- 1 - 第八章、向量与解析几何向量代数定义定义与运算的几何表达在直角坐标系下的表示向量有大小、有方向. 记作a或ABa(,)xyzxyza ia ja kaa a,xxyyzzaprj a aprj a aprj a模向量a的模记作aa222 xyzaaa和差cabcabcab,xxyyzzababab单位向量0a，则aaeaae 222(,)xyzxyzaaaaaa方向余弦设a与, ,x y z轴的夹角分别为， ，则方向余弦分别为cos ，cos ，coscosyxzaaaaaa，cos，coscosae(，cos ，cos )222cos1+coscos点乘（数量积）cosbaba，为向量 a 与 b的夹角zzyyxxbabababa叉乘（向量积） bacsinbac为向量 a 与 b 的夹角 向量c与a，b都垂直zyxzyxbbbaaakjiba定理与公式垂直0aba b0xxyyzzaba ba ba b平行/0abab/yzxxyzaaaabbbb交角余弦两向量夹角余弦 babacos222222cosxxyyzzxyzxyza ba ba baaabbb投影向量a在非零向量b上的投影cos()ba bprj aaa bb222xxyyzz bxyza ba ba bprj a bbb- 2 - 平面直线法向量,nA B C点),(0000zyxM方向向量, ,Tm n p点),(0000zyxM方程名称方程形式及特征方程名称方程形式及特征一般式0DCzByAx一般式0022221111DzCyBxADzCyBxA点法式0)()()(000zzCyyBxxA点向式pzznyymxx000三点式1112121213131310xxyyzzxxyyzzxxyyzz参数式ptzzntyymtxx000截距式1xyzabc两点式000101010xxyyzz xxyyzz面面垂直0212121CCBBAA线线垂直0212121ppnnmm面面平行212121 CCBBAA线线平行212121 ppnnmm线面垂直pCnBmA线面平行0CpBnAm点面距离 ),(0000zyxM0DCzByAx面面距离10AxByCzD20AxByCzD222000CBADCzByAxd12222DDd ABC面面夹角线线夹角线面夹角,1111CBAn,2222CBAn,1111pnms,2222pnms,pnms,CBAn2 22 22 22 12 12 1212121|cos CBACBACCBBAA2 22 22 22 12 12 1212121cos pnmpnmppnnmm222222sin pnmCBACpBnAm空 间 曲 线：( )( )( )xtytzt，)(t切向量)(,)(,)(000tttT切“线”方程： )()()(000000 tzztyytxx法平“面”方程：0)()()()()(000000zztyytxxt( )( )yxzx切向量)(,)(,1(xxT切“线”方程： )()(100000 xzzxyyxx法平“面”方程：0)()()()(00000zzxyyxxx- 3 - 空 间 曲 面：0),(zyxF法向量000000000(,),(,) ,(,) )xyznFxy zFxy zFxy z切平“面”方程：000000000000(,)()(,)()(,)()0xxxFxyzxxFxyzyyFxyzzz法“线“方程：),(),(),(000000000000 zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx),(yxfz0000(,) ,(,) , 1 )xynfxyfxy或0000(,),(,) ,1)xynfxyfxy切平“面”方程：0)()(,()(,(0000000zzyyyxfxxyxfyx法“线“方程：1),(),(0000000zzyxfyyyxfxxyx第十章、重积分重积分积分类型计算方法典型例题二重积分d,DyxfI平面薄片的质 量质 量 = 面 密 度面积（1）利用直角坐标系X型Dbaxxdyyxfdxdxdyyxf)()(21),(),(Y型dcyy Ddxyxfdydxdyyxf)()(21),(),(P141例 1、例 3 （2）利用极坐标系使用原则(1) 积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示( 含圆弧 , 直线段 ) ；(2) 被积函数用极坐标变量表示较简单( 含22()xy,为实数 )21( )( )(cos ,sin)(cos ,sin)Dfdddfd0202P147例 5 - 4 - （3）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性 当 D 关于 y 轴对称时，（关于 x 轴对称时，有类似结论）110( ,)(,)( ,)2( ,)( ,)(,)( ,)Dfx yxfx yfx yIfx y dxdy fx yxfx yf x yDD对于是奇函数，即对于是偶函数，即是的右半部分P141例 2 应用该性质更方便计算步骤及注意事项1 画出积分区域2 选择坐标系标准：域边界应尽量多为坐标轴，被积函数 关于坐标变量易分离3 确定积分次序原则：积分区域分块少，累次积分好算为妙 4 确定积分限方法：图示法先积一条线，后扫积分域 5 计算要简便注意：充分利用对称性，奇偶性三重积分dvzyxfI),(空间立体物的 质量质 量 = 密 度 面积(1)利用直角坐标截面法投影法投影bayxzyxzxyxyzzyxfyxVzyxf),(),()()(2121d),(ddd),(P159例 1 P160例 2 （2）利用柱面坐标cossinxryrzz相当于在投影法的基础上直角坐标转换成极坐标适用范围 :1积分区域 表面用柱面坐标表示时方程简单； 如 旋转体2被积函数 用柱面坐标表示时变量易分离 . 如2222() ()f xyf xz21()()( , , )ddd(cos ,sin, ) dbrarf x y zVzfzP161例 3 （3）利用球面坐标cossincossinsinsincosxryrzrdvrdrd d2sin适用范围 :1积分域 表面用球面坐标表示时方程简单 ; 如，球体，锥体. 2被积函数 用球面坐标表示时变量易分离 .如，222()f xyz222111( , )2( , )dd( sin cos , sin sin ,cos )sin dIfP16510-(1) （4）利用积分区域的对称性与被积函数的奇偶性- 5 - 第十一、章曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分积分类型计算方法典型例题第一类曲线积分LdsyxfI),(曲形构件的质量 质 量 =线密 度弧长参数法（转化为定积分）（1）:( )LyxdtttttfI)()()(),(22（2）( ):()( )xtLtytdxxyxyxfIba)(1)(,(2（3）( )()rr( )cos:( )sinxrLyrdrrrrfI)()()sin)(,cos)(22P189-例 1 P1903 平面第二类曲线 积分LQdyPdxI变力沿曲线所做 的功（1）参数法（转化为定积分） ( ):()( )xtLtyt单调地从到ttttQtttPyQxPLd)()(),()()(),(ddP196-例 1、 例 2、 例 3、例 4 （2）利用格林公式（转化为二重积分） 条件： L 封闭，分段光滑，有向（左手法则围成平面区域D）P，Q具有一阶连续偏导数结论：dydx yPxQQdyPdxDL)(应用：助线不是封闭曲线，添加辅有瑕点，挖洞满足条件直接应用P205例 4 P214-5(1)(4) （3）利用路径无关定理（特殊路径法）等价条件： yP xQ0LQdyPdx LQdyPdx与路径无关，与起点、终点有关QdyPdx具有原函数),(yxu（特殊路径法，偏积分法，凑微分法）P211-例 5、 例 6、 例 7 （4）两类曲线积分的联系LLdsQPQdyPdxI)coscos(空间第二类曲线 积分LIPdx Qdy Rdz变力沿曲线所做 的功（1）参数法（转化为定积分）dtttttRttttQttttPRdzQdyPdx)()(),(),()()(),(),()()(),(),(（2）利用斯托克斯公式（转化第二类曲面积分） 条件： L 封闭，分段光滑，有向P，Q，R具有一阶连续偏导数P240-例 1 - 6 - 结论： dxdy ypxQdzdx xRzPdydz zQyRRdzQdyPdx L)()()(应用： 助线不是封闭曲线，添加辅满足条件直接应用第一类曲面积分dvzyxfI),(曲面薄片的质量质 量 =面密 度 面积投影法：),(yxzz投影到xoy面dxdyzzyxzyxfdvzyxfIxyDyx221),(,(),(类似的还有投影到yoz面和zox面的公式P217-例 1、例 2 第二类曲面积分IPdydz Qdzdx R流体流向曲面一 侧的流量（1）投影法 1dydzzyzyxpPdydzyzD),),(：),(yxzz，为的法向量与x轴的夹角前侧取“ +” ，cos0；后侧取“” ，cos02dzdxzzxyxpQdzdxyzD),(,(：),(zxyy，为的法向量与y轴的夹角右侧取“ +” ，cos0；左侧取“” ，cos03dxdyyxzyxQQdxdyyzD),(,(：),(zyxx，为的法向量与x轴的夹角上侧取“ +” ，cos0；下侧取“” ，cos0P226-例 2 （2）高斯公式右手法则取定的侧条件： 封闭，分片光滑，是所围空间闭区域的外侧P，Q，R具有一阶连续偏导数结论：)(zRyQxPRdxdyQdzdzPdydz应用： 助面不是封闭曲面，添加辅满足条件直接应用P231-例 1、例 2 （3）两类曲面积分之间的联系( coscoscos )Pdydz Qdzdx Rdxd yPQRdS转换投影法：()()zzdydzdxdydzdxdxdyxyP228-例 3所有类型的积分： 1 定义：四步法分割、代替、求和、取极限；2 性质：对积分的范围具有可加性，具有线性性；3 对坐标的积分，积分区域对称与被积函数的奇偶性。- 7 - 无 穷 级 数常 数 项 级 数傅 立 叶 级 数幂 级 数一 般 项级 数正 项 级数用收敛定义，nnslim存在常数项级数的基本性质常数项级数的基本性质1若级数收敛 ,各项同乘同一常数仍收敛2两个收敛级数的和差仍收敛注： 一敛、一散之和必发散；两散和、差必发散. 3去掉、加上或改变级数有限项不改变其收敛性4若级数收敛则对这级数的项任意加括号后所成的级数仍收敛，且其和不变。推论如果加括号后所成的级数发散则原来级数也发散注： 收敛级数去括号后未必收敛. 5（必要条件）如果级数收敛则0lim 0nnu莱布尼茨判别法若1nnuu且0limnnu，则11)1(nnnu收敛nu和nv都是正项级数，且nnvu.若nv收敛，则nu也收敛；若nu发散，则nv也发散 .比较判别法比较判别法 的极限形式nu和nv都 是 正 项 级 数 ， 且l vunnnlim， 则 1 若l0,nu与nv同敛或同散; 2 若0l,nv收敛,nu也收敛； 3 如果l，nv发散，nu也发散。比值判别法 根值判别法nu是正项级数，nnnuu1lim,n nnulim,则1时收敛；1()时发散；1时可能收敛也可能发散.收 敛 性和 函 数展 成 幂 级 数nnnxa 0,nnnaa1lim,1,0;,0;0 ,.RRR缺项级数用比值审敛法求收敛半径)(xs的性质1在收敛域I上连续 ; 2在收敛域),(RR内可导，且可逐项求导 ; 3和函数)(xs在收敛域I上可积分，且可逐项积分.(R不变 , 收敛域可能变化