讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组学而思教育08 年寒假四年级提高班第七讲教师版Page 45第第七七讲讲行程行程问题问题在在关于关于 s s、v v、t t 三者的基本关系三者的基本关系部分中部分中，主要介绍单个变量的平均速度问题及其三种基本方法主要介绍单个变量的平均速度问题及其三种基本方法： “特特 殊值法殊值法” 、 “设而不求法设而不求法” 、 “设单位设单位 1 1 法法” （因为会涉及到分数因为会涉及到分数，所以后两种方法供有余力的学生借鉴所以后两种方法供有余力的学生借鉴） ；在在关于关于 s s、v v、t t 三者的经典应用部分中三者的经典应用部分中，主要介绍两个变量的平均速度以及顺风逆风主要介绍两个变量的平均速度以及顺风逆风、顺水逆水等顺水逆水等 典型题目典型题目，中间会简单介绍一下中间会简单介绍一下流水行船的基本公式流水行船的基本公式，主要的方法有主要的方法有: : “鸡兔同笼假设法鸡兔同笼假设法”、 “方程法方程法”等等；更多精彩方法会在具体的例题中体现更多精彩方法会在具体的例题中体现！分析分析：我们把题目中的我们把题目中的 s s、v v、t t 三者关系三者关系提炼出来就可以迎刃而解提炼出来就可以迎刃而解。军军犬犬用的时间和用的时间和巡逻队巡逻队所用时间相所用时间相同同，即即 1515（4.5+5.54.5+5.5）=1.5=1.5（小时小时） ，） ，所以所以军犬来回共跑了军犬来回共跑了 20201.5=301.5=30（千米千米）. .在一段路程内在一段路程内，如果物体保持匀速运动如果物体保持匀速运动，也就是我们所说的速度不变也就是我们所说的速度不变，那么就有那么就有 s s、v v、t t（路程路程、 速度速度、时间时间） 三者的基本数量关系三者的基本数量关系：s=vs=vt t，v= sv= st t，t= st= sv v，相信大家并不陌生相信大家并不陌生，我们通过我们通过“龟兔龟兔赛跑赛跑”这个小例子回顾一下这个小例子回顾一下： 龟兔赛跑，同时出发，全程 6990 米，龟每分钟爬 30 米，兔每分钟跑 330 米，兔跑了 10 分钟就停下来睡了 215 分钟，醒来后立即以原速往前跑，问龟和兔谁先到达终点？先到的比后到的快多少米？解：先算出兔子跑了 33010=3300（米），乌龟跑了 30（215+10）=6750（米），此时乌龟只余下 6990 6750=240（米），乌龟还需要 24030=8 分钟到达终点，兔子在这段时间内跑了 8330=2640（米），所以兔子一共跑 3300+2640=5940（米）.所以乌龟先到，快了 69905940=1050（米）.但是在现实生活中但是在现实生活中，很多时候很多时候物体运动的状态受到外界影响物体运动的状态受到外界影响（如上下坡如上下坡、顺风逆风顺风逆风、顺水逆水顺水逆水、紧紧急刹车急刹车等等）不能够不能够保持匀速运动保持匀速运动，再用再用 s、v、t 三者的基本数量关系三者的基本数量关系解决不了或误差很大解决不了或误差很大，所以当我们所以当我们 在抽象成数学题目或数学模型时在抽象成数学题目或数学模型时，可以把整个运动过程分解成几段可以把整个运动过程分解成几段，宏观的认为其中的某一段路程或某宏观的认为其中的某一段路程或某一段时间内的情况是不变的一段时间内的情况是不变的，所以这时的所以这时的 s 变成总路程变成总路程，t 变成总时间变成总时间，v 变成平均速度变成平均速度，有有平均速度平均速度= 总路程总路程总时间总时间. .例如：甲乙两地相距 100 千米，小强去时的速度是 10 千米/小时，回来的速度是 40 千米/小时，求小强往返的平均速度。 解：去时的时间 10010=10（小时） ，回来的时间 10040=2.5（小时） ，平均速度=总路程总时间=（100+100）（10+2.5）=16（千米/小时）.边防站甲边防站甲、乙两哨所相距乙两哨所相距 1515 千米千米。一天一天，两个哨所的巡逻队同时从各自的哨所出发相两个哨所的巡逻队同时从各自的哨所出发相向而行向而行，他们的速度分别为他们的速度分别为 4.54.5 千米千米/ /时和时和 5.55.5 千米千米/ /时时。乙队出发时乙队出发时，他们带的一只军他们带的一只军 犬同时向甲哨所方向跑去犬同时向甲哨所方向跑去，遇到甲队时立即转身往回跑遇到甲队时立即转身往回跑，遇到乙队又立即转身向甲哨所遇到乙队又立即转身向甲哨所方向跑去方向跑去这只军犬就这样不停地以这只军犬就这样不停地以 2020 千米千米/ /时的速度在甲时的速度在甲、乙两队之间奔跑乙两队之间奔跑，直到直到 两队会合为止两队会合为止。问问：这只这只军犬来回共跑了多少路军犬来回共跑了多少路？想想挑挑战战吗吗？教学目标教学目标关于关于 s、v、t 三者的基本关系三者的基本关系讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组学而思教育08 年寒假四年级提高班第七讲教师版Page 46【例例1 1】 汽车以汽车以 7272 千米千米/ /小小时的速度从甲地到乙地时的速度从甲地到乙地，到达后立即以到达后立即以 4848 千米千米/ /小小时的速度返回甲地时的速度返回甲地。求该求该 车的平均速度车的平均速度。分析分析：学生易错解为学生易错解为（72+4872+48）2=602=60（千米千米/ /小小时时） ，） ，这是概念错误这是概念错误，没有理解到底什么是没有理解到底什么是“平均速度平均速度”（平均速度平均速度不同于一般的平均数问题不同于一般的平均数问题）. .因为因为平均速度平均速度= =总路程总路程总时间总时间，而题目中既没有而题目中既没有总路程总路程，也没也没有有总时间总时间，所以我们要设法构造出来所以我们要设法构造出来。 （法法 1 1）设设从甲地到乙地从甲地到乙地的路程为的路程为 144144 千米千米，因为因为7272，48=14448=144，则有则有去时的时间去时的时间 1 144447272= =2 2（小时小时） ，） ，回来的时间回来的时间 1 144444848= =3 3（小时小时） ，） ，总路程总路程是往返的是往返的路程和路程和，所以所以平均速度平均速度= =总路程总路程总时间总时间= =（144+144144+144） （2+32+3）=57.6=57.6（千米千米/ /小小时时）. .（法法 2 2）设设从甲地到乙地从甲地到乙地的路程为的路程为“S S” ，则有则有去时的时间去时的时间 S S7272= =72S（小时小时） ，） ，回来的时间回来的时间S S4848= =48S（小时小时） ，） ， 总路程总路程是往返的路程和是往返的路程和 “S S” + + “S S” ， 所以所以平均速度平均速度= =总路程总路程总时间总时间= = （S S + + S S） （72S+ +48S）=57.=57.6 6（千米千米/ /小小时时）. . S S 在运算过程中可消去在运算过程中可消去，这种方法体现了这种方法体现了“设而不求设而不求”的思想的思想. .（法法 3 3）设设从甲地到乙地从甲地到乙地的路程为的路程为“1 1” ，则有则有去时的时间去时的时间 1 17272= =1 72（小时小时） ，） ，回来的时间回来的时间1 14848= =1 48（小时小时） ，） ， 总路程总路程是往返的路程和是往返的路程和 “1 1” + + “1 1” ， 所以所以平均速度平均速度= =总路程总路程总时间总时间= = （1+11+1） （1 72+ +1 48）=57.6=57.6（千米千米/ /小小时时）. .【例例2 2】 如图如图，一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由一只蚂蚁沿等边三角形的三条边由A A 点开始爬行一周点开始爬行一周。在三条边上它每在三条边上它每分钟分别爬行分钟分别爬行 4 40cm0cm，20cm20cm，8 8cmcm，它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米它爬行一周平均每分钟爬行多少厘米？分析分析： （： （法法 1 1）设等边三角形的边长为设等边三角形的边长为 200200 厘米厘米，因为因为2020，8 8，40=4040=40，则有则有时间时间 40402020= =2 2（秒秒） ，） ，40408 8= =5 5（秒秒） ，） ，40404040= =1 1（秒秒） ，） ，总路程总路程是是等边三角形的边长等边三角形的边长和和，所以所以平均平均 速度速度= =总路程总路程总时间总时间= =（80+80+8080+80+80）（2+5+12+5+1）=30=30（厘厘米米/ /秒秒）. .（法法 2 2）设等边三角形的边长为设等边三角形的边长为“S S” ，则有则有时间时间 S S2020= =20S（秒秒） ，） ，S S8 8= =8S（秒秒） ，） ，S S4040= =40S（秒秒） ，） ，总总路程路程是是等边三角形的边长等边三角形的边长和和，所以所以平均速度平均速度= =总路程总路程总时间总时间= =（S S + + S S + + S S）（20S+ +8S+ +40S）=30=30（厘厘米米/ /秒秒）. .（法法 3 3）设等边三角形的边长为设等边三角形的边长为“1 1” ，则有则有时间时间 1 12020= =1 20（秒秒） ，） ，1 18 8= =1 8（秒秒） ，） ，1 14040= =1 40（秒秒） ，） ，总总路程路程是是等边三角形的边长等边三角形的边长和和，所以所以平均速度平均速度= =总路程总路程总时间总时间= =（1+1+11+1+1）（1 20+ +1 8+ +1 40）=30=30（厘厘米米/ /秒秒）. .【例例3 3】 一辆汽车从甲地出发到一辆汽车从甲地出发到 300300 千米外的乙地去千米外的乙地去，前前 120120 千米的平均速千米的平均速度为度为 4040 千米千米/ /小小时时，要想使要想使这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为这辆汽车从甲地到乙地的平均速度为 5050 千米千米/ /小小时时，剩下的路程应以什么速度行驶剩下的路程应以什么速度行驶？分析分析：总时间总时间= =总路程总路程平均速度平均速度=300=30050=650=6（小时小时） ，） ，前前 120120 千米千米用时用时 12012040=340=3（小时小时） ，） ，所以后所以后 180180 千米的速度为千米的速度为 180180（6 6- -3 3）=60=60（千米千米/ /小小时时）. .讲义是乐谱，学生是听众，老师是指挥家，每节课都是一篇乐章，老师您辛苦了！ 学而思小学奥数讲义组学而思教育08 年寒假四年级提高班第七讲教师版Page 47拓展 骑自行车从甲地到乙地， 以 10 千米/小时的速度行进， 下午1 时到； 以 15 千米/小时的速度行进， 上午 11 时到。如果希望中午 12 时到，那么应以怎样的速度行进？分析： 设从甲地到乙地的路程是x千米， 有21015xx， 解得60x ， 中午 12 时到则用时为 6010-1=5（小时） ，速度为 605=1