二项式定理典型例题解析二项式定理典型例题解析1.求（1+2）9的展开式中所有无理项的系数之和.x解：Tr+1=C 2rx（0r9） ，r 92r依题意 r=1，3，5，7，9.所有无理项的系数之和 S=2C +23C +25C +27C +29C .1 93 95 97 99 9设展开式中所有有理项的系数之和T=C +22C +24C +26C +28C ，0 97 94 96 98 9则在（1+2x）9中，令 x=1 和 x=1 分别为 S+T=39，ST=1，S=（39+1）.212.证明下列各式:（1）1+2C +4C +2n1C+2nC =3n；1 n2 n1n nn n（2） （C ）2+（C ）2+（C ）2=C；0 n1 nn nn n2（3）C +2C +3C +nC =n2n1.1 n2 n3 nn n证明：（1）在（a+b）n=C an+C an1b+Cabn1+C bn中，令0 n1 n1n nn na=1，b=2 得（1+2）n=1+C 2+C 22+C 2n，1 n2 nn n即 1+2C +4C +2nC =3n.1 n2 nn n（2）（1+x）n（1+x）n=（1+x）2n，（C +C x+C xr+C xn）（C +C x+C xr+C xn）=0 n1 nr nn n0 n1 nr nn n（1+x）2n.而 C是（1+x）2n的展开式中 xn项的系数，由多项式的恒等定理，得n n2C C +C C+C C+C C =C.0 nn n1 n1n n2 n2n nn n0 nn n2又C=C（0mn） ，m nmn n（C ）2+（C ）2+（C ）2=C.0 n1 nn nn n2（3）证法一：令 S=C +2C +nC ，1 n2 nn n则 S=nC +（n1）C+2C +Cn n1n n2 n1 n=nC +（n1）C +2C+C. 0 n1 n1n n1n n由+得 2S=nC +nC +nC+nC0 n1 n1n nn n=n（C +C +C ）=n2n.0 n1 nn nS=n2n1，即 C +2C +nC =n2n1.1 n2 nn n证法二：kC =k=n=nC，k n)!( !knkn )!()!1()!1( knkn 1 1 k nC +2C +nC =nC+nC+nC=n（C+C+C）=n2n1得1 n2 nn n0 1n1 1n1 1 n n0 1n1 1n1 1 n n证.