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工程数学工程数学 学号:学号:1382021313820213第第一次作业一次作业 姓名:梁陈荣姓名:梁陈荣29.求 5 元排列 52143 的逆序数。答:在排列 524143 中,排在 5 之后小于 5 的数有 4 个;排在 2 之后小于 2 的数有 1 个;排在 1 之后小于 1 的数有 0 个;排在 4 之后小于 4 的数有 1 个,所以 (52413)=4+1+0+1=630. 计算行列式 答:行列式 D 每行每列之和均为 6,那么将二、三、四行同时加到第一行,提出第一行的公 因子 6 得: 211112111121111162111121111216666)(4321 D因以上变化后行列式第一行均为 1,则让二、三、四行均减去第一行得610000100001011116D31. 求行列式 中元素 a 和 b 的代数余子式。答:3611248898 214143321 )1(42 24A4)84363266( 214432321 )1(43 34A32. 计算行列式答:行列式 D 中每列元素之和等于 6,则把二、三、四行同时加到第一行,提出第一行公因子 6 得:312113121121111163121131211216666)(4321 D变化后的行列式中第一行均为 1,则让二、三、四行分别减去第一列得:12201-16 201111001 620111112001100016展开按展开按11rr D33. 设 , 求答: 51642222uuzyxxuzyx2x=x+4 x=4 2y=6+x+y y=10 2z=-1+z+u z=4 2u=u+5 u=5 34. ,求答:13211A35. 求矩阵 X 使之满足答: 在方程两端同时左乘逆矩阵得CAXCAX1, 02011104022221011011311111002210110111101310011X36. 解矩阵方程 ,其中答:因,则 A 是可逆矩阵,所以做初等行变换得1A1351004201094001)2(1111242010940012111123112210021),(2132132rrr rrrrBA所以 则 秩(A)=4 13542941BAX37. 答:设0让数33221131kkkkkkk将0)()()(代入得:133322211321kkk0)()()(313232121kkk由题知线性无关,则求解得321 000322131kkkkkk0321kkk则,线性无关。12338. 求向量组 答: 0000140011100141311400000033300141323436204440333001412362043013152014124323231312r 4r 3r 2r 1rrrrrrrrrrrA阶梯矩阵的秩为 3,所以向量组的秩为 3,因阶梯矩阵中被化为零行向量,所以r 3是一个极大无关组421,39. 求解非齐次线性方程组答:对增广矩阵施行初等行变换化成简单阶梯形矩阵40. 设答:若41. 设,求 A 的特征值和特征向量。答:42. 求一个正交矩阵 P,将对称矩阵化为对角矩阵。答:工程数学工程数学 学号:学号:1382021313820213第第二次作业二次作业 姓名:梁陈荣姓名:梁陈荣30. 判断(1) ;(2)是否是五阶行列式 D5 中的项。答:(1)是;(2)不是;31. 设 求 的根。答:行列式特点是:每行元素之和都等于 a+b+c+x,那么,把二、三、四列同时加到第 一列,并提出第一列的公因子 a+b+c+x,便得到二、三、四列-a 依次减去第一列的-a、-b、-c 倍得32. 计算四阶行列式 答: D 的第一行元素的代数余子式依次为由行列式的定义计算得 33. 用克莱姆法则解方程组答:34. 答: 35. 答:36. 用初等行变换把矩阵 化为阶梯形矩阵和简单阶梯形矩阵。 答: 上面最后一个矩阵就是阶梯形矩阵,对这个阶梯形矩阵再作初等行变换,就可以得到简单阶梯形矩阵,即37. 讨论方程组的可解性。答: 38. 答: 令 ,则A的阶梯形有零行,所以向量组线性相关。39. 求方程组的一个基础解系并求其通解。答: 对方程组的系数矩阵作初等行变换化成简单阶梯形矩阵:原方程组的一个基础解系。 40. a、b 为何值时,线性方程组有唯一解,无解或有无穷多解?在有无穷多解时,求其通解?答:41. 把向量组答: 先得出正交向量组正交向量组。42. 设,求 A 的特征值和特征向量。答: 43. 用正交变换把二次型 化为标准型。答: 二次型的矩阵正交化得位化得工程数学工程数学 学号:学号:1382021313820213第第三次作业三次作业 姓名:梁陈荣姓名:梁陈荣27. 答:28. 举例说明行列式性质,设答:29. 计算 n+1 阶行列式 答: 把 D 的第一行加到第二行,再将新的第二行加到第三行上,如此继续直到将所得新的第 n 行加到第 n+1 行上,这样就得到30. 计算四阶行列式答:将行列式D按第三行展开得31. a 取何值时齐次线性方程组 有非零解。答: 由定理,齐次线性方程组有非零解的充要条件是它的系数行列式 D=0。32. 矩阵 的转置矩阵答:33. 设 ,判断A是否可逆?若可逆,求出答:即所以 34. 用初等行变换求矩阵 的逆矩阵 答: 于是 同样道理,由算式可知,若对矩阵(A,B)施行初等行变换,当把 A变为 E 时,B 就变为35. 讨论向量组 ,的线性相关性。答: 即 36. 答:37. 求解齐次方程组答: 对方程组的系数矩阵作初等行变换化成简单阶梯形矩阵38. 已知四元线性方程组答:39. 设 ,求 A 的特征值和特征向量。答: 40. 设 答:41. 设二次型经过正交变换化为求参数a、b 及所用的正交变换矩阵。答:变换前后的两个二次型的矩阵分别为工程数学工程数学 学号:学号:1382021313820213第第四次作业四次作业 姓名:梁陈荣姓名:梁陈荣34. 答:t=535. 答:2436. 答:-337. 答:38. 答:只有 0 解39. 答:x = -4 , y= 240. 答:441. 答:相关42. 答:1 =2= 0 , 3=243. 答:344. 答: a=645. 答:4846. 答:-247. 答:或不定48. 答:a=b=c=149. 答:450. 答:相关51. 答:1 = -1 , 2 = 3,3=252. 答:-1253. 答:3
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