习题习题 11 填空题 (1) 为便于算法在计算机上实现，必须将一个数学问题分解为 的 运算；(2) 在数值计算中为避免损失有效数字，尽量避免两个 数作减法运算；为避 免误差的扩大，也尽量避免分母的绝对值 分子的绝对值； (3) 误差有四大来源,数值分析主要处理其中的 和 ； (4) 有效数字越多,相对误差越 ；2. 用例 1.4 的算法计算,迭代 3 次,计算结果保留 4 位有效数字.103. 推导开平方运算的误差限公式,并说明什么情况下结果误差不大于自变量误差. 4. 以下各数都是对准确值进行四舍五入得到的近似数,指出它们的有效数位、误差限和相对 误差限.95 123450 30405 1 104000 0033460 875 10., ., , ., .xxxxx5. 证明 1.2.3 之定理 1.1. 6. 若钢珠的的直径 d 的相对误差为 1.0%,则它的体积 V 的相对误差将为多少。 （假定钢珠为 标准的球形） 7. 若跑道长的测量有 0.1%的误差,对 400m 成绩为 60s 的运动员的成绩将会带来多大的误差 和相对误差.8. 为使的近似数相对误差小于 0.05%,试问该保留几位有效数字.209. 一个园柱体的工件,直径 d 为 10.250.25mm,高 h 为 40.001.00mm,则它的体积 V 的近似 值、误差和相对误差为多少 10 证明对一元函数运算有rrxfxf xkxkf x( )( ( )( ),( )g其中并求出时的值，从而说明在时是病态问题1 57f xx x( )tan ,.kf xx( )tan2x11. 定义多元函数运算111, (),nniiii iiSc xcx其中求出的表达式，并说明全为正数时，计算是稳定的，有正有负时，误差难以控S( )icic制 12. 下列各式应如何改进,使计算更准确：22111 1121112 11-cos23 14 00xyxxxyxxxxx xyxxypqppqpq( ),()( ),()( ),()( ),(,)=?=?习题习题 21.填空题 (1) Gauss 消元法求解线性方程组的的过程中若主元素为零会发生 ;. 主元素 的绝对值太小会发生 ; (2) Gauss 消元法求解线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 . 平方 根法求解对称正定线性方程组的计算工作量以乘除法次数计大约为 ; (3) 直接 LU 分解法解线性方程组时的计算量以乘除法计为 , 追赶法解对角占 优的三对角方程组时的计算量以乘除法计为 ;(4) , , ;, 2011A1A2A)(A(5) , ;1100 tttA,)(A2cond ( )A (6) , ;0 abc cba A,)(A2cond ( )A 2用 Gauss 消元法求解下列方程组 bAx , 101 , 112221111 ) 1 (bA1111,4321343223431234)2(bA3用列主元消元法解下列方程组bAx 674 , 5150710623 ) 1 (bA6720,5616103423221020)2(bA4. 用 GaussJordan 消元法求：10110121115用直接分解方法求 1 题中两个矩阵的分解，并求解此二方程组LULU 6用平方根法解方程组 bAx 3214 2213 1116,Ab 7 用追赶法解三对角方程组 bAx 00001,2100012100012100012100012bA8证明： (1)单位下三角阵的逆仍是单位下三角阵 (2)两个单位下三角阵的乘积仍是单位下三角阵9由，(见(2.18)式)，证明:1 11 21 1 nLLLLL111111,321323121nnnnnlllllllLLMMMOMMM10证明向量范数有下列等价性质： xnxxxnxxxnxx21212)3()2() 1 (11求下列矩阵的 12,AAAA 5131312110212326;.AA12求 2condA 10099129998cossin;.sincosAA 13证明：(1)若是正交矩阵，即, 则;ATA AI 2cond1A (2)若是对称正定阵， 是的最大特征值， 是最小特征值，则A1An. 1 2condnA 习题习题 31.填空题: (1)当 A 具有严格对角线优势或具有对角优势且 时，线性方程组 Ax=b 用 Jacobi 迭代法和 GaussSeidel 迭代法均收敛; (2)当线性方程组的系数矩阵 A 对称正定时, 迭代法收敛. (3)线性方程组迭代法收敛的充分必要条件是迭代矩阵的 小于 1; SOR 法收敛 的必要条件是 ; (4)用迭代法求解线性方程组,若 q = (B), q 时不收敛, q 接近 时收敛较 快, q 接近 时收敛较慢; (5); ; ; 1112,AJB SB JBSB2用 Jacobi 迭代法和 GaussSeidel 迭代法求解方程组(1) ； (2) 453210121012321xxx 7161411151118321xxx各分量第三位稳定即可停止3用 SOR 法解方程组，取，与取 (即 Gauss-Seidel 法)作比较0.911233215 57313 2573x x x 4下面是一些方程组的系数阵，试判断它们对 Jacobi 迭代法，Gauss-Seidel 迭代法的收敛 性(1)； (2)； 211231125 2321(3)； (4)；212 121 212 2100121001210012(5) ； (6) 10111151111101111511 22 11 22 11 221 1 1 5方程组0, 0,2211 212122211211 aabbxxaaaa证明用 Jacobi 迭代法收敛的充要条件是：122112112aaaar6设 为实数；a aaaaaa A, 111 (1)若正定，的取值范围；Aa (2)若 Jacobi 迭代法收敛，的取值范围a习题习题 41.填空题： (1) 幂法主要用于求一般矩阵的 特征值，Jacobi 旋转法用于求对称矩 阵的 特征值； (2) 古典的 Jacobi 法是选择 的一对 元素将其消为零; (3) QR 方法用于求 矩阵的全部特征值，反幂法加上原点平移用于一个近似 特征值的 和求出对应的 2用幂法求矩阵， 11113212620101350144按模最大的特征值和对应的特征向量，精确到小数三位3已知： 1321291111111A取 t =15，作原点平移的幂法，求按模最大特征值4 10141101414A用反幂法加原点平移求最接近 12 的特征值与相应的特征向量，迭代三次5若的特征值为是一实数，证明：是的特征值，且特征向Atn,21LtitIA量不变6已知求平面反射阵使，即使的 1，3 两个分量化3 2 1, ,Tx H00,*,TyHxx零7 612133231A试用 Jacobi 旋转法求作一次旋转，消去最大的非对角元，写出旋转矩阵，求出 角和结 果8设 22 2322333 1 00TTT已知是的特征值，相应的特征向量为，证明也是的特征值，相应的1TTaaa321,T特征向量为Taaa0 , 0 ,3219 证明定理 4.510 证明(421)中的和相似sA1sA习题习题 51填空题(1) 用二分法求方程在0,1内的根，迭代一次后,根的存在区间为 310xx ，迭代两次后根的存在区间为 ；(2) 设可微，则求方程根的 Newton 迭代格式为 ；( )f x( )xf x(3) ，若要使迭代格式局部收敛到，则 C 取2( )(5)xxC x1()kkxx5值范围为 ；(4) 用迭代格式求解方程的根，要使迭1()kkkkxxf x32( )10f xxxx 代序列是二阶收敛，则= ；kxk(5) 迭代格式收敛于根= ，此迭代格式是 阶收1221 3kk kxxx敛的 2证明 Newton 迭代格式(5.10)满足1 2( )lim2( )kkkf f 3. 方程的根全正实根，试用逐次扫描法(h=1)，找出它3291860, 0,)xxxx的全部实根的存在区间，并用二分法求出最大实根，精确到 0.014用二分法求下列方程的根，精度0.001(1) 340 2, 1xxx (2) 1020 0,1xexx5用迭代法求的正根，简略判断以下三种迭代格式：3250xx(1) ； (2) ； (3) 315 2k kxx125 2k kxx3125kkxx在附近的收敛情况，并选择收敛