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第三章第三章 刚体力学基础刚体力学基础思考题思考题3-1 一个绕定轴转动着的刚体有非零的角速度和角加速度。刚体中的质点 A 离转轴的距离是质点 B 的两倍,对质点 A 和质点 B,以下各量的比值是多少?(1)角速率;(2)线速率;(3)角加速度的大小;(4)加速度的切向分量;(5)加速度的法向分量;(6)加速度的大小。3-2 以下说法是否正确?并加以分析:(1)一个确定的刚体有确定的转动惯量。(2)定轴转动的刚体,当角速度大时,作用的力矩也大。(3)使一根均匀的铁棍保持水平,如握住棍子的中点要比握住它的一端容易。(4)一个有固定轴的刚体,受到两个力的作用。当这两个力的合力为零时,它们对轴的合力矩也一定为零;当这两个力对轴的合力矩为零时,它们的合力也一定为零。3-3 指出下弄表达式哪些是正确的,哪些是错误的,并说明理由。,2122 ccccpcKvMrLMrJMghEvMErrrEK、EP、J、分别表示绕定轴转动刚体的动能、重力势能、转动惯量、角动量。式中:LrM 为刚体的质量, 为质心速度,hc 为质心距零势能面的高度,rc 为质心到转轴的距离。cvr3-4 已知银河系中有一天体是均匀球体,现在半径为 R,绕对称轴自转的周期为 T,由于引力凝聚,它的体积不断收缩。假定一万年后它的半径缩小为 r ,试问一万年后此天体绕对称轴自转的周期比现在大还是小?它的动能是增加还是减少?3-5 一圆形平台,可绕中心轴无摩擦地转动,有一辆玩具汽车相对台面由静止启动,绕轴做圆周运动,问平台如何运动?当小车突然刹车,平台又如何运动?运动过程中小车平台系统的机械能、动量和角动量是否守恒?习题解答习题解答3-1 一汽车发动机曲轴的车速在 12s 内由每分钟 1200 转均匀地增加到每分钟 2700 转,求:(1)角加速度;(2)在此时间内,曲轴转了多少转?3-2 某机器上的飞轮运动学方程程为:=at+bt2-ct3,求 t 时刻的角速度和角加速度。3-3 在边长为 a 的正六边形的顶点上,分别固定六个质点,每个质量都为 m,设这正六边形放在 XOY 平面内,如图所示,求:(1)对 OX、OY、OZ 轴的转动惯量;(2)对通过中心 C 且平行于 OY、OZ 的两轴 CY、CZ的转动惯量。3-4 如本题图所示,有一实验用摆,匀质细杆的长 l =0.92m,质量 m=0.5kg,匀质圆盘的半径 r =0.08m,质量为 M=2.50kg。求对过悬点 O 且垂直摆面的轴的转动惯量。3-5 图中是一块质量为 M 且均匀的长方形薄板,边长为 a、b,中心 O 取为原点,坐标系OXYZ 如图所示。(1)证明板对 OX 轴和 OY 轴的转动惯量分另为:,。2 121MbJOX2 121MaJOY(2)求薄板对 OZ 轴的转动惯量。(1)证明:在长方形薄板上取一平行于 X 轴的横条形质元,它到转轴 OX 的距离为 y,长度为 a,高度为 dy,该质元的质量为dybMadyabMdm22222 121mbdybMydmyJbbmOX同理,可以长方形薄板上取一平行于 Y 轴的竖条形质元,到转轴 OY 的距离为 x,高度为b,宽度为 dx,该质元的质量为dxaMdm 22222 121madxaMxdmxJaamOY(2)根据垂直轴定理,22 121baMJJJOYOXOZ3-6 在如图所示的装置中,物体的质量 m1、m2,定滑轮的 M1、M2,半径 R1、R2都已知,且 m1m2。设绳子长度不变,质量不计,绳子与滑轮间不打滑,而滑轮则质量均匀分布,其转动惯量可按均匀圆盘计算,滑轮轴承处光滑无摩擦阻力,试求出物体 m2的加速度和绳的张力 T1、T2、T3。解:m1和 m2的加速度数值相等,方向相反。分别对 m1和 m2应用牛顿第二定律,有:amgmTamTgm222111 两滑轮的转动惯量分别为 和 ,其角速度分别为和2 11121RMJ 2 22221RMJ11Ra。对两滑轮分别应用转动定律,有:22Ra111113121aRMJRTT2222222321aRvMJRTT联立以上四式,解得: 212121 22 MMmmmmga 21212121 124 MMmmMMmgmT 21212112 224 MMmmMMmgmT 2121122121 324 MMmmgMmMmmmT3-7 如图所示,已知定滑轮半径为 R,转动惯量为 J。弹簧的劲度系数为 k。问质量为 m的物体下落 h 时的速率是多大?设开始时物体静止且弹簧无伸长。解解:取弹簧,重物,滑轮及地球为一系统,弹簧右端受力及滑轮轴的力均不作功,故系统机械能守恒。取各物开始位置为对应势能零点。有:22 21 210khJmgh又,代入得:rv222RJmkhmghv 3-8 质量为 m1和 m2的两物体分别悬挂在如本题图所示的组合轮两端。设两轮的半径分另为 R 与 r,两轮的转动惯量分别为 J1和 J2,轮与绳间无滑动,轴承间的摩擦略去不计,绳的质量也略去不计。试求两物体的加速度和绳的张力。解:m1, m2 及定滑轮切向受力如图,设滑轮顺时间方向转动为正方向。取 m1向下运动方向为坐标正向。(1)1111amTgm(2)2222amgmT(3)JRTRT2211 又:ra Ra21(4)21JJJ(5) 共有 5 式,求解 5 个变量。(4)式分别代入(1)、(2)式,得:,RmgmT111rmgmT222代入(3)式,得:)(212 222 11JJrmgrmRmgRm2 22 12121 rmRmJJgrmgRm 然后求得: gmrmRmJJrRmRmJJTgmrmRmJJrRmrmJJTrmRmJJrgrmRmarmRmJJRgrmRma22 22 12112 121 212 22 12122 221 12 22 12121 22 22 12121 1,教材 p264 提供的答案中,分母有一个印刷错误3-9 如本题图所示,飞轮的质量为 60kg,直径为 0.50m,转速为每分钟 1000 转。现用闸瓦制动使其在 5s 内转动,求制动力。设闸瓦与飞轮之间的动摩擦系数 =0.4,并设飞轮的质量全部分布在轮缘上。解解:受力分析:制动力 F 作用于制动杆右端,则由杠杆原理,闸瓦作用于飞轮上的力为。闸瓦与飞轮之间的动摩擦力使飞轮停止转动。则有FFF5 . 25 . 0 75. 05 . 0Ff。5 . 2fF 取飞轮顺时钟转动方向为正。摩擦力的力矩为,是恒力矩。做功 见教材 p85fRMfRMA又由转动定理得:2 021JA2 021JfR RJf22 0飞轮视作细圆环,。2mRJ 22 0mRf 25 . 25 . 22 0mRfF用运动学方程求解:ttt002 0021代入数据得:3100 60210000320 531000 t3250代入数据,得:N1014. 3325024 . 05 . 23100 25 . 06025 . 2222 0 mRF3-10 质量为 0.50kg,长为 0.40m 的均匀细棒,可绕垂直于棒的一端的水平轴转动。如将此棒放在水平位置,然后任其落下,求:(1)在开始转动时的角加速度;(2)下落到铅直位置时的动能;(3)下落到铅直位置时的角速度和角加速度。解:解:(1)转动惯量,合外力矩2 31mlJ 2lmgM 2rad/s8 .364 . 02 8 . 9323lg JM(2)由动能定理,只有重力做功,。2lmgJ98. 0240. 08 . 950. 02lmgEK(3)角速度2 21JEKrad/s57. 8Jmgl此时外力矩为,角加速度0M0JM3-11 一轻绳绕于半径 r =0.2m 的飞轮缘,现在恒力 F =98N 拉绳的端,使飞轮由殂止开始加速转动,如图(a)所示。已知飞轮的转动惯量 J=0.5kgm2,飞轮与轴承之间的摩擦不计。求:(1)飞轮的角加速度;(2)绳子拉下 5m 时飞轮获得的动能;(3)如以重量 P =98N 的物体 m 挂在绳端,如图(b)所示,试再计算飞轮的角加速度和绳子拉下 5m 时飞轮获得的动能。解:(1)由转动定律,得JFrM2rad/s2 .395 . 9 2 . 098JFr(2)由动能定理得:J490598SFEkrr(3)设物体向下加速度为 a ,maTmg对滑轮应用转动定律, 且 ,得:JTR ra 2rad/s8 .21对滑轮,由转动动能定理得:m52212 2TJhJhT对物体,则动能定理得:,且2 21mvThmghrv J2 .27245. 04905 . 021 212JEk3-12 长 l=0.4m 的均匀木棒,质量 M=1.0kg,可绕水平轴 O 在铅垂面内转动。开始时,棒自然地悬垂。现有 m=8g 的子弹,以 v=2000ms-1的速率沿水平方向从 A 点射入棒中(见图)。假定 A 点与 O 点的距离为,求:(1)棒开始转动时的角速度;(2)棒的最大偏转l43角。解:解:把子弹和杆作为一个系统把子弹和杆作为一个系统, 碰撞中分两个阶段:子弹射入棒内,子弹和碰撞中分两个阶段:子弹射入棒内,子弹和棒一起转动。棒一起转动。(1)子弹入射瞬间,没有使棒摆动(无重力矩)子弹入射瞬间,没有使棒摆动(无重力矩) ,则系统所受外力矩为,则系统所受外力矩为零零, 角动量守恒角动量守恒21LL mvlL431mlMllmlMlmvlMlLJL169 3143 43 3143 312 222 2子弹棒mlMlmvl 169 31 432 2结果计算不正确! 答案是 8.88rad/s lmMmvmlMlmvl43 94 169 314322(2)在转动过程中机械能守恒。设最大偏转角为 a,取竖直棒最低为零势能点,则有:LMglgmlmML21)cos1 (43cos143 31 2122 2 代入数值解得: 需要代入数据进行计算!21943-13 一质量为 1.12kg、长为 1.0m 的均匀细棒,支点在棒的上端点,开始时棒垂直悬挂。现在 100N 的力沿水平方向打击它的下端点,打击时间为 1/50s,试求:(1)棒所获得的角动量;(2)棒的最大偏转角。解:解:(1)在打击过程中,由角动量定理,有:LtM又:,得:FlM 12smkg0 . 25010 . 1100tFlL(2) 方法一以棒为研究对象。在转动过程中,只有重力力矩做功。根据刚体定轴转动的动能定理,有: 02 210sin2Jdlmg又JL计算结果为 72.56 度。结果是 88 度 38 分。结果不正确! 220 3121cos2mlLmgl 方法二以棒和地球为研究对象。在转动过程中,只有作为内力的重力力矩做功。机械能守恒。2 210)cos1 (JmglmglJ 21cos2而 ,2 31mlJ JL结果未计算。322223 2cosglmL mglJL3-14 一水平圆盘绕
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