带电粒子在磁场中运动的多解性问题例析浙江省宁波市北仑中学 贺贤伟 315800带电粒子在磁场中的运动问题是高考的难点和热点，特别是新的物理考试大纲将动量要求大幅度降低后，这类问题在高考中地位必将更为突出。由于带电粒子在电磁场中的运动受到多种因素的影响，往往会会形成多解的情况，而学生在解题的过程中由于思维不缜密常常不能解答完整。笔者在教学过程中，对形成此类问题多解的原因进行总结和归类，要求学生在解答过程中参照这些原因一一分析，取得了较好的教学效果。一、带电粒子电性不确定形成多解一、带电粒子电性不确定形成多解例题 1：如图 1 所示，L1和 L2是距离为 D 的两平行虚线，L1上方和 L2下方都是垂直纸面向里的磁感应强度为 B 的匀强磁场，A、B 两点都在 L2上.质量为 m，电量为 q 的带电粒子从 A点以初速 v 斜向上与 L2成 30角射出，经过偏转后第一次又经过 L2上的某点 B，不计重力影响，求 AB 之间的距离分析：若粒子带正电，则轨迹为图 2 中 1 轨迹所示， qmv3260230tan2AB0 01BDRCOSD若粒子带负电，则轨迹为图中 2 所示， qmv3260230tan2AB0 02BDRCOSD若题中未明确指出电性，需分情况讨论。二、磁感应强度方向不确定形成多解二、磁感应强度方向不确定形成多解例题 2：07 年全国卷 19 题如图 3 所示，一带负电的质点在固定的正的点电荷作用下绕该正电荷做匀速圆周运动，周期为 T0，轨道平面位于纸面内，质点速度方向如图中箭头所示。现加一垂直于轨道平面的匀强磁场，已知轨道半径并不因此而改变，则（ ）A、若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将大于 T0B、若磁场方向指向纸里，质点运动的周期将小于 T0C、若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将大于 T0D、若磁场方向指向纸外，质点运动的周期将小于 T0AL1 L212OB1B2图 2v+图 3图 1分析：本题中，只说明磁场方向垂直轨道平面，那么可能的磁场方向就有两种，当磁场方向指向纸面内时，质点所受的洛仑兹力方向背离圆心，与库仑引力方向相反，则向心力减小，由可知，当轨道半径 R 不变时，该质点运动周期必增大，故 A 正确，同理RTF2)2m(向心力可得，当磁场方向指向纸外时，粒子所受的洛仑兹力指向圆心，则向心力增大，故 D 也正确。题中若只告诉了磁感应强度的大小，而未具体指出场强强度方向，此时必须考虑场强方向不确定而形成的多解。三、带电粒子运动方向的不确定形成多解三、带电粒子运动方向的不确定形成多解例题 3：如图 4 所示，磁感应强度为 B 垂直纸面向里的匀强磁场中有一个粒子源 S,能在图示纸面上 360范围内向各个方向发射速率相等的质量为 m、带电-e 的电子；若电子的发射速率为,从点 S 射出后要击中相距 L 的 O 点，则点 SmqLBV 处电子的射出方向与 OS 的夹角为多少？从 S 到点 O 的时间多少？分析：由已知条件可知电子圆周运动的半径为 rL，电子从点 S 射出后要经过点 O，则直线 SO 为圆的一条弦，有如图所示两种运动轨迹存在；（1）由于题中 SOLr，故OSO160，那么电子从点 S 的发射速度 V1的方向与 SO 所成的夹角 150，该轨迹对应运动时间为 t1；e3m5 65 BT（2）图中OSO260，故电子的发射速度 V1的方向与 SO 所成的夹角 30，该轨迹对应运动时间为 t2。e3m 61 BT带电粒子从某粒子源以一定速率射出时，速度方向往往是不确定的，在磁场中运动时形成不同的运动轨迹，从而形成多解。四、运动的临界状态不确定形成多解四、运动的临界状态不确定形成多解例题 4：一质量为 m、带正电 q 的粒子（不计重力）从 O 点处沿+Y 方向以初速 0射入一个边界为矩形的匀强磁场中，磁场方向垂直于 xy 平面向里，它的边界分别为 y=0、ya、x= -1.5a,x=1.5a 如图 5 所示,改变磁感应强度 B 的大小，粒子可从磁场的不同边界面射出、并且射出磁场后偏离原来速度方向的角度 会随之改变。试讨论粒子可以从哪几个边界面射出，从这几个边界面射出时磁感应强度 B 的大小及偏转角度 各在什么范围内？SOo1o2V2V1图 4yxa1.5a1.5a0v0B图 5分析：粒子做圆周运动的半径qBmvR0（1）当 Ra 时，粒子将从上边界射出，此时 B,qamv0 2(2)当 aR3a/4 时粒子将从左边界射出，此时,qamvBqamv 340032(3)当时，粒子将从下边界射出，此时,=.aR43qamvB340例题 5：如图 6，一质量为 m 的带正电 q 的小球穿在一足够长的固定粗糙水平杆上，整个装置处于磁感应强度为 B 的匀强磁场中，磁感应强度方向如图，现给小球以向右的初速度 V,则当小球达到稳定状态时小球克服摩擦所做的功为多少？分析：（1）当 BqVmg 时，杆给小球的支持力向下，球在摩擦作用下减速，洛仑兹力减小，则支持力也减小，摩擦力减小，小球做加速度越来越小的减速运动，当小球速度减为 V末mg/Bq 时，洛仑兹力等于重力，支持力为零，此后小球以 V末匀速运动，故克服摩擦力所做功为q2gm 2m 2m2m23222BVVVW末（2）当 BqVmg 时，小球一开始所受支持力为零，摩擦力也为零，故一直以 V 匀速，小球克服摩擦所做功为零（3）当 BqVmg 时, 杆给球的支持力向上，球在摩擦作用下减速，洛仑兹力减小，则支持力增大，摩擦力也增大，球做加速度越来越大的减速运动，最后小球速度减为零，故克服摩擦力所做功为2m2VW 带电粒子运动过程中，有时候临界条件并非唯一确定。比如在有边界的场中运动时，从哪个边界射出并不唯一确定；或者运动过程中稳定状态并不唯一确定，此时常常出现多解，需就所有可能展开讨论。五、带电粒子运动的周期性形成多解五、带电粒子运动的周期性形成多解图 6例题 6：06 年全国卷 II.25如图 7 所示，在 x0 与 x0 的区域中，存在磁感应强度大小分别为 B1与 B2的匀强磁场，磁场方向垂直于纸面向里，且 B1B2。一个带负电的粒子从坐标原点 O以速度 v 沿 x 轴负方向射出，要使该粒子经过一段时间后又经过 O点，B1与 B2的比值应满足什么条件？分析：粒子在整个过程中的速度大小恒为 v，交替地在 xy 平面内 B1与 B2磁场区域中做匀速圆周运动，轨迹都是半个圆周。设粒子的质量和电荷量的大小分别为 m 和 q，圆周运动的半径分别为 r1和 r2，有：r1 r2 1mv qB2mv qB现分析粒子运动的轨迹。如图 8 所示，在 xy 平面内，粒子先沿半径为 r1的半圆 C1运动至y 轴上离 O 点距离为 2 r1的 A 点，接着沿半径为 2 r2的半圆 D1运动至 y 轴的 O1点，O1O 距离d2（r2r1） 此后，粒子每经历一次“回旋” （即从 y 轴出发沿半径 r1的半圆和半径为 r2的半圆回到原点下方 y 轴） ，粒子 y 坐标就减小d。设粒子经过 n 次回旋后与 y 轴交于 On点。若 OOn即nd满足nd2r1 则粒子再经过半圆 Cn+1就能够经过原点，式中n1，2，3，为回旋次数。由式解得1 1nrn rn由式可得 B1、B2应满足的条件n1，2，3， 211Bn Bn而学生在解题过程中容易忽视运动的周期性，按照图 9 解，从而得到的不完整的结论。在例题 1 中如果去掉第2112BB一次经过 L2的条件，则也需要考虑这种运动的周期性。o XY图 9xyB2B1Ov图 7图 8带电粒子在复合场中运动时，或与碰撞相结合时，其运动往往具有周期性，常常形成与自然数相关的多解。教师在教学过程中要求学生解题时按以上因素逐一分析，不仅可以很大程度上避免出现解题不完整的情况，同时也有助于学生思维严密性的养成。对于带电粒子在电场中的运动，也存在着类似的多解问题。