1高等数学（B）向量代数与空间解析几何复习题第一节 向量及其线性运算 8.1.1证明：以三点)9, 1, 4(A，)6, 1,10(B，)3, 4, 2(C为顶点的三角形是等腰三角形。 8.1.2设向量a a a a与x同和y轴的夹角相等，而与z同的夹角是前者的两倍，求向量a a a a的方向余弦。答案：0cos,22coscos=或1cos, 0coscos=8.1.3设向量的方向余弦分别满足下列条件，试问这些向量与坐标轴、坐标面的关系如何？ （1）0cos=； （2）1cos=； （3）0coscos= 答案： （1）垂直于x轴，平行于yOz平面； （2）指向与y轴正向一致，垂直于xOz平面； （3）平行于z轴， 垂直于xOy平面。 8.1.4设向量) 1, 0, 0 (),0, 1, 0(),0, 0, 1 (=k k k kj j j ji i i i，证明k k k kj j j ji i i i,两两正交。8.1.5设c c c cb b b ba a a av v v vc c c cb b b ba a a au u u u+=+=3,2，试用c c c cb b b ba a a a,表示v v v vu u u u32。答案：c c c cb b b ba a a a7115+8.1.6已知两点)2, 1, 0(1M和)0, 1, 1 (2M，用坐标表示式表示向量21MM及212MM。答案：)4, 4, 2(),2, 2, 1 (8.1.7 已知()11,2,3M，()20,1, 2M，12M Muuuuuur 的坐标式？12M Muuuuuu u r ？与12M Muuuuuu u r 平行的单位向量？方向余弦？解：1）120 1,12, 231, 1, 5M M= = uuuuuu u r2)()()()2221211527M M=+ + =uuuuuu u r3）212121121212115cos,cos,cos272727xxyyzzM MM MM M=uuuuuu u ruuuuuu u ruuuuuu u r4）与12M Muuuuuu u r 平行的单位向量为：115cos ,cos,cos,272727= 。8.1.8 已知向量 OAuuu r 与,x y轴夹角分别为,3 4 ，6OA=uuu r ，求 A 点坐标。解：由已知：12coscos,coscos3242=，因为222221coscoscos1cos1coscos2+= = = ，故cos ,cos,cos3,3 2,3OAOAOAOA=uuu ruuu ruuu ruuu r 或3,3 2, 3因为000,aaaaaaOAxxyyzzxyz=uuu r ，所以 A 点的坐标为3,3 2,3或3,3 2, 3。2第二节 数量积 向量积 混合积8.2.1判别下列结论是否成立，为什么？（1）若0=b b b ba a a a，则O O O Oa a a a=或O O O Ob b b b=； （2）)()(c c c cb b b ba a a ac c c cb b b ba a a a=； （3）222|)(b b b ba a a ab b b ba a a a=。答案： （1）否； （2）否； （3）否。 8.2.2设k k k kj j j ji i i ib b b bk k k kj j j ji i i ia a a a+=2,23，求（1）b b b ba a a a及b b b ba a a a；（2）b b b ba a a a的夹角的余弦。答案： （1）3； （5，1，7） ； （2） 21238.2.3设向量a a a a和b b b b的夹角32=，又3|=a a a a，4|=b b b b，试计算)2()23(b b b ba a a ab b b ba a a a+。答案：61 8.2.4已知c c c cb b b ba a a a,为单位向量，且满足O O O Oc c c cb b b ba a a a=+，计算a a a ac c c cc c c cb b b bb b b ba a a a+。答案：238.2.5已知向量c c c cb b b ba a a a,满足条件O O O Oc c c cb b b ba a a a=+，证明a a a ac c c cc c c cb b b bb b b ba a a a=。 8.2.6求与k k k kj j j ji i i ia a a a863+=及x轴都垂直的单位向量，这样的向量共有几个？答案： 53,54, 0,53,54, 08.2.7已知72| ,26| , 3|=b b b ba a a ab b b ba a a a，计算b b b ba a a a。答案： 30 8.2.8已知5| , 3|=b b b ba a a a，问为何值时b b b ba a a a+与b b b ba a a a互相垂直？答案：538.2.9已知向量k k k kj j j ji i i ib b b bk k k kj j j ji i i ia a a a3,32+=+=和j j j ji i i ic c c c3=，计算 （1）b b b bc c c ca a a ac c c cb b b ba a a a)()(；（2）)()(c c c cb b b bb b b ba a a a+；（3）c c c cb b b ba a a a )(。答案： （1） （-3，-13，-33） ；（2） （4，-1，-4） ；（3）78.2.10 已知k k k kj j j jj j j ji i i i3,3+=+=OBOA，求OAB的面积。答案：291.8.2.11 求由1,2,3 ,1,2,4ab= rr 为邻边组成的平行四边形的面积 。解：由两向量叉积的几何意义知：以ar ，br 为邻边组成的平行四边行的面积 Sab=rr ，因为()()()12386,43,222, 7,4 124ijk a b= = rrr rr故()22227469Sab=+ +=rr 。8.2.12 求以()()()111222333,A x y zB xyzC xyz为顶点的三角形面积 。3解：该三角形的面积即为以,AB ACuuu r uuur 为邻边组成的平行四边行的面积的一半，即1 2SABAC=uuu ruuur ，因为212121313131,ABxx yy zzACxx yy zz=uuu ruuur所以2121213131311 2ijk ABACxxyyzzSABAC xxyyzz= rrr uuu ruuuruuu ruuur 。8.2.13 设1,2,3 ,2,1,2ab=rr ，求Praj br ，()cosa br r 。解：1）Praj br =()2221 22 13 210cos14123a bba b a+ + = +r rrr rr，2）()2222221 22 1 3 210cos3 14123212a ba b a b + + = +r rr rr r。4第三节 曲面及其方程8.3.1方程0242222=+zyxzyx表示什么曲面？答案：以点（1，-2，-1）为球心，6 为半径的球面 8.3.2动点到点（2，0，0）的距离为到点（-4，0，0）的距离的一半，求动点的轨迹方程。答案：08222=+xzyx8.3.3画出下列方程所表示的曲面：（1）2 2 22=+ ayax；（2）19422 =+yx；（3）14922 =+yx；（4）02=zy8.3.4画出下列方程表示的曲面：（1）149222 =+zyx；（2）94322yxz+=；（3）64416222=+zyx。8.3.5 将xoy面上的曲线224936xy=分别绕x轴、y轴旋转一周形成的旋转曲面方程。解：1）绕x轴旋转一周形成的旋转曲面方程为：()()222222249364936xyzxyz+=+=；2）绕y轴旋转一周形成的旋转曲面方程为：()()222222249364936xzyxzy+=+=。5第四节 空间曲线及其方程8.4.1画出下列曲线在第一卦限内的图形（1） = 21 yx；（2） =0422yxyxz；（3） =+=+222222azxayx。8.4.2分别求母线平行于x轴及y轴而且通过曲线=+=+0162222222yzxzyx的柱面方程。答案：母线平行于x轴的柱面方程：16322=zy；母线平行于y轴的柱面方程：162322=+xx。 8.4.3求在yOz平面内以坐标原点为圆心的单位圆的方程（任写出三种不同形式的方程） 。答案： =+ 0122xzy； =+ 01222xzyx； =+=+1122222zyzyx。8.4.4指出下列方程所表示的曲线（1） =+ 325222xzyx（2） =+ 13094222zzyx；（3） =+ 3254222xzyx；（4） =+ 408422yxzy；答案： （1）圆； （2）椭圆； （3）双曲线； （4）抛物线；8.4.5 求曲线2229 1xyz xz+=+=分别在,xoy xoz平面上的投影曲线方程。解：1）2229 1xyz xz+=+=消去()z2222219228xyxxxy+=+=，故曲线在xoy上的投影方程为22228 0xxy z+=；2）曲线在xoz上的投影方程为1 0xz y+=。6第五节 平面及其方程8.5.1平面01111=+DzCyBxA与平面02222=+DzCyBxA平行（但不重合）的条件是什么？答案：21212121 DD CC BB AA=8.5.2指出下列平面的特殊位置，并画出各平面： （1）0=x；（2）013=y；（3）0632=yx；（4）03 =yx；（5）1=+zy；（6）056=+zyx 答案： （1）yOz平面；（2）平行于xOz的平面； （3）平行于z轴的平面； （4）通过z轴的平面； （5）平行于x轴的平面；（6）通过原点的平原。 8.5.3求过点（3，0，-1）且与平面012573=+zyx平行的平面方程。 答案：04573=+zyx。8.5.4求过点M（2，9，-6）且与连接坐标原点的线段OM垂直的平面方程。 答案：0121692=+zyx8.5.5求过（1，1，-1） ， （-2，-2，2）和（1，-1，2）三点的平面方程。 答案：023=zyx8.5.6一平面过z轴且与052=+zyx的夹角为3，求它的方程。答案：03=yx或03 =+yx 8.5.7一平面过点（1，0，-1）且平行于向量) 1, 1, 2(=a a a a和)0, 1, 1 (=b b b b，求平面方程。 答案：042=+zyx8.5.8分别按下列条件求平面方程 （1）平行于xOz而且经过点（2，-5，3） ； （2）平行于x轴且经过两点（4，0，