1山东省山东省 20142014 届理科数学一轮复习试题选编届理科数学一轮复习试题选编 2727：空间角与空间距离：空间角与空间距离一、选择题1. （2013 山东高考数学（理） ）已知三棱柱111ABCABC的侧棱与底面垂直,体积为9 4,底面是边长为3的正三角形.若P为底面111ABC的中心,则PA与平面ABC所成角的大小为（ ）A5 12B3C4D6【答案】B 二、填空题 2. （山东省烟台市莱州一中 2013 届高三第三次质量检测数学(理)试题）若一个平面与正方体的 12 条棱所成的角均为,那么cos等于_【答案】6 3【解析】要想是平面与正方体的 12 条棱所成的角相同,根据平行性可知,只要平面和同一个顶点的三条棱所成的角相同即可,如图可知ADO即为棱与平面所成的角,设正方体的棱长为 1,则2 2AO ,2261()22DO .所以123cos366 2AD DO. 3. （山东省莱芜市第一中学 2013 届高三 12 月阶段性测试数学（理）试题）已知二面角PQ为3,A,B,CPQ,R为线段AC的中点,6ACPBCP ,2CACB,则直线BR与平面所成角的大小为_.QPABCR【答案】4三、解答题 4. （山东省莱钢高中 2013 届高三 4 月模拟检测数学理试题 ）在如图的多面体中,EF平面AEB,AEEB,/ADEF,/EFBC,24BCAD,3EF ,2AEBE,G是BC的中点.2() 求证:/AB平面DEG;ADFEBGC() 求证:BDEG;() 求二面角CDFE的余弦值. 【答案】()证明:/ /,/ /ADEF EFBC, / /ADBC. 又2BCAD,G是BC的中点, / /ADBG, HADFEBGC 四边形ADGB是平行四边形, / /ABDG AB 平面DEG,DG 平面DEG, / /AB平面DEG () 解法 1 xzyADFEBGC3解法 2 EF 平面AEB,AE 平面AEB,BE 平面AEB,EFAE,EFBE, 又AEEB, ,EB EF EA两两垂直 以点E为坐标原点,EB EF EA分别为, ,x y z轴建立如图的空间直角坐标系. 由已知得,A(0,0,2),B(2,0,0), C(2,4,0),F(0,3,0),D(0,2,2), G(2,2,0) 45. （2013 届山东省高考压轴卷理科数学）如图,在四棱锥P-ABCD中,底面是边长为 2 的菱形,且3 BAD=120,且PA平面ABCD,PA=2 ,M,N分别为PB,PD的中点.6 (1)证明:MN平面ABCD; (2) 过点A作AQPC,垂足为点Q,求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值.【答案】 【解析】(1)连接BD.M,N分别为PB,PD的中点,在PBD中,MNBD. 又MN平面ABCD,MN平面ABCD. (2)如图建系:A(0,0,0),P(0,0,2 ),M,N(,0,),C(,3,0). 6(32，32，6)363设Q(x,y,z),则C=(x-,y-3,z),C=(-,-3,2 ). Q3P36C=C=(-,-3,2 ),Q(-,3-3,2 ). QP36336由ACAC=0,得= .即:Q. QPQP1 3(2 33，2，2 63)对于平面AMN:设其法向量为n=(a,b,c). A=,A=(,0,). M(32，32，6)N36 则Error!Error!Error!Error!Error!Error! n=. (39，13，618)5同理对于平面QMN,得其法向量为v=. (33，1，5 66)记所求二面角A-MN-Q的平面角大小为,则 cos=. nv |n|v|3333所求二面角A-MN-Q的平面角的余弦值为. 33336. （山东省威海市 2013 届高三上学期期末考试理科数学）三棱锥PABC,底面ABC为边长为2 3的正三角形,平面PBC 平面ABC,2PBPC,D为AP上一点,2ADDP,O为底面三角形中心. ()求证DO面PBC;()求证:BDAC;()设M为PC中点,求二面角MBDO的余弦值.PDCBAO【答案】证明:()连结AO交BC于点E,连结PE. OQ为正三角形ABC的中心,2AOOE, 且E为BC中点.又2ADDP, DOPE, DO Q平面PBC,PE 平面PBC DO面PBC ()PBPCQ,且E为BC中点, PEBC, 又平面PBC 平面ABC, PE 平面ABC, 由()知,DOPE, DO 平面PBC, DOAC 连结BO,则ACBO,又DOBOOI, AC 平面DOB,ACBD ()由()()知,EA EB EP两两互相垂直,且E为BC中点,所以分别以,EA EB EP所在直线为 , ,x y z轴,建立空间直角坐标系,如图,则 23 1(3,0,0), (0, 3,0), (0,0,1)(1,0, ),(0,3,0),(0, )322ABPDCM， 3 3 12(0, ),( 1, 3,)223BMDB uuu u ruuu rPDCBAO ExyzM6设平面BDM的法向量为( , , )nx y zu u r ,则23033 31022n DBxyzn BMyz r uuu rr uuu u r, 令1y ,则(3,1,3 3)n r由()知AC 平面DBO,( 33 0)AC uuu r，为平面DBO的法向量,3 3331cos,31|3 12793n ACn ACnAC r uuu rr uuu rruuu r, 由图可知,二面角MBDO的余弦值为31 317. （山东省泰安市 2013 届高三第一轮复习质量检测数学（理）试题）如图在多面体 ABCDEF 中,ABCD 为 正方形,ED平面 ABCD,FB/ED,且 AD=DE=2BF=2. (I)求证:;ACEF (II)求二面角 CEFD 的大小; (III)设 G 为 CD 上一动点,试确定 G 的位置使得 BG/平面 CEF,并证明你的结论.【答案】78. （山东省济南市 2013 届高三上学期期末考试理科数学）已知四棱锥PABCD的底面是直角梯形,1/ /,12ABCD ADAB ADABCD,PDABCD 面,2PD ,E是PC的中点(1)证明:/ /BEPAD面; (2)求二面角EBDC的大小.（第 20 题）【答案】证明:取PD的中点为,F连接,EF ,21,/CDEFCDEF 又 ,/CD21AB/ABEFABEFCDAB，且BE/,ABEF AF 是平行四边形，BEPADAFPADBE / /PAD.又面，面，面(2)建系:以 DA,DB,DP 分别为 x 轴、y 轴、z 轴, Fyzx8),2, 0 , 0(),0 , 2 , 0(),0 , 1 , 1 (PCB则 2(0,1,)2E2(1,1,0),( 1,0,)2DBBE uuu ruuu r( , , )nx y zr 设平面ED B的法向量为0202xyxz ( , 2 )(1, 1, 2)nxxxxr令 x=1,则(1, 1, 2)nr又因为ABCD(0,0,1),m u r平面的法向量为,22,cosnm二面角CBDE为.4509. （2011 年高考（山东理） ）在如图所示的几何体中,四边形为平行四边形, 平面,ABCDEA ABCD ,90ACB/EFAB/FGBC/EGAC2.ABEF (1)若是线段的中点,求证:平面;MAD/GMABFE (2)若,求二面角的大小.2ACBCAEABFC【答案】几何法: 证明:(),可知延长交于点,而, / /EFAB2ABEFBFAEP/ /FGBC/ /EGAC 则平面平面,即平面平面, PBF,BFGC PAEAEGCPBFGC IAEGCGC于是三线共点,若是线段的中点,而, ,BF CG AE1/ /2FGBCMAD/ /ADBC则,四边形为平行四边形,则,又平面, / /FGAMAMGF/ /GMAFGM ABFE所以平面; / /GMABFE ()由平面,作,则平面,作,连接,则,于EA ABCDCHABCH ABFEHTBFCTCTBF 是为二面角的平面角. CTHABFC若,设,则,为的中点,2ACBCAE1AE 2ACBC2 2,2ABCHHAB, 222tan22 2AEAEFBAABEFAB3sin3FBA,在中, 36sin233HTBHABFRt CHTtan3CHCTHHT则,即二面角的大小为. 60CTHoABFC60o坐标法:()证明:由四边形为平行四边形, ,平面,可得以点为ABCD090ACBEA ABCDA 坐标原点,所在直线分别为建立直角坐标系, ,AC AD AE, ,x y z设,则,. = ,AC a ADb AEc(0,0,0)A1( ,0,0),(0, ,0),(0,0), ( ,0)2C aDbMbB ab由可得, / /EGAC()EGACRuuu ruuu r1(,)2GMGEEAAMabc uuuu ruuu ruu u ruuuu rA BCDEF G M9由可得, / /FGBC()FGBCADRuuu ruuu ruuu r1122GMGFFAAMADBAEAAD uuuu ruuu ruu u ruuuu ruuu ruu u ruu u ruuu r,则,而平面, 1(,(1) ,)2abc 1 212GMBAEAuuuu ruu u ruu u rGM ABFE所以平面; / /GMABFE ()()若,设,则, 2ACBCAE1AE 2ACBC,则, (2,0,0),(0,0,1),(2, 2,0),(1, 1,1)CEBF(0,2,0)BCADuuu ruuu r( 1,1,1)BF uuu r,设分别为平面与平面的法向量. (2, 2,0)AB uuu r11112222( ,),(,)x y zx y zn =nABFCBF则,令,则,; 11111220 0xy xyz 11x 111,0yz1(1,1,0)n =,令,则,. 222220 0y xyz 21x 220,1yz2(1,0,1)n于是,则, 12 12 121cos2n nn ,nnn1260on ,n即二面角的大小为. ABFC60o10. （山东省德州市 2013 届高三 3 月模拟检测理科数学）已知四棱锥 P-ABCD 的底面是菱形BCD=60,AB=PB=PD=2,PC=3,AC 与 BD 交于 O 点,H 为 OC 的中点.(1)求证 PH 平面 ABCD; (2)求侧面 PAB 与底面 ABCD 所成二面角的余弦值.【答案】101111. （山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学）如图所示,在棱锥PAB