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知识梳理知识梳理1、 已知函数32( )f xxbxcxd的图象过点(0, 2)P,且在点( 1, ( 1)Mf处的切线方程为076 yx. ()求函数)(xfy 的解析式; ()求函数)(xfy 的单调区间.【解析】 ()由)(xf的图象经过(0, 2)P,知2d , 所以32( )2f xxbxcx.所以2( )32fxxbxc. 由在( 1, ( 1)Mf处的切线方程是670xy,知6( 1)70f ,即( 1)1f ,( 1)6f. 所以326, 121.bc bc 即23,0.bcbc 解得3bc . 故所求的解析式是32( )332f xxxx. ()因为2( )363fxxx, 令23630xx,即2210xx ,解得 112x ,212x . 当12x 或12x 时,( )0fx , 当1212x 时,( )0fx , 故32( )332f xxxx在(,12内是增函数,在12,12内是减函数,在12,)内是增函数. 【例 2】 (A 类)若在区间1,1上单调递增,求的取值范围.3( )f xaxxa【解析】又在区间1,1上单调递增2( )31fxaxQ( )f x在1,1上恒成立 即在 1,1时恒成立.2( )310fxax 21 3ax x故的取值范围为1 3a a1,31.已知函数32( )f xaxbx的图像经过点(1,4)M,曲线在点M处的切线恰好与直线90xy垂直. ()求实数, a b的值;()若函数( )f x在区间 ,1m m上单调递增,求m的取值范围.【解析】 ()32( )f xaxbx的图象经过点(1,4)M 4ab2( )32fxaxbx,(1)32fab 由已知条件知1(1) ()19f 即329ab 解4 329ab ab 得:1 3a b ()由()知32( )3f xxx,2( )36fxxx令2( )360fxxx则2x 或0x 函数( )f x在区间 ,1m m上单调递增 ,1(, 20,)m m U0m 或12m 即0m 或3m 1.曲线2xyx在点(1, 1)处的切线方程为 ( )( )2A yx ( )32B yx ( )23C yx ()21D yx 2. 曲线2xyx在点(-1,-1)处的切线方程为 ( )(A)y=2x+1 (B)y=2x-1 (C) y=-2x-3 (D)y=-2x-23.若曲线2yxaxb在点(0, )b处的切线方程是10xy ,则( )(A)1,1ab(B) 1,1ab (C) 1,1ab (D) 1,1ab 4函数f(x)=xlnx(x0)的单调递增区间是 【答案】1( ,)e6.设函数32( )63(2)2f xxaxax若( )f x的两个极值点为12,x x,且121x x ,求实数a的值【解析】2( )186(2)2fxxaxa由已知有12()()0fxfx,从而122118ax x ,所以9a ;7.设函数 sincos1 , 02f xxxxx,求函数 f x的单调区间与极值.【解析】:( )sincos1,02 ,( )12sin().4 ( )0f xxxxxfxxfx 令令令令令从而当 x 变化时,变化情况如下表:23sin(),422xxx 令令( ),( )fxf x322 3332222因此,由上表知f (x)的单调递增区间是(0,)与(,),单调递增区间是(,),极小值为f ()=,极大值为f ()=1曲线1 2exy 在点2(4e )令处的切线与坐标轴所围三角形的面积为 ( ) 29e224e22e2e6.已知函数图像上的点处的切线方程为 32f xxaxbxc 1, 2P31yx (1)若函数在时有极值,求的表达式 f x2x f x(2)函数在区间上单调递增,求实数的取值范围 f x2,0b【解析】, 因为函数在处的切线斜率为-3, 232fxxaxb f x1x 所以,即, 1323fab 20ab又得. 112fabc 1abc (1)函数在时有极值,所以, f x2x 21240fab 解得,所以2,4,3abc 32243f xxxx (2)因为函数在区间上单调递增,所以导函数 f x2,0 23fxxbxb 在区间上的值恒大于或等于零,2,0则得,所以实数的取值范围为 21220, 00,fbb fb 4b b4,4.已知函数xmxmxxf)6()3(21 31)(23,xR (其中 m 为常数)(I)当 m=4 时,求函数的极值点和极值;(II)若函数)(xfy 在区间(0,+)上有两个极值点,求实数 m 的取值范围.【解析】函数的定义域为 R()当 m4 时,f(x) x3x210x,)( xfx27x10,令0)( xf , 解得5x或2x令0)( xf , 解得52 x, 列表x)2 ,(2)5 , 2(5), 5( )( xf0-0)(xf326 625所以函数的极大值点是2x,极大值是326;函数的极小值点是5x,极小值是625.())( xfx2(m3)xm6,要使函数)(xfy 在(0,)有两 个极值点,则 06030)6(4)3(2mmmm,解得 m3.5.已知函数若,令函数,求函数在32( )2f xxaxx1a ( )2( )g xxf x( )g x上的极大值、极小值;【解析】()( 1,2),所以由3232( )2(2)2g xxxxxxxx 2( )321g xxx 得或( )0g x1 3x 1x x1( 1,)3 1 31(,1)31(1,2)( )g x00( )g x59 271所以函数在处取得极小值;在处取得极大值( )g x1 3x 59 271x 110.已知函数)(xf满足Cxxfxxf 23 32)((1)求 32 f的值;(2)求函数)(xf的单调区间;【解析】 (1)由Cxxfxxf 23 32)(,得13223)( 2 xfxxf取32x,得132 322323322 ff,解之,得132 f, (2)因为Cxxxxf23)(从而1313123)( 2 xxxxxf,列表如下:x)31, (31) 1 , 31(1) , 1 ()( xf00)(xf有极大值有极小值)(xf的单调递增区间是)31,(和),1 (;)(xf的单调递减区间是) 1,31(
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