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奥数数论基础知识奥数数论基础知识一一 质数和合数质数和合数(1)一个数除了 1 和它本身,不再有别的约数,这个数叫做质数(也叫做素数)。一个数除了 1 和它本身,还有别的约数,这个数叫做合数。(2)自然数除 0 和 1 外,按约数的个数分为质数和合数两类。任何一个合数都可以写成几个质数相乘的形式。要特别记住:0 和 1 不是质数,也不是合数。(3)最小的质数是 2 ,2 是唯一的偶质数,其他质数都为奇数;最小的合数是 4。(4)质数是一个数,是含有两个约数的自然数 。互质数是指两个数,是公约数只有一的两个数,组成互质数的两个数可能是两个质数(和),可能是一个质数和一个合数(和),可能是两个合数(和)或 1 与另一个自然数。()如果一个质数是某个数的约数,那么就说这个质数是这个数的质因数。把一个合数用质因数相乘的形式表示出来,叫做分解质因数。()以内的质数有个:、 二二 整除性整除性()概念一般地,如 a、b、c 为整数,b0,且 ab=c,即整数 a 除以整除 b(b不等于 0),除得的商 c 正好是整数而没有余数(或者说余数是 0),我们就说,a 能被 b 整除(或者说 b 能整除 a)。记作 ba.否则,称为 a 不能被 b 整除,(或 b 不能整除 a),记作 b a。如果整数 a 能被整数 b 整除,a 就叫做 b 的倍数,b 就叫做 a 的约数。()性质性质 1:(整除的加减性)如果 a、b 都能被 c 整除,那么它们的和与差也能被c 整除。即:如果 ca,cb,那么 c(ab)。例如:如果 210,26,那么 2(106),并且 2(106)。也就是说,被除数加上或减去一些除数的倍数不影响除数对它的整除性。性质 2:如果 b 与 c 的积能整除 a,那么 b 与 c 都能整除 a.即:如果 bca,那么 ba,ca。性质 3:(整除的互质可积性)如果 b、c 都能整除 a,且 b 和 c 互质,那么 b与 c 的积能整除 a。即:如果 ba,ca,且(b,c)=1,那么 bca。例如:如果 228,728,且(2,7)=1,那么(27)28。性质 4:(整除的传递性)如果 c 能整除 b,b 能整除 a,那么 c 能整除 a。即:如果 cb,ba,那么 ca。例如:如果 39,927,那么 327。()数的整除特征能被 2 整除的数的特征:个位数字是 0、2、4、6、8 的整数.能被 5 整除的数的特征:个位是 0 或 5。突破口能被 3(或 9)整除的数的特征:各个数位数字之和能被 3(或 9)整除。判断能被 3(或 9)整除的数还可以用“弃(或)法”:例如:能被整除么? 解:,在数字中只剩,不是的倍数,所以不能被整除。能被 4(或 25)整除的数的特征:末两位数能被 4(或 25)整除。能被 8(或 125)整除的数的特征:末三位数能被 8(或 125)整除。能被 11 整除的数的特征:这个整数的奇数位上的数字之和与偶数位上的数字之和的差(大减小)是 11 的倍数。能被 7(11 或 13)整除的数的特征:一个整数的末三位数与末三位以前的数字所组成的数之差(以大减小)能被 7(11 或 13)整除,依此反复检验。例如:判断 3546725 能否被 13 整除?解:把 3546725 分为 3546 和 725 两个数.因为 3546-725=2821.再把 2821分为 2 和 821 两个数,因为 8212819,又 13819,所以 132821,进而133546725.上述办法也可以用来判断余数和末位数;对于其他的数,可以将其分解成上述几个互质的数的乘积,再逐个考虑。三三 约数与倍数约数与倍数()公约数和最大公约数几个数公有的约数,叫做这几个数的公约数;其中最大的一个,叫做这几个数的最大公约数。例如:是和的最大公约数,可记做:( ,)()公倍数和最小公倍数几个数公有的倍数,叫做这几个数的公倍数;其中最小的一个,叫做这几个数的最小公倍数。例如:36 是 12 和 18 的最小公倍数,记作12,18=36。()最大公约数和最小公倍数的关系如果用 a 和 b 表示两个自然数、那么这两个自然数的最大公约数与最小公倍数关系是:(a,b)a,b=ab。(多用于求最小公倍数)、(a,b) a ,b a,b、a,b是(a,b)的倍数,(a,b)是a,b的约数、(a,b)是 ab 和 ab 的约数,也是(a,b)a,b和(a,b)a,b的约数()求最大公约数的方法很多,主要推荐:短除法、分解质因数法、辗转相除法。例如:、(短除法)用一个数去除 30、60、75,都能整除,这个数最大是多少?解: (30,60,75)=53=15这个数最大是 15。、(分解质因数法)求和的最大公约数是多少?解:(这个质分解常用到) , 所以最大公约数是在这种方法中,先将数进行质分解,而后取它们“所有共有的质因数之积”便是最大公约数。、(辗转相除法)用辗转相除法求 4811 和 1981 的最大公约数。解:4811=21981+849,1981=2849+283,849=3283,(4811,1981)=283。补充说明:如果要求三个或更多的数的最大公约数,可以先求其中任意两个数的最大公约数,再求这个公约数与另外一个数的最大公约数,这样求下去,直至求得最后结果。()约数个数公式一个合数的约数个数,等于它的质因数分解式中每个质因数的个数(即指数)加 1 的连乘的积。例如:求 240 的约数的个数。解:240243151,240 的约数的个数是(41)(1+1)(11)=20,240 有 20 个约数。四四 奇偶性奇偶性(1)奇数和偶数整数可以分成奇数和偶数两大类.能被 2 整除的数叫做偶数,不能被 2 整除的数叫做奇数。偶数通常可以用 2k(k 为整数)表示,奇数则可以用 2k+1(k 为整数)表示。特别注意,因为 0 能被 2 整除,所以 0 是偶数。最小的奇数是 ,最小的偶数是 (2)奇数与偶数的运算性质性质 1:偶数偶数=偶数,奇数奇数=偶数。性质 2:偶数奇数=奇数。性质 3:偶数个奇数相加得偶数。性质 4:奇数个奇数相加得奇数。性质 5:偶数奇数=偶数,奇数奇数=奇数。偶数偶数=偶数()反证法例:桌上有 9 只杯子,全部口朝上,每次将其中 6 只同时“翻转”.请说明:无论经过多少次这样的“翻转”,都不能使 9 只杯子全部口朝下。解:要使一只杯子口朝下,必须经过奇数次“翻转”.要使 9 只杯子口全朝下,必须经过 9 个奇数之和次“翻转”.即“翻转”的总次数为奇数.但是,按规定每次翻转 6 只杯子,无论经过多少次“翻转”,翻转的总次数只能是偶数次.因此无论经过多少次“翻转”,都不能使 9 只杯子全部口朝下。这个证明过程教给我们一种思考问题和解决问题的方法.先假设某种说法正确,再利用假设说法和其他性质进行分析推理,最后得到一个不可能成立的结论,从而说明假设的说法不成立.这种思考证明的方法在数学上叫“反证法”。
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