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求通求通项项公式公式1. 已知数列 an 的前 n 项和为Sn,且Sn=2(an -1),则a2等于( A )A. 4 B. 2 C. 1 D. -2 2在数列中,且,则 35 na121,2aa21 ( 1)nnnaa *()nN10S3在数列an中,若a1=1,an+1=2an+3 (n1),则该数列的通项an=_2 n+1-3_. .4对正整数n,设曲线在x2处的切线与y轴交点的纵坐标为,则数列)1 (xxynna的前n项和的公式是 2n+1-2 .1nan5. (广东)已知数列的前项和,则其通项 ;若它的第nan29nSnnna 项满足,则 . 2n-10 ; 8k58kak 6. (江西)已知数列对于任意,有,若,则 na*pqN,pqp qaaa11 9a 36a4 7. 已知正项数列an,其前 n 项和 Sn满足 10Sn=an2+5an+6 且a1, a3, a15成等比数列,求 数列an的通项an . 解析解析 10Sn=an2+5an+6, 10a1=a12+5a1+6,解之得a1=2 或a1=3 又 10Sn1=an12+5an1+6(n2), 由得 10an=(an2an12)+6(anan1),即(an+an1)(anan15)=0 an+an10 , anan1=5 (n2) 当a1=3 时,a3=13,a15=73 a1, a3,a15不成等比数列a13; 当a1=2 时, a3=12, a15=72, 有 a32=a1a15 , a1=2, an=5n3 已知数列前已知数列前 n n 项和项和 Sn,Sn,相当于知道了相当于知道了 n2n2 时候时候 a an n, ,但不可忽视但不可忽视 n=1.n=1. 二、由递推关系求数列的通项二、由递推关系求数列的通项 1. 利用迭加 an-an-1=f(n)、迭乘 an/an-1=f(n)、迭代。2.一阶递推,我们通常将其化为看成bn的等比qpaann1AapAann1数列。 3.利用换元思想(变形为前一项与后一项成等差等比关系,直接写出新数列通项化简得 an) 。 4.对含 an与 Sn的题,进行熟练转化为同一种解题,注意化简时 n 的范围。 突突 破破 重重 难难 点点【范例范例 1】1】记).1(0521681111naaaaaannnnn且满足).1(211 n abnn()求b1、b2、b3、b4的值; ()求数列的通项公式及数列的前 n 项和nbnnba.nS解析解析(I), 052168,21121111 nnnn nnnnaaaaba ab代入递推关系得整理得,342, 03641 11 nn nnnnbbbbbb即.320, 4,38, 2, 143211bbbba所以有由()由, 032 34),34(234,342111bbbbbnnnn所以故的等比数列公比是首项为,2,3234qbn1 122124114112 ,2(1).1,133332 2 1(1 2 )1513()(251).21 233nn nnnnnnnnn nnnnbbnba bb aSaba ba bbbbnnn LL即即即即【变式变式】数列中,(是常数,) ,且 na12a 1nnaacnc12 3n L,成公比不为 的等比数列 (I)求的值;(II)求的通项公式123aaa,1c na解:(I),12a 22ac323ac因为,成等比数列,所以,解得或1a2a3a2(2)2(23 )cc0c 2c 当时,不符合题意舍去,故0c 123aaa2c (II)当时,由于2n,21aac,322aac,1(1)nnaanc所以1(1)12(1)2nn naanccL又,故当时,上式也12a 2c 22(1)2(2 3)nan nnnnL,1n 成立,所以22(12)nannnL,【范例范例 2】2】设数列的首项na1 13(01)2 3 42n naaan,(1)求的通项公式;(2)设,证明,其中为正整na32nnnbaa1nnbbn数解:(1)由整理得132 3 42n naan, ,111(1)2nnaa 又,所以是首项为,公比为的等比数列,得110a1na11 a1 21111 (1)2nnaa (2)方法一:由(1)可知,故则302na0nb 22 1nnbb2 2222 11339(32)(32)32(32)(1) .224nnn nnnnnnnaaaaaaaaaa 又由(1)知且,故,因此为正整数0na 1na 22 10nnbb1nnbbn,方法二:由(1)可知,3012nnaa,因为,所以13 2n naa111(3)322nn nnnaabaa由可得,即1na 33(32)2n nnaaa2 23(32)2n nnnaaaag两边开平方得即为正整数3322n nnnaaaag1nnbbn,【变式变式】已知数列中,对一切自然数,都有 nan且10,an0212 1nnnnaaaa求证:(1); (2)若表示数列的前项之和,则nnaa21 1nS nan12aSn解析:解析: (1)由已知得,0212 1nnnnaaaa2 11 12 nn naaa又因为,所以, 因此,即10,an1102 1na12nnaannaa21 1(2) 由结论(1)可知 ,即,1122121 21 21aaaannnnL1121aann于是,即21211111111 2 11 211222nnnSaaaaaaaa L LL L12aSn【范例范例 3】3】由坐标原点 O 向曲线引切线,切于 O 以外的点 P1)0(323abxaxxy,再由 P1引此曲线的切线,切于 P1以外的点 P2) ,如此进行下去,得到点),(11yx22,(yx 列 Pn.nnyx ,(求:()的关系式;)2(1nxxnn与 ()数列的通项公式;nx() (理)当时,的极限位置的坐 nnP解析解析 ()由题得 baxxxf63)(2过点 P1(的切线为),11yx),0)()(:11111xxxxfyyl过原点 1lQ322 11111113(3)()(36),.2xaxbxxxaxbxa 即 即又过点P Pn(的,)nnxy:()()nnnnlyyfxxx 因为过点P Pn-1( nl11,)nnxy 11()()nnnnnyyfxxx 整理得. 0)(32112 12 1nnnnnnnnxxxxaxxxx2 11111() (23 )0,230.13(2).22nnnnnnnnnnxxxxaxxxxaxxa n 即 即即 即()由(I)得 11().2nnxaxa 所以数列xn-a是以公比为的等比数列2a 21.)21(1 )21(21axaaxn nn n() ,)21(1 limlimaaxnnnn Q.23)(lim333aababaaafyn n 的极限位置为(nP点).2,3aaba【点睛点睛】注意曲线的切线方程的应用,从而得出递推式求数列1111:( )()lyyfxxx的通项公式是数列的基本问题,一般有三种类型:(1)已知数列是等差或等比数列,求通 项,破解方法:公式法或待定系数法;(2)已知 Sn,求通项,破解方法:利用 Sn-Sn-1= an,但要注意分类讨论,本例的求解中检验必不可少,值得重视;(3)已知数列的递推公 式,求通项,破解方法:猜想证明法或构造法。【变式变式】已知函数f (x)=,数列x(x0)的第一项x1,以后各项按如32xx nnn 下方式取定:曲线x=f (x)在处的切线与经过(0,0)和(x,f (x))两)(,(11nnxfxnn 点的直线平行(如图).求证:当 n时,() x ().*N;2312 12 nnnnxxx21)21()21(n nnx解、 (I ) 证明:因为2( )32 ,fxxx所以曲线在处的切线斜率( )yf x11(,()nnxf x12 1132. nnnkxx 即和两点的直线斜率是 以.(0,0)(,()nnxf x2,nnxx22 1132nnnnxxxx(II)因为函数,当时单调递增,2( )h xxx0x 而,22 1132nnnnxxxx2 1142nnxx2 11(2)2nnxx所以,即 因此12nnxx11,2nnxx1121211( ).2nnn nnnxxxxxxx又因为 令 则 122 12(), nnnnxxxx 2,nnnyxx11.2nnyy因为 所以2 1112,yxx12 111( )( ).22nn nyy因此 故221( ),2n nnnxxx1211( )( ).22nn nx数列求和数列求和1.设,则等于( D )4710310( )22222()nf nnNL( )f nA. B. C.D.2(81)7n12(81)7n32(81)7n42(81)7n2. 等差数列an中,a1=1,a3+a5=14,其前n项和Sn=100,则n=( B )A9 B10 C11 D123. (福建)数列的前项和为,若,则等于( B )nannS1 (1)nan n5SA1 B C D5 61 61 304. 设Sn是等差数列an的前n项和,若 ,则S 3S 61 3S 6S12A. B. C. D.3 101 31 81 9解析解析: :由等差数列的求和公式可得且31 1 61331,26153SadadSad可得0d 所以,故选 A61121615273 12669010Sadd Sadd5.已知数列、都是公差为 1 的等
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