1、常见应用题类型及其各种关系类型题中涉及的数量及公式等量关系注意事项和、差、 倍、分由题意可知弄清“倍数、多、少” 等关系等积变形各种几何图形的面积公式； 各种几何体的体积公式变形前后面积或体积 之间的关系分清边长、半径、直径 等相 遇 问 题快者慢者初始距 离相向而行注意始发时间 和地点行程问 题追及 问 题路程速度时间快者慢者初始距 离同向而行注意始发时间 和地点调配问题从调配后数量关系中 找等量关系调配对象流动的方向和 数量比例分配全部数量各种成分 的数量之和把一份设为 x工程问题工作量工作效率工作时 间两个或多个工作效率 不同的对象所完成工 作量的和等于总工作 量一般情况下把总工作量 设为 1利润率问题利润率100%； 利润售价进价找出利润或利润率之 间的关系打几折就是按原售价的 百分之几十出售数字问题设 a、b 为一个两位数的个位 与十位上的数字，则这个两 位数可表示为 10ba一般情况下设间接未知 数行船问题顺流速度静水中的速度 水流速度；逆流速度静水 中的速度水流速度2、销售中的盈亏问题 （1）进价：购进商品时的价格，有时也叫成本价 （2）售价：在销售商品时的售出价（有时称成交价、卖价） （3）标价：在销售商品时标出的价（原价、定价） （4）利润：在销售商品过程中的纯收入，利润售价进价若利润为正，则为盈；若利润 为负，则为亏知识点一：常见应用题类型知识点一：常见应用题类型 例例 1：小明中考时的准考证号码是由四个数字组成的，这四个数字组成的四位数有如下特征： （1）它的千位数字为 1； （2）把千位上的数字 1 向右移动，使其成为个位数字，那么所得的新数比原数的 5 倍少 49 请你根据以上特征推出小明的准考证号码 思路分析思路分析： 1）题意分析题意分析：这是一道数字问题的应用题，除 1 以外的三位可看作一个整体 2）解题思路解题思路：此题若直接设未知数，很难解决，可间接设原数的后三位数为 x，则原数为 1000x，把 1 移到个位后的新数为 10x1 解答过程解答过程：设原数的后三位数为 x，根据题意得： 5（1000x）4910x1， 解之得 x990 所以小明的准考证号码是 1990 解题后的思考解题后的思考：数字问题设未知数都是间接设本题和一般的数字问题稍有不同，这个四位数 每个数位上的数字不必一一表示出来，把除 1 以外的三位看成一个整体即可例例 2：一商店将某种鞋子按成本价提高 40%后标价，又以 8 折优惠价卖出，结果每双仍获利 15 元，求这种鞋子每双的成本是多少元？ 思路分析思路分析： 1）题意分析题意分析：我们知道每双鞋子的利润是鞋子售价与鞋子成本价的差 2）解题思路解题思路：如果设每双鞋子的成本价为 x 元，那么每双鞋子的标价是（140%）x 元，它 的实际售价为（140%）x80%元那么每双鞋子的利润为（140%）x80%x元 解答过程解答过程：设每双鞋子的成本价是 x 元，根据题意列方程，得： （140%）x80%x15， 解这个方程得 x125答：每双鞋子的成本价为 125 元 解题后的思考解题后的思考：解决销售问题时，关键是理清商品从购进到卖出的过程中价格的变化在本题 中，成本价提高 40%标价打 8 折实际售价例例 3：李阿姨买了 20000 元某公司 1 年期的债券，1 年后扣除 20%的利息税之后得到本利和为 20800 元，请问这种债券的年利率是多少？ 思路分析思路分析： 1）题意分析题意分析：本题中债券的计息方法与银行存款的计息方法相同 2）解题思路解题思路：可按照本利和本金年利率（120%）存期的计算公式找相等关系列方 程 解答过程解答过程：设这种债券的年利率是 x，根据题意列方程得： 2000020000x（120%）20800 解这个方程得 x0.055% 答：这种债券的年利率是 5% 解题后的思考解题后的思考：本题还可以列方程：200001（120%）x20800另外解方程时，可先利 用等式的基本性质化简例例 4：某班学生步行从学校到一农场去参加劳动，以每小时 4 千米的速度行进，走了 1 千米时， 一名学生奉命回学校取东西，他以每小时 5 千米的速度回到学校，取了东西后又以同样的速度追赶 队伍，结果他和队伍同时到达农场求学校到农场的路程 思路分析思路分析： 1）题意分析题意分析：这一道行程问题是追及问题，学生队伍速度慢，走的路程短；取东西的学生速 度快，走的路程长一些 2）解题思路解题思路：两者的速度已知时间关系：从出发 1 千米后到结束，两者所用的时间相同； 路程关系：在整个过程中取东西的学生比队伍多走 1 千米 解答过程解答过程：方法一：线段图分析如图，设学校到农场的路程为 x 千米依题意得 4x15x1 解得 x2 4x14219（千米） 答：学校到农场的路程为 9 千米 解题后的思考解题后的思考：速度已知，若设路程为未知数，则找时间的等量关系；若设时间为未知数，则 找路程的等量关系例例 5：一艘轮船航行于两个码头之间，逆水需 10 小时，顺水需 6 小时已知该船在静水中每小 时航行 12 千米，求水流速度和两码头间的距离 思路分析思路分析： 1）题意分析题意分析：这是一道行船问题，已知时间和在静水中的速度，求水流速度和距离 2）解题思路解题思路：本题中的相等关系是两码头间距离不变或船在静水中的速度不变 解答过程解答过程：设水流速度为 x 千米/时，根据题意列方程，得： 6（12x）10（12x） 解这个方程，得 x3 所以 6（12x）90 答：水流速度是 3 千米/时，两码头之间的距离为 90 千米 解题后的思考解题后的思考：航行问题中，顺水速度静水中航行速度水流速度；逆水速度静水中航行 速度水流速度；顺水速度逆水速度2水流速度；顺水速度逆水速度2静水中航行速度， 如果是在空中航行，这些公式仍适用例例 6：某足球比赛的计分规则为胜一场得 3 分，平一场得 1 分，负一场得 0 分一个队踢 14 场 球负 5 场共得 19 分，问这个队胜了几场？ 思路分析思路分析： 1）题意分析题意分析：根据题意，所得的 19 分是踢胜的场数和踢平的场数所得的积分 2）解题思路解题思路：踢胜的场数和踢平的场数共 1459 场，如果设胜了 x 场，那么踢平的场数就 是 9x 场分别乘它们的分值，和为 19 解答过程解答过程：设胜了 x 场，根据题意得： 3x1（14x5）19 即 3x9x19 解得 x5 答：这个队胜了 5 场 解题后的思考解题后的思考：积分多少与胜、平、负的场数有关，同时也与比赛积分规定有关，如果对体育 比赛有一定了解，会有助于理解题意小结小结：应用题类型很多，不同的题型有不同的特点，关键是找出等量关系列方程认真总结， 还是有规律可循的知识点二：复杂应用题和优化设计问题知识点二：复杂应用题和优化设计问题 例例 7：A、B 两站相距 300 千米，一列快车从 A 站开出，行驶速度是每小时 60 千米，一列慢车从 B 站开出，行驶速度是每小时 40 千米 （1）两车同时开出，相向而行，几小时后相遇？ （2）快车先开 15 分钟，两车相向而行，快车开出几小时后两车相遇？ （3）两车同时同向开出，慢车在前，出发多长时间后快车追上慢车？ （4）慢车先开 30 分钟，两车同向而行，慢车在前，快车出发多长时间后追上慢车？此时慢车 行驶了多少千米？ 思路分析思路分析： 1）题意分析题意分析：这是一道比较复杂的行程问题，包括相遇问题和追及问题 2）解题思路解题思路：（1）和（2）两问属于相遇问题；（3）和（4）两问属于追及问题可借助线 段图分析，找出相等关系列方程，如图所示：快车出发 16 小时后追上慢车，此时慢车行驶了 660 千米 解题后的思考解题后的思考：借助线段图分析复杂问题中的数量关系，从而建立方程解决实际问题，这是一 种解决实际问题的比较好的工具例例 8：有一个牛奶厂现有鲜奶 9 吨，若在市场上直接销售鲜奶，每吨可获取利润 500 元；制成酸 奶销售，每吨可获取利润 1200 元；制成奶片销售，每吨可获取利润 2000 元该牛奶厂的生产能力 是：如果制成酸奶，每天可加工 3 吨；制成奶片，每天可加工 1 吨受人员限制，两种加工方式不 能同时进行；受气温限制，这批牛奶必须在 4 天内加工完毕并全部销售为此，该厂设计了两种方 案 方案一：方案一：尽可能多地制成奶片，其余的直接销售鲜奶； 方案二：方案二：将一部分制成奶片，其余的制成酸奶销售，并恰好 4 天完成你认为选择哪一种方案 获利多呢？ 思路分析思路分析： 1）题意分析题意分析：本题题干较长，条件复杂，但仔细读题后，不难找出关系两种方案已经给出， 只要选择最优方案即可 2）解题思路解题思路：方案一中，时间为 4 天，这 4 天都制奶片，可加工 4 吨奶片，每吨获利 2000 元， 其余的作为鲜奶直接销售，可获利（5500）元，则方案一的总获利可求方案二中的相等关系是： （1）加工酸奶的天数加工奶片的天数4 天，（2）加工酸奶的牛奶吨数加工奶片的牛奶吨数 9 吨，根据（1）设未知数，（2）列方程即可求出方案二的总获利 解答过程解答过程：方案一：4 天都制奶片，其余的作为鲜奶直接销售 总获利为 412000（94）50010500（元）方案二：设加工奶片 x 天，则加工酸奶（4x）天 根据题意，得 x3（4x）9 解得，x1.5 所以 4x41.52.5（天） 所以方案二的总获利为 1.5120002.53120012000（元） 因为 1200010500，所以方案二获利多 解题后的思考解题后的思考：分别计算两种方案的利润，采用“比较法”合理地选择，确定最佳方案小结小结：对于较复杂的应用题一般采取化难为简、分步或分段处理的方式；对于优化设计问题一 般列出所有方案选择符合题意的最优方案提分技巧提分技巧 1、方程思想：（1）方程思想就是把未知数看成已知数，让代替未知数的字母和已知数一样参加 运算（2）求未知数的值（例如在填空题和简单应用类题目中），一般都通过构建方程来求解 2、数形结合思想：数形结合思想是指在研究问题的过程中，由数思形，由形思数，把数与形结 合起来，分析问题的思想方法本章在列方程解应用题时常用画线段图和画框图的方法来分析问 题预习导学预习导学 多姿多彩的图形（多姿多彩的图形（4.1） 一、预习新知一、预习新知 1、认识几何图形； 2、点、线、面、体二、预习点拨二、预习点拨 探究与反思 探究任务一：认识几何图形 【反思】（1）常见立体图形从不同方向观察能得到什么样的平面图形？（2）常见立体图形的展开图是怎样的？ 探究任务二：点、线、面、体 【反思】（1）几何中的点、线、面、体是指什么？（2）点、线、面、体之间有什么关系？同步练习同步练习（答题时间：60 分钟） 一、选择题 1、A 种饮料比 B 种饮料单价少 1 元，小峰买了 2 瓶 A 种饮料和 3 瓶 B 种饮料，一共花了 13 元， 如果设 B 种饮料单价为 x 元/瓶，那么下面所列方程正确的是（ ） A. 2（x1）3x13B. 2（x1）3x13 C. 2x3（x1）13D. 2x3（x1）13 2、一列长 a 米的队伍以每分钟 60 米的速度向前行进，队尾一名同学用 1 分钟从队尾走到队头， 这位同学走的路程是（ ） A. a 米B. （a60）米 C. 60a 米D. 60 米 3、小商贩从批发市场进了一批笔，他出售给顾客的价格要