第 二 相交线与平行线情境导入同学们都坐过汽车旅游过吧! 当你坐车穿过一道道山体隧道时, 是不是惊叹于工人叔叔的鬼斧神工呢? 那么一座大山, 准确无误的凿出一条隧道是多么神奇啊! 通常在凿隧道时, 两个施工队在山的两侧同时开工, 以便加快施工进度同学们不禁产生疑问了, 两个施工队会不会在山中擦肩而过啊? 其实我们不用担心, 只要测出方位角, 利用平行线的判定定理, 便能保证两施工队在山腰中准确接通! 只要学习了本章, 你就会明白其中的道理了如图, 只要在点A测方位角, 在点B测方位角, 两方位角相等了, 则点A、B即在同一直线上( 即C A BD B A)本章将告诉你:什么是对顶角, 什么是余角、 补角;如何判定两直线平行;两直线平行具有哪些性质;如何用尺规作一个角等于已知角本章学习的难点是:余角、 补角的区分;平行线的判定定理与性质定理的区分考点聚集专题余角与补角的定义专题直线平行的判定专题直线平行的性质方法指路在具体情境中了解补角、 余角、 对顶角的概念知道等角的余角相等、 等角的补角相等、 对顶角相等能利用同位角、 内错角、 同旁内角之间的关系( 相等或互补) 来判断两直线是否平行由两直线平行能推导出同位角、 内错角、 同旁内角之间的关系( 相等或互补)利用尺规, 作一个角等于已知角 两条直线的位置关系学 习 目 标 导 航能说出对顶角的定义及其性质能区分余角与补角的定义及其性质能利用余角与补角的性质解决实际问题教 材 知 识 详 析要点 对顶角的定义及性质() 定义: 两条相交直线所构成的四个角中, 有公共顶点但没有公共边的两个角叫对顶角如图 , 直线A B、C D相交于点O,和有公共顶点O, 但没有公共边, 所以和是对顶角图 定义: 一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线, 这两个角叫对顶角如图 ,的两边O A、O D的反向延长线分别是O B、O C, 而O B、O C是的两边, 所以和是对顶角() 对顶角的主要性质是对顶角相等这个性质反过来不成立, 即相等的角不一定是对顶角对顶角的平分线成一条直线对顶角成对出现, 且有偶数对关键提醒: 掌握对顶角的概念要注意三点:由两条直线相交而得;有一个公共顶点;没有公共边, 三个条件缺一不可例 下列各项中,、是对顶角的是( )精析: 要判断两个角是否是对顶角, 要把握两点: 一是顶点是否是公共点; 二是它们的两边是否互为反向延长线选项A、B中的与虽顶点公共, 但是它们的两边不互为反向延长线; 选项D中的顶点不公共, 故三个图中的两个角都不是对顶角故选C解答:C要点 互为余角、 互为补角的概念() 互为余角: 如果两个角的和是直角, 那么称这两个角互为余角() 互为补角: 如果两个角的和是平角, 那么称这两个角互为补角关键提醒: () 这两个概念都是相对于两个角而言的, 并且这两个概念强调的仅仅是两个角的度量关系, 与两个角的位置没有关系() 既然余角和补角都是指两个角之间的一种特殊的数量关系, 因而, 不能说一个角是余角( 补角) , 而应说它是某一个角的余角( 补角) , 或者是这两个角互为余角( 补角)也不能说三个或三个以上的角互为补角或互为余角, 如 , 就不能说、互为余角 例 已知与互余,与互补, 若 , 则 精析: 由两角互余和互补的概念, 可知 , , 又由 , 可求出的度数, 进而求出的度数解答: 要点 互为余角、 互为补角的性质( 重点)() 同角或等角的余角相等 () 同角或等角的补角相等 () 对顶角相等 例 如图 , 直线A B上有一点O,O EA B,C O D , 试找出图中互余的角和互补的角图 精析: 只要两个角的和是直角, 这两个角就是互 余的明显 的有A O C与C O E、C O E与E O D、E O D与D O B因为A O B是平角,C O D , 所以A O CD O B , 这样A O C与D O B也互余要寻找互补的角, 就要看哪两个角的和是平角( )因为图中有三个直角A O E、E O B、C O D, 两个直角一定互补, 所以这三个角都是两两互补根据A O B是平角, 又可以知道A O C与C O B、A O D与D O B也都是互补的这时要特别注意, 根据“ 同角的余角相等” 有:A O C E O D、C O E D O B, 这 样E O D与C O B、C O E与A O D也都是互补的解答: 图 中 互 余 的 角 共对, 它 们 是:A O C与C O E、C O E与E O D、E O D与D O B、A O C与D O B互补的 角 共对, 它 们 是:A O E与E O B、A O E与C O D、E O B与C O D、A O C与C O B、A O D与D O B、E O D与C O B、C O E与A O D两角互余( 互补) 只与其大小有关, 与其位置无关从图形中找互余、 互 补的角, 首先找“ 相邻” 的, 然后要利用相等的角作转化, 找到“ 不相邻的” , 最好是 从图形的一侧按顺序找, 不要乱“ 跳” 着找, 这样才会保证思考全面, 答案完整要点 有关余角、 补角以及对顶角的计算( 难点)() 它们都是两个角之间的关系 () 余角和补角只具备度量关系, 并不限制角的位置关系 () 对顶角要具备的位置特征: 一是有公共顶点; 二是两边互为反向延长线, 其度量关系是大小相等互余、 互补的比较:互余互补图 示关系 例 一个角的余角是这个角补角的 , 求这个角的度数精析: 本题共出现三个角: 一个角、 补角、 余角设这个角的度数为x度, 即可列方程解答解答: 设这个角的度数是x度, 则其余角是( x) 度, 补角是( x) 度, 根据题意, 得 x( x) , 解得x , 故这个角的度数是 度用含有x的代数式表示出这个角的补角、 余角是解题的关键要点 垂线段性质如图 , 直线A B垂直C D于点O, 两直线垂直用符号“” 表示, 如A BC D, 其中点O叫垂足图 () 平面内, 过一 点 有且 只有 一条 直 线与 已知 直线垂直;() 直线外一点与直线上所有点连接的线段中, 垂线段最短;() 点到直线的距离是指由这一点向这条直线作垂线, 那么垂线段的长度即为点到直线的距离例 如图 ,B A C ,ADB C, 垂足为D, 下列说法正确的是( )图 AAD与A C互相垂直B点C到A B的垂线段是线段A BC点A到B C的距离是线段ADD线段A B的长度是点B到A C的距离精析: 根据垂直的定义知A不正确; 点C到A B的垂线段是线段A C; 点到直线的距离是指线段的长度而不是指线段本身故只有D说法正确解答:D学习时要弄清定理、 定义的表述, 分清线段与线段的长度是两个不同 的概念拉 分 典 例 探 究综合应用例 ( 要点、) 如图 , 已知直线A B与C D相交于点O, 且A O DB O C 则A O C 图 精析: 因为A O D与B O C是对顶角, 所以A O DB O C又因为A O DB O C , 所以A O D , 而A O C与A O D是邻补角, 则A O CA O D , 所以A O C 解答: 归纳演绎:A O C与A O D是邻补角例 ( 要 点、) 如 图 ,A B、C D相 交 于 点O,O B平 分D O E, 若D O E , 求A O D和A O C的度数图 精析: 观察图形可以发现,A O D和B O D互为邻补角,A O C和B O D互为对顶角, 所以只要求到B O D的度数, 然后利用邻补角和对顶角的性质即可解决问题解答: 因为O B是D O E的平分线, 所以B O DD O E 所以A O CB O D ,A O D B O D 技法规律: 要善于发现对顶角, 并利用对顶角相等来解题探究创新图 例 ( 要点) 如图 , 已知直线A B、C D相交于点O,O E、O F分别是A O C、B O D的角平分线, 射线O E、O F在同一条直线上吗? 为什么?精析: 要想判断三点是否在同一直线上, 只要看这三点所构成的角是否等于 即可解答: O E平分A O C, A O EC O E O F平分B O D, B O FD O F又 A O CB O D( 对顶角相等) , A O EC O EB O FD O F E O F E O C C O B B O F C O B B O F F O DC O D O E、O F在同一条直线上分析对比: 此题利用对顶角相等将等角相互转化, 根据已知条件易知A O BC O D 图 例 ( 要点) 如图 , 将两块三角板叠在一起, 使直角顶点重合于点O, 问:A O D与B O C相等吗? 动手操作一下, 若相等, 请说明理由精析: 将身边模型与数学相关联, 可以借助数学知识解释身边数学现象解答:A O DB O C理由: 同角的余角相等分析对比: 显然D O C是A O D与B O C的余角, 注意等角的余角( 补角)相等误 区 警 醒【 误区】 概念理解的误区例 下列几个图形中, 能构成对顶角的是( )错解:A或B或C正解:D警醒: 此解错在没有抓住对顶角的概念的实质, 虽然它们每一个图形中构成的角有两个角相等, 但不符合对顶角的条件: () 有公共顶点; () 角的两边互为反向延长线【 误区】 互余与互补不分例 已知 , 则的补角为 错解: 正解: 警醒: 如果两个角的和是 , 那么称这两个角互为余角; 如果两个角的和是 , 那么称这两个角互为补角 【 误区】 思维不缜密, 容易漏解例 如图 ,A B、C D、E F相交于点O, 则图中对顶角有几对?图 错解:对、对或对正解:对警醒: 应 按 从 小 到 大 顺 序 逐 次 寻 找:C O E与F O D,C O F与E O D,A O E与F O B,A O F与E O B,A O C与B O D,A O D与B O C知 能 提 升 训 练夯基固本( 要点、) 如图,O是直线A B上一点,O CO D( 第题)以下两个结论, 其中正确的是 A