管理系列管理系列 腾讯微博：http:/t.qq.com/GJR007 新浪微博：http:/weibo.com/MBA 管理类 021阿罗的不可能定理一、 阿罗的不可能定理（Arrows Impossibility Theorem）阿罗不可能定理是由 1972 年诺贝尔经济学奖的获得者之一阿罗首先陈述和证明的。 1951 年肯尼斯约瑟夫阿罗（Kenneth JArrow)在他的现在已经成为经济学经典著作的社会选择与个人价值一书中，采用数学的公理化方法对通行的投票选举方式能否保证产生出合乎大多数人意愿的领导者或者说“将每个个体表达的先后次序综合成整个群体的偏好次序”进行了研究。结果，他得出了一个惊人的结论：绝大多数情况下是不可能的！更准确的表达则是：当至少有三名候选人和两位选民时，不存在满足阿罗公理的选举规则。或者也可以说是：随着候选人和选民的增加，“程序民主”必将越来越远离“实质民主”。从而给出了证明一个不可思议的定理：假如有一个非常民主的群体，或者说是一个希望在民主基础上作出自己的所有决策的社会，对它来说，群体中每一个成员的要求都是同等重要的。一般地，对于最应该做的事情，群体的每一个成员都有自己的偏好。为了决策，就要建立一个公正而一致的程序，能把个体的偏好结合起来，达成某种共识。这就要进一步假设群体中的每一个成员都能够按自己的偏好对所需要的各种选择进行排序，对所有这些排序的汇聚就是群体的排序了。管理系列管理系列 腾讯微博：http:/t.qq.com/GJR007 新浪微博：http:/weibo.com/阿罗不可能定理的孕育和诞生。阿罗不可能定理的证明并不难，但是需要严格的数学逻辑思维。关于这个定理还有一段情节颇为曲折的故事。 阿罗在大学期间就迷上了数学逻辑：读四年级的时候， 波兰大逻辑学家塔斯基(Tarski) 到阿罗所在的大学讲了一年的关系演算， 阿罗在他那里接触到诸如传递性、排序等概念 在此之前 阿罗对他所着迷的逻辑学还是全靠自学呢后来， 阿罗考上研究生在哈罗德霍特林（Harold Hotelling)的指导下攻读数理经济学 他发现，逻辑学在经济学中大有用武之地 就拿消费者的最优决策来说吧， 消费者从许多商品组合中选出其最偏好的组合、这正好与逻辑学上的排序概念吻合。又如厂商理论总是假设厂商追求利润最大化， 当考虑时间因素时， 因为将来的价格是未知的 厂商只能力图使基于期望价格的期望利润最大化。我们知道、现代经济中的企业一般是由许多股东所共同拥有 100 个股东对将来的价格可能有 100 种不同的期望，相应地根据期望利润进行诸如投资之类的决策时便有 100 种方案。那么， 问题如何解决呢?一个自然的办法是由股东(按其占有股份多少)进行投票表决， 得票最多的方案获胜 这又是一个排序问题阿罗所受的逻辑训练使他自然而然地对这种关系的传递性进行考察 结果轻而易举地举出了一个反例。管理系列管理系列 腾讯微博：http:/t.qq.com/GJR007 新浪微博：http:/weibo.com/阿罗第一次对社会选择问题的严肃思考就这样成为他学习标准厂商理论的一个副产品不满足传递性的反例激起了阿罗的极大兴趣，但同时也成为他进一步研究的障碍 因为他觉得这个悖论素未谋面但又似曾相识。事实上这的确是一个十分古老的悖论， 是由法国政治哲学家、概率理论家贡多赛在 1785 年提出的 但是阿罗那时对贡多赛和其他原始材料一无所知， 于是暂时放弃了进一步的研究。这是1947 年。 次年， 在芝加哥考尔斯(Cowles)经济研究委员会， 阿罗出于某种原因对选择政治学发生了浓厚的兴趣： 他发现在某些条件下，“少数服从多数”的确可以成为一个合理的投票规则。但是一个月后， 他在政治经济学杂志里发现布莱克(Black)的一篇文章已捷足先登， 这篇文章表达了同样的思想看来只好再一次半途而废了。阿罗没有继续研究下去其实还有另一层的原因，就是他一直以 严肃的 经济学研究为己任， 特别是致力于运用一般均衡理论来建立一个切实可行的模型作为经济计量分析的基础 他认为在除此以外的“旁门左道中深究下去会分散他的精力。1949 年夏天， 阿罗担任兰德公司(Rand)的顾问。这个为给美国空军提供咨询而建立起来的公司那时的研究范围十分广泛，包括当时尚属鲜为人知的对策论。职员中有个名叫赫尔墨(Helmer) 的哲学家试图将对策论应用于国家关系的研究， 但是有个问题令他感到十分棘手： 当将局中人诠释为国家时，尽管个人的偏好是足够管理系列管理系列 腾讯微博：http:/t.qq.com/GJR007 新浪微博：http:/weibo.com/清楚的， 但是由个人组成的集体的偏好是如何定义的呢?阿罗告诉他， 经济学家已经考虑过这个问题， 并且一个恰当的形式化描述已经由伯格森(Bergson)在 1938 年给出。伯格森用一个叫做社会福利函数的映射来描述将个人偏好汇集成为社会偏好的问题， 它将诸个人的效用组成的向量转化为一个社会效用 虽然伯格森的叙述是基于基数效用概念的， 但是阿罗告诉赫尔墨， 不难用序数效用概念加以重新表述。于是赫尔墨顺水推舟， 请阿罗为他写一个详细的说明，当阿罗依嘱着手去做时， 他立即意识到这个问题跟两年来一直困扰着他的问题实际上是一样的。既然已经知道“少数服从多数“一般来说不能将个人的偏好汇集成社会的偏好， 阿罗猜测也许会有其他方法。几天的试探碰壁之后， 阿罗怀疑这个问题会有一个不可能性的结果。果然， 他很快就发现了这样一个结果； 几个星期以后， 他又对这个结果作进一步加强。阿罗不可能定理就这样呱呱坠地了。 从 1947 年萌发胚芽到 1950 年开花结果，阿罗不可能定理的问世可谓一波三折， 千呼万唤始出来， 而且颇有点 无心插柳的意味。但是，正是在这无心背后的对科学锲而不舍的追求，才使逻辑学在社会科学这块他乡异壤开出一朵千古留芳的奇葩 这不能不说是耐人寻味的。二、阿罗的不可能定理的内容管理系列管理系列 腾讯微博：http:/t.qq.com/GJR007 新浪微博：http:/weibo.com/阿罗的不可能定理源自孔多塞的“投票悖论”，早在十八世纪法国思想家孔多塞就提出了著名的“投票悖论”：假设甲乙丙三人，面对 ABC 三个备选方案，有如图的偏好排序。 甲（a b c） 乙（b c a） 丙（c a b） 注：甲（a b c）代表甲偏好 a 胜于 b，又偏好 b 胜于c。 1.若取“a”、“b”对决，那么按照偏好次序排列如下： 甲（a b ） 乙（b a ） 丙（a b ） 社会次序偏好为（a b ） 2.若取“b”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下： 甲（b c ） 管理系列管理系列 腾讯微博：http:/t.qq.com/GJR007 新浪微博：http:/weibo.com/乙（b c ） 丙（c b ） 社会次序偏好为（b c ） 3.若取“a”、“c”对决，那么按照偏好次序排列如下： 甲（a c ） 乙（c a ） 丙（c a ） 社会次序偏好为（c a ） 于是我们得到三个社会偏好次序（a b ）、（b c ）、（c a ），其投票结果显示“社会偏好”有如下事实：社会偏好 a 胜于 b、偏好 b 胜于 c、偏好 c 胜于 a。显而易见，这种所谓的“社会偏好次序”包含有内在的矛盾，即社会偏好 a 胜于 c,而又认为 a 不如 c！所以按照投票的大多数规则，不能得出合理的社会偏好次序。 阿罗不可能定理说明，依靠简单多数的投票原则，要在各种个人偏好中选择出一个共同一致的顺序，是不可能的。这样，一个合管理系列管理系列 腾讯微博：http:/t.qq.com/GJR007 新浪微博：http:/weibo.com/理的公共产品决定只能来自于一个可以胜任的公共权利机关，要想借助于投票过程来达到协调一致的集体选择结果，一般是不可能的。三、阿罗的不可能定理的推理及学者的评价为了简单起见，假定，每个个体至少有 3 个供排列的选项，可以用各种味道的饼干为选项的例子，如，香草饼干(V)、巧克力饼干(C)和草莓饼干(S)，每一个人要形成一个序列，表示出他对 3 种味道的喜爱程度，如 VSC，表示这个人最喜欢香草饼干，其次是草莓饼干，最后是巧克力饼干。设有甲乙丙三人作选择，他们的个人偏好为： 甲： VCS 乙： CSV 丙： SVC 表 1 投票悖论 投票者 对不同选择方案的偏好次序 甲VCS 乙CSV 管理系列管理系列 腾讯微博：http:/t.qq.com/GJR007 新浪微博：http:/weibo.com/丙SVC 用民主的多数表决方式，如果三个人都能充分表达自己的意见，则结果必然如下所示： 首先，在 V 和 C 中选择，甲、丙喜欢 V，乙喜欢 C； 然后，在 C 和 S 中选择，甲、乙喜欢 C，丙喜欢 S； 最后，在 V 和 S 中选择，乙、丙喜欢 S，甲喜欢 V。 这样三个人的最终表决结果如下： VC，CS，SV 可见，利用少数服从多数的投票机制，将产生不出一个令所有人满意的结论，这就是著名的“投票悖论”(paradox of voting)。这个投票悖论最早是由康德尔赛(Coudorcet，Marquis de)在 l8 世纪提出的，因而该悖论又称为“康德尔赛效应”，而利用数学对其进行论证的则是阿罗。 用数学语言来说，即：假设群体 S 上有 m 个个体成员，群体中出现的各种事件构成一个集合 X，每个个体对每一事件都有自己的态度，即每个人都对集合 X 有一个偏好关系 i=1，2，m。即可以按自己的偏好为事件排序。定义群体的偏好为：其中 P 是一种由每个个体偏好得出群体偏好的规则。按这个规则从个体排序(偏好)得到群体排序(偏好)，而且这管理系列管理系列 腾讯微博：http:/t.qq.com/GJR007 新浪微博：http:/weibo.com/个排序符合民主社会的民主决策的各种要求。注意这个排序是自反的，即如果 AB，那么，BB，BC，则有 AC；并且还是完全的，即要么 AB，要么BA，二者只有其一而且必有其一。这首先要考察一下民主社会的民主决策的各种要求是什么，阿罗用 4 个公理(有时表述为 5 条，把公理 1 分为两条)表述出这些要求。他用的是数学方法，符号化的公理和数理逻辑的证明方法，为了简单地说明问题，我们采用了自然语言解释。 公理 1 个体可以有任何偏好；而且是民主选择每个社会成员都可以自由地按自己的偏好进行选择(数学上称为原则 U无限制原则： i，u=1，2， ， m 在 x 上的定义方式无任何限制)。 公理 2 不相干的选择是互相独立的；(数学上称为原则 I 独立性原则：对于 X 中的两个事件 X 和 Y，对它们做出的偏好判断与 X 中的任何其他事件无关)。 公理 3 社会价值与个体价值之间有正向关联；(数学上称为原则 P一致性原则：如果对 X 中的两个事件 X 和 Y，对于所有的 i都有x iY不成立。就是说，每人都有同样明确态度的两件事，社会也应该有同