （3）满足不等式或者的实数的集合叫做半开半闭区间，表示为、axbaxbx),ba；,(ba（4）实数集可以用区间表示为（,） ；满足不等式，的Rxaxaxbxb 实数的集合可以分别表示为, ， （,） ， （,， （,） 。xa)abb