静电场及稳定电流部分专题复习 基本知识点 库仑定律：电场、电力线、电势、高斯定理、环路定理 描写真空中两个静止点电荷q1和q2之间相互作用力的定律。电荷q2受到q1的作用力F21表示为 F21=q1q2 40R 21 R213=q1q2 40R212e 21 其中R21是点电荷q1和q2之间的距离， R 21= r 2 r 1是点电荷q1和q2之间的相对位置矢量， e 21是点电荷q1指向q2的方向上的单位矢量。比例常数140的选取采用的是国际单位制（米千克秒） ，即 1 40= 107c2= 9.0 109 牛顿 米2/库仑2，或 伏特 米/库仑 同样，电荷q1受到q2的作用力F12表示为 F12=q1q2 40R 12 R123=q1q2 40R122e 12 牛顿第三定律仍然成立，即 F21= F12 叠加原理 当存在两个以上的电荷时，就必须用自然界的另一事实来补充库仑定律。这个事实是：施于任一电荷上的力等于其它每一电荷对它所施的库仑力的矢量和，这就是叠加原理。 数学表述：当空间存在n个电荷q1,q2,qn时，这时任意一个电荷qj受到其余电荷对它的作用力 Fj=1 40qjqiR ji Rji3ni=1(i j) 叠加原理的特征： 1) 电磁场理论（麦克斯韦方程组）是线性方程组 2) 在经典范围内显示出叠加原理有效 3) 在多电子原子的量子理论中，叠加原理仍然是不错的近似处理方法 平方反比律性质 1) 高斯定理的基础； 2) 保证光子质量为零； 3) 近代物理实验证实 平方反比：若把库仑力写成1r2+形式，则的极限值(2.7 3.1) 1015 光子质量：对来自脉冲星的光的测量给出光子静止质量的上限1047千克 电荷是量子化的 任何物体所带的电荷是电子电荷的整数倍 思考：如何理解分数电荷？例如：分数电荷量子霍尔效应、孤子导电效应 电荷连续分布 物体的宏观性质能观察到的总是大量微观粒子的平均效应介观体系（微观大、宏观小） ，常用电荷连续分布代替电荷的分立性 1) 体电荷密度： = lim 0q =dq d或 q = 点电荷q受到一个电荷连续分布带电体的作用力 F=1 40qR R3dV 一个电荷连续分布带电体受到另一个电荷连续分布带电体的作用力 F1=1 40 12R 12 R123dV2V11d2 2) 面密度分布 如果电荷集中分布在靠近物体表面的一个薄层内，此时引入面电荷密度来描述连续电荷分布。如图所示，若电荷分布在表面薄层h内，用a代表表面上任一小面积元，则体积元ha内的电荷q = (ha)，于是面电荷密度定义为： = lim a0q a=dq da= h 库仑力的表达式中只要做变换：d da 电场强度与电势 电场强度 1) 应用库仑定律可以很方便地引进电场的概念。在一个给定电荷分布的空间内某一点放置一个点电荷q，此时该点电荷q的受力由两个因素决定：(a) 点电荷的位置及电量的大小；(b) 给定电荷的分布和电量的大小。 2) 如果在放置电荷q时，把其余电荷看作原先的分布，则作用在电荷q上的力仅与该电荷的电量q及其位置有关，即 F= qE (r )，其中 E (r ) =1 40qi(r r i)|r r i|3ni=1或 E (r ) =1 40(r )(r r ) |r r |3Vd 这个函数称为电场强度。 3) 如果在放置电荷q时，并不影响已存在的给定电荷分布，即其它各电荷都保持其原有位置的话，电场的存在只依赖于空间的电荷分布，即使试探电荷q不存在。说明电场是较作用力更为基本的电磁学物理观察量，作用力只是测量电场强度的手段而已，不是电磁学物理观察量。 4) 原则上，只要能计算出上述求和或积分，任意电荷分布的电场强度都能毫无障碍地得到，随着当今计算科学和算法发展，复杂体系的电磁学计算会变得非常便捷。 5) 对一些特殊分布的电荷分布，它具有很高的空间对称性，例如：片电荷、线电荷、球壳电荷等等，不需要借助计算机的帮助就能方便地给出解析结果，更能清晰地阐明物理图象和机理，这也是我们这门课的主要目的。 电场强度的积分和微分形式 1) 电场的“场图”表示：电力线 电力线上任意点的切线方向必定与该点的电场方向相同，即电力线的微分方程dr E (r ) = 0 电场强度由电力线的“密度”来表达，即指通过与线垂直的单位面积上的线数 如图表示一个点电荷产生的电场，电力线的密度一定会按1/r2减少，但与线垂直而在任一个半径 r上的球面面积却会随r2增大，所以如果在对电荷的一切距离上都保持同一线数，密度就将保持与场的大小成正比。电力线从某一电荷发出，中途不会中断，以保证在每一距离上的线数都相同 如图表示两个相等而相反的点电荷的电力线，从正电荷出发的电力线终止于负电荷 思考：电力线能否相交？相交的电力线说明什么？ 2) 电场强度的通量： 通量：电场强度产生源于电荷，用电力线可以形象地描述电场的图像，穿过空间某一闭合曲面的电力线的数目就是电场强度的通量 数学表述：针对空间中由闭合曲面 S 围成的某一区域中的通量定义为 = E d S其中d 是闭合曲面 S 上的矢量面微元， =1 40d S qi(r r i) |r r i|3ni=1=1 40d Sni=1R i Ri3qi 其中R i= r r i是r i处点电荷qi到矢量面微元的位置矢量 qi d R i Ri3= qicosid Ri2= qidi di 是d 对r i处点电荷qi的立体角，所以 = E d S=1 40qidiSni=1 高斯定理： 如果电荷qi在封闭曲面内， diS= 4 如果电荷qi在封闭曲面外， diS= 0 于是有 = E d S=Q 0 其中 Q 是封闭曲面 S 内的总电荷，即 = E d S=1 0dVV是封闭曲面围成的空间体积，上式就是高斯定理（电场强度）的积分形式 再利用数学中的高斯定理： A d S= A dV则 ( E 0)dV= 0，即可得出高斯定理（电场强度）的微分形式 E = 0 3) 电势 定义：单位电荷从空间一点沿着某一路径移到空间另一点所做的功。 、 如图，单位电荷沿路径抵抗电力移动所做的功等于电力在运动方向上的负分量沿着路径的积分 W = F ds ba，F是单位电荷上的电力，而ds 是沿着路径的微分位移矢量。作用在单位电荷上的电力就是电场强度，于是 W(单位电荷) = E ds ba 电势是保守势场： （环路定理） 一般情况下，W与选取的路径有关。对于静电场来说，空间电荷分布是固定的，单位试探电荷在路径a b a的移动过程中，并没有造成空间电荷分布的改变，即单位试探电荷没有对空间电荷分布体系做功，于是 W单位电荷 = E ds = 0l说明功只于端点有关，那么选取P0 P的任意路径 (P) = E ds PP0是标量场，称为P点的静电势或电势，P0点称为电势的参考零点 物理意义：单位电荷从某一参考点被移至指定点时所拥有的势能 电势的数学表示： E (r ) =1 40 (r )R R3dV=1 40 (r )1 Rd= V其中是对r 的微商，于是静电势 =1 40(r ) RdV 电场的旋度： 电场的闭合路径线积分： E ds = l ds l利用斯托克斯公式： f ds = ( f) sld 可知： E ds = ( E ) sld = ( ) d s= 0 电场的旋度： （环路定理的微分形式） E = 0 4) 静电场理论综述 方程形式 E = 0 E d S=Q 0 E = 0 E ds = 0l 静电场是有源无旋场，电力线不闭合 E = 是保守场，电荷在场中沿闭合曲线运动一周电场力不做功 电场和电势的数学表示 E (r ) =1 40(r )R R3Vd (r ) =1 40(r ) RdV其中 R = r r 电场和电势的物理意义： 电场：作用于单位电荷上的力 电势：单位电荷从某一参考点被移至指定点时所拥有的势能 例题 （国际物理奥赛的培训与选拔静电场部分 3.13 题）N块不带电导体圆板共轴等距离平行放置，并依次编号，彼此间距比板的直径小得多，电动势为U的电源的负极与第 1 块板相连并接地，正极依次与第N块板，第N 1块板，第k块板，第3块板，第2块板相连。求： 1) 第k块板与第1块板所带电量绝对值之比：|qk| |q1|； 2) 第k块板的电势Uk 提示：关键点电容串联分析 详细解答见国际物理奥赛的培训与选拔 （费曼物理学讲义习题集第 101 页 5-5 题）在某一电子管中，由一热金属平面发射电子，并为另一平行于发射极相距为d的平面金属板所收集（d小于版面的线度大小） 。两板间某处的电势 = Kx4/3来决定，式中x是该处到发射极的距离 1) 发射极上面电荷密度多大？收集极上又如何？ 2) 在0 ?其中r 0为球体中心位置，0为均匀带电球体的体电荷密度，R 带电球体的半径。 两带电球体的电荷密度为 +(r ) = 0 r 1 2l R0 r 1 2l ?(r ) = 0 r +1 2l R0 r +1 2l ?坐标变换： +(r +1 2l) = 0 | r | R 0 | r | ?(r 1 2l) = 0 | r | R 0 | r | ?即总电荷密度： = +r +12l r 1 2l = 0l 这里分布函数 P： P(r ) = 1 | r | R0 | r | ?于是 = 0 | r | ?表面电荷密度 = 0cos 证毕。 结论：每一个均匀荷电球体在球外任意点的势与来自一个点电荷的势相同，于是该两个经过移位后的球与两个点电荷相似，其势正好就是电偶极子的势