数的整除性（一）我们在三年级已经学习了能被 2，3，5 整除的数的特征，这一讲我们将讨论整除的性质，并讲解能被 4，8，9 整除的数的特征。数的整除具有如下性质：性质性质 1 如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除如果甲数能被乙数整除，乙数能被丙数整除，那么甲数一定能被丙数整除。例如，48 能被 16 整除，16 能被 8 整除，那么 48 一定能被 8 整除。性质性质 2 如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自如果两个数都能被一个自然数整除，那么这两个数的和与差也一定能被这个自然数整除然数整除。例如，21 与 15 都能被 3 整除，那么 2115 及 21-15 都能被 3 整除。性质性质 3 如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质如果一个数能分别被两个互质的自然数整除，那么这个数一定能被这两个互质的自然数的乘积整除的自然数的乘积整除。例如，126 能被 9 整除，又能被 7 整除，且 9 与 7 互质，那么 126能被 9763 整除。利用上面关于整除的性质，我们可以解决许多与整除有关的问题。为了进一步学习数的整除性，我们把学过的和将要学习的一些整除的数字特征列出来：（1）一个数的个位数字如果是 0，2，4，6，8 中的一个，那么这个数就能被 2整除。（2）一个数的个位数字如果是 0 或 5，那么这个数就能被 5 整除。（3）一个数各个数位上的数字之和如果能被 3 整除，那么这个数就能被 3 整除。（4）一个数的末两位数如果能被 4（或 25）整除，那么这个数就能被 4（或25）整除。（5）一个数的末三位数如果能被 8（或 125）整除，那么这个数就能被 8（或125）整除。（6）一个数各个数位上的数字之和如果能被 9 整除，那么这个数就能被 9 整除。其中（1）（2）（3）是三年级学过的内容，（4）（5）（6）是本讲要学习的内容。因为 100 能被 4（或 25）整除，所以由整除的性质 1 知，整百的数都能被 4（或25）整除。因为任何自然数都能分成一个整百的数与这个数的后两位数之和，所以由整除的性质 2 知，只要这个数的后两位数能被 4（或 25）整除，这个数就能被 4（或 25）整除。这就证明了（4）。类似地可以证明（5）。（6）的正确性，我们用一个具体的数来说明一般性的证明方法。837800307810031078（991）3（91）789983937（89939）（837）。因为 99 和 9 都能被 9 整除，所以根据整除的性质 1 和性质 2 知，（8x993x9）能被 9 整除。再根据整除的性质 2，由（837）能被 9 整除，就能判断 837 能被 9 整除。利用（4）（5）（6）还可以求出一个数除以 4，8，9 的余数：（4）一个数除以 4 的余数，与它的末两位除以 4 的余数相同。（5）一个数除以 8 的余数，与它的末三位除以 8 的余数相同。（6）一个数除以 9 的余数，与它的各位数字之和除以 9 的余数相同。例例 1 在下面的数中，哪些能被 4 整除？哪些能被 8 整除？哪些能被 9 整除？234，789，7756，8865，3728，8064。解解：能被 4 整除的数有 7756，3728，8064；能被 8 整除的数有 3728，8064；能被 9 整除的数有 234，8865，8064。例例 2 在四位数 562 中，被盖住的十位数分别等于几时，这个四位数分别能被9，8，4 整除？解：如果 562 能被 9 整除，那么56213应能被 9 整除，所以当十位数是 5，即四位数是 5652 时能被 9 整除；如果 562 能被 8 整除，那么 62 应能被 8 整除，所以当十位数是 3 或 7，即四位数是 5632 或 5672 时能被 8 整除；如果 562 能被 4 整除，那么2 应能被 4 整除，所以当十位数是1，3，5，7，9，即四位数是 5612，5632，5652，5672，5692 时能被 4 整除。到现在为止，我们已经学过能被 2，3，5，4，8，9 整除的数的特征。根据整除的性质 3，我们可以把判断整除的范围进一步扩大。例如，判断一个数能否被 6 整除，因为623，2 与 3 互质，所以如果这个数既能被 2 整除又能被 3 整除，那么根据整除的性质 3，可判定这个数能被 6 整除。同理，判断一个数能否被 12 整除，只需判断这个数能否同时被 3 和 4 整除；判断一个数能否被 72 整除，只需判断这个数能否同时被 8 和 9 整除；如此等等。例例 3 从 0，2，5，7 四个数字中任选三个，组成能同时被 2，5，3 整除的数，并将这些数从小到大进行排列。解解：因为组成的三位数能同时被 2，5 整除，所以个位数字为 0。根据三位数能被 3 整除的特征，数字和 270 与 570 都能被 3 整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。例例 4 五位数能被 72 整除，问：A 与 B 各代表什么数字？分析与解分析与解：已知能被 72 整除。因为 7289，8 和 9 是互质数，所以既能被 8 整除，又能被 9 整除。根据能被 8 整除的数的特征，要求能被 8整除，由此可确定 B6。再根据能被 9 整除的数的特征，的各位数字之和为A329BA3f296A20，因为 lA9，所以 21A2029。在这个范围内只有 27 能被 9 整除，所以A7。解答例 4 的关键是把 72 分解成 89，再分别根据能被 8 和 9 整除的数的特征去讨论 B 和 A 所代表的数字。在解题顺序上，应先确定 B 所代表的数字，因为 B 代表的数字不受 A 的取值大小的影响，一旦 B 代表的数字确定下来，A 所代表的数字就容易确定了。例例 5 六位数是 6 的倍数，这样的六位数有多少个？分析与解分析与解：因为 623，且 2 与 3 互质，所以这个整数既能被 2 整除又能被 3 整除。由六位数能被 2 整除，推知 A 可取 0，2，4，6，8 这五个值。再由六位数能被 3 整除，推知3ABABA33A2B能被 3 整除，故 2B 能被 3 整除。B 可取 0，3，6，9 这 4 个值。由于 B 可以取 4个值，A 可以取 5 个值，题目没有要求 AB，所以符合条件的六位数共有 5420（个）。例例 6 要使六位数能被 36 整除，而且所得的商最小，问 A，B，C 各代表什么数字？分析与解：因为 3649，且 4 与 9 互质，所以这个六位数应既能被 4 整除又能被 9 整除。六位数能被 4 整除，就要能被 4 整除，因此 C 可取1，3，5，7，9。要使所得的商最小，就要使这个六位数尽可能小。因此首先是 A 尽量小，其次是 B 尽量小，最后是 C 尽量小。先试取 A=0。六位数的各位数字之和为12BC。它应能被 9 整除，因此 BC6 或 BC15。因为 B，C 应尽量小，所以BC6，而 C 只能取 1，3，5，7，9，所以要使尽可能小，应取B1，C5。当 A=0，B=1，C5 时，六位数能被 36 整除，而且所得商最小，为150156364171。练习练习 416539724 能被 4，8，9，24，36，72 中的哪几个数整除？2个位数是 5，且能被 9 整除的三位数共有多少个？3一些四位数，百位上的数字都是 3，十位上的数字都是 6，并且它们既能被 2整除又能被 3 整除。在这样的四位数中，最大的和最小的各是多少？4五位数能被 12 整除，求这个五位数。5有一个能被 24 整除的四位数23，这个四位数最大是几？最小是几？6从 0，2，3，6，7 这五个数码中选出四个，可以组成多少个可以被 8 整除的没有重复数字的四位数？7在 123 的左右各添一个数码，使得到的五位数能被 72 整除。8学校买了 72 只小足球，发票上的总价有两个数字已经辨认不清，只看到是67.9元，你知道每只小足球多少钱吗？