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导数的概念导数的概念海口一中海口一中 马丽雯马丽雯海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选第 2 页 共 6 页的说课稿的说课稿一、教材分析一、教材分析 导数的概念是高中新教材人教 A 版选修 2-2 第一章 1.1.2 的内容, 是在学生学习了物理 的平均速度和瞬时速度的背景下,以及前节课所学的平均变化率基础上,阐述了平均变化率 和瞬时变化率的关系,从实例出发得到导数的概念,为以后更好地研究导数的几何意义和导 数的应用奠定基础。新教材在这个问题的处理上有很大变化,它与旧教材的区别是从平均变化率入手,用形 象直观的“逼近”方法定义导数。 问题 1 气球平均膨胀率-瞬时膨胀率 问题 2 高台跳水的平均速度-瞬时速度-根据上述教材结构与内容分析,立足学生的认知水平根据上述教材结构与内容分析,立足学生的认知水平 ,制定如下教学目标和重、难点,制定如下教学目标和重、难点二、二、教学目标教学目标1、知识与技能: 通过大量的实例的分析,经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,了解导数概念的 实际背景,知道瞬时变化率就是导数。2、过程与方法: 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力 通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法3、情感、态度与价值观:通过运动的观点体会导数的内涵,使学生掌握导数的概念不再困难,从而激发学生学习 数学的兴趣. 三、三、重点、难点重点、难点重点:重点:导数概念的形成,导数内涵的理解难点:难点:在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,深刻理解导数的内涵通过逼近的方法,引导学生观察来突破难点四、四、 教学设想(具体如下表)教学设想(具体如下表)函数的平均变化率f x 函数的瞬时变化率(即导数) 0lim xf x 海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选第 3 页 共 6 页教 学 环 节教学内容师生互动设计思路创创 设设 情情 景景 、 、 引引 入入 新新 课课幻灯片幻灯片 回顾上节课留下的思考题: 在高台跳水运动中,运动员相对水面的 高度 h(单位:m)与起跳后的时间 t(单位:s)存在函数关系 h(t)=4.9t 26.5t10.计算运动员在这65049t 段时间里的平均速度,并思考下面的问 题: (1)运动员在这段时间里是静止的吗? (2)你认为用平均速度描述运动员的运 动状态有什么问题吗?首先回顾上节课留下的 思考题: 在学生相互讨论,交流 结果的基础上,提出 :大家得到运动员在这 段时间内的平均速度为 “0” ,但我们知道运动 员在这段时间内并没有 “静止” 。为什么会产 生这样的情况 呢?引起学生的好奇,意识到 平均速度只能粗略地描述 物体在某段时间内的运动 状态,为了能更精确地刻 画物体运动,我们有必要 研究某个时刻的速度即瞬 时速度。使学生带着问题走进课堂, 激发学生求知欲根据学生的认知根据学生的认知水平水平, ,概念的形成分了两概念的形成分了两 个层次:个层次: 结合跳水问题,明确瞬时速度的定结合跳水问题,明确瞬时速度的定 义义 问题一:请大家思考如何求运动员的瞬 时速度,如 t=2 时刻的瞬时速度?提出问题一,组织学生 讨论,引导他们自然地 想到选取一个具体时刻 如 t=2,研究它附近的 平均速度变化情况来寻 找到问题的思路,使抽 象问题具体化理解导数的内涵是本节课 的教学重难点,通过层层 设疑,把学生推向问题的 中心,让学生动手操作, 直观感受来突出重点、突 破难点初初 步步 探探 索索 、 、 展展 示示 内内 涵涵问题二:请大家继续思考,当 t 取不同值时,尝试计算的(2)(2)hth tv值?tvtv-0.10.1 -0.010.01 -0.0010.001 -0.00010.0001 -0.000010.00001 .学生对概念的认知需要 借助大量的直观数据, 所以我让学生利用计算 器,分组完成问题二,帮助学生体会从平均速度 出发, “以已知探求未知” 的数学思想方法, 培养学生 的动手操作能力海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选第 4 页 共 6 页问题三:当 t 趋于 0 时,平均速度有 怎样的变化趋势?tvtv -0.1- 12.6 10.1- 13.59-0.01- 13.0 510.01- 13.14 9 -0.001- 13.0 9510.001- 13.10 49 -0.0001- 1300 99510.0001- 13.10 049 -0.00001- 13.0 9995 10.00001- 13.10 0049.一方面分组讨论,上台 板演,展示计算结果, 同时口答:在 t=2 时刻, t 趋于 0 时,平均速 度趋于一个确定的值- 13.1,即瞬时速度,第 一次体会逼近思想;另 一方面借助动画多渠道 地引导学生观察、分析、 比较、归纳,第二次体 会逼近思想,为了表述 方便,数学中用简洁的 符号来表示,即0(2)(2)lim13.1 ththt 数形结合,扫清了学生的 思维障碍,更好地突破了 教学的重难点,体验数学 的简约美问题四:运动员在某个时刻的瞬时速0t度如何表示呢?引导学生继续思考:运 动员在某个时刻的0t瞬时速度如何表示? 学 生意识到将代替 2,0t可类比得到000()( )lim th tth tt 与旧教材相比,这里不提及 极限概念,而是通过形象生 动的逼近思想来定义时0t刻的瞬时速度,更符合学生 的认知规律,提高了他们的 思维能力,体现了特殊到一 般的思维方法借助其它实例,抽象导数的概念借助其它实例,抽象导数的概念 问题五:气球在体积时的瞬时膨胀率v0如何表示呢?类比之前学习的瞬时速 度问题,引导学生得到 瞬时膨胀率的表示000()( )lim vr vvr vv 积极的师生互动能帮助学 生看到知识点之间的联系, 有助于知识的重组和迁移, 寻找不同实际背景下的数 学共性,即对于不同实际 问题,瞬时变化率富于不 同的实际意义 问题六:如果将这两个变化率问题中的 函数用来表示,那么函数在( )f x( )f x处的瞬时变化率如何呢?0xx在前面两个问题的铺垫 下,进一步提出,我们 这里研究的函数 在处的瞬( )f x0xx时变化率0000()( )limlim xxf xxf xfxx 即在( )yf x处的导数,记作0xx00 00()( )( )lim xf xxf xf x x (也可记为) 0xxy引导学生舍弃具体问题的 实际意义,抽象得到导数定 义,由浅入深、由易到难、 由特殊到一般,帮助学生 完成了思维的飞跃;同时 提及导数产生的时代背景, 让学生感受数学文化的熏 陶,感受数学来源于生活, 又服务于生活。海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选第 5 页 共 6 页例 1:将原油精炼为汽油、柴油、塑料等 不同产品,需要对原油进行冷却和加热。 如果在第 x h 时候,原油温度(单位:)为c2( )715(08)f xxxx (1)计算第 2h 和第 6h 时,原油温度的 瞬时变化率,并说明它的意义。 (2)计算第 3h 和第 5h 时,原油温度的 瞬时变化率,并说明它的意义。 步骤: 启发学生根据导数定义,再分别求出 和(2)f (6)f 既然我们得到了第 2h 和第 6h 的原油 温度的瞬时变化率分别为-3 与 5,大家 能说明它的含义吗? 大家是否能用同样方法来解决问题二?师生共同归纳得到,导数即瞬时变化 率,可反映物体变化的快慢步步设问,引导学生深 入探究导数内涵发展学生的应用意识,是 高中数学课程标准所倡导 的重要理念之一。在教学 中以具体问题为载体,加深 学生对导数内涵的理解, 体验数学在实际生活中的 应用循循 序序 渐渐 进进、 、 延延 伸伸 拓拓 展展变式练习:已知一个物体运动的位移(m)与时间 t(s)满足关系 S(t)-2t2+5t(1)求物体第 5 秒和第 6 秒的瞬时速度(2)求物体在 t 时刻的瞬时速度(3)求物体 t 时刻运动的加速度,并判断物体作什么运动?学生独立完成,上台板 演,第三次体会逼近思 想目的是让学生学会用数学 的眼光去看待物理模型, 建立各学科之间的联系, 更深刻地把握事物变化的 规律归归 纳纳 总总 结结 、 、 内内 化化 知知 识识1、瞬时速度的概念、瞬时速度的概念2、导数的概念、导数的概念3、思想方法:、思想方法:“以已知探求未知” 、逼 近、类比、从特殊到一般引导学生进行讨论,相 互补充后进行回答,老 师评析,并用幻灯片给 出让学生自己小结,不仅仅 总结知识更重要地是总结 数学思想方法。这是一个 重组知识的过程,是一个 多维整合的过程,是一个 高层次的自我认识过程, 这样可帮助学生自行构建 知识体系,理清知识脉络, 养成良好的学习习惯作作 业业 安安 排、排、 板板(必做)(必做)第第 10 页习题页习题 A 组第组第 2、3、4 题题(选做):思考(选做):思考第第 11 页习题页习题 B 组第组第 1 题题作业是学生信息的反馈,能在作业中发现和 弥补教学中的不足,同时注重个体差异,因 材施教海南省 2006 年高中数学青年教师说课评选第 6 页 共 6 页书书 设设 计计附后板书设计清楚整洁,便于突出知识目标五、五、 学法与教法学法与教法学法与教学用具学法与教学用具 学法:学法: (1)合作学习:引导学生分组讨论,合作交流,共同探讨问题。 (如问题 2 的处理) (2)自主学习:引导学生通过亲身经历,动口、动脑、动手参与数学活动。 (如问题 3 的处 理) (3)探究学习:引导学生发挥主观能动性,主动探索新知。 (如例题的处理) 教学用具:电脑、多媒体、计算器教学用具:电脑、多媒体、计算器 教法:教法:整堂课围绕“一切为了学生发展”的教学原则,突出突出动师生互动、共同探 索。导教师指导、循序渐进(1(新课引入提出问题, 激发学生的求知欲(2(理解导数的内涵数形结合,动手计算,组织学生自主探索,获得导数的定义(3(例题处理始终从问题出发,层层设疑,让他们在探索中自得知识(4(变式练习深化对导数内涵的理解,巩固新知六、评价分析六、评价分析 这堂课由平均速度到瞬时速度再到导数,展示了一个完整的数学探究过程。提出问题、 计算观察、发现规律、给出定义,让学生经历了知识再发现的过程,促进了个性化学习。 从旧教材上看,导数概念学习的起点是极限,即从数列的极限,到函数的极限,再到导 数。这种概念建立方式具有严密的逻辑性和系统性,但学生很难理解极限的形式化定义,因 此也影响了对导数本质的理解。 新教材不介绍极限的形式化定义及相关知识,而是用直观形象的逼近方法定义导数。 通过列表计算、直观地把握函数变化趋势(蕴涵着极限的描述性定义) ,学生容易理解;这样定义导数的优点: 1避免学生认知水平和知识学习间的矛盾; 2将更多精力放在导数本质的理解上; 3学生对逼近思想有了丰富的直观基础和一定的理解,有利于在大学的初级阶段学习 严格的极限定义.(附)板书设计(附)板书设计1.1.2 导数的概念导数的概念一、回顾上节课的思考题 二、瞬时速度的概念
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