龙文教育学科教师辅导讲义龙文教育学科教师辅导讲义学员姓名：学员姓名： 陆亦童 学科教师：丁学琴学科教师：丁学琴 辅导科目辅导科目: 数学数学 年年 级：级： 八年级八年级 课课 时时 数：数：2 课次：课次：1课课 题题线段的垂直平分线与角平分线线段的垂直平分线与角平分线授课时间：授课时间：2012-11-24 8:0010:00备课时间：备课时间： 2012-11-23教学目标教学目标1、了解线段垂直平分线的性质 2、掌握线段垂直平分线的性质的应用重点、难点重点、难点线段的垂直平分线的性质考点及考试要求考点及考试要求掌握线段的垂直平分线的性质教学内容教学内容知识讲解知识讲解1、线段垂直平分线的性质、线段垂直平分线的性质（1）垂直平分线性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. . 定理的作用：定理的作用：证明两条线段相等证明两条线段相等（2）线段关于它的垂直平分线对称线段关于它的垂直平分线对称. .2、线段垂直平分线性质定理的逆定理、线段垂直平分线性质定理的逆定理（1）线段垂直平分线的逆定理：到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上到一条线段两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上. . 定理的作用：定理的作用：证明一个点在某线段的垂直平分线上证明一个点在某线段的垂直平分线上. .3、关于三角形三边垂直平分线的定理、关于三角形三边垂直平分线的定理（1）关于三角形三边垂直平分线的定理：三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等三角形三边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等. .定理的作用：证明三角形内的线段相等证明三角形内的线段相等. .（2）三角形三边垂直平分线的交点位置与三角形形状的关系：若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则若三角形是锐角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形内部；若三角形是直角三角形，则它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三它三边垂直平分线的交点是其斜边的中点；若三角形是钝角三角形，则它三边垂直平分线的交点在三角形外部角形外部. .反之，三角形三边垂直平分线的交点在三角形内部，则该三角形是锐角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形的边上，则该三角形是直角三角形；三角形三边垂直平分线的交点在三角形外部，则该三角形是钝角三角形.4、角平分线的性质定理：、角平分线的性质定理：角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. . 定理的作用：证明两条线段相等；证明两条线段相等；用于几何作图问题；用于几何作图问题；角是一个轴对称图形，它的对称轴是角平分线所在的直线.5、角平分线性质定理的逆定理：、角平分线性质定理的逆定理：角平分线性质定理的逆定理：在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上在角的内部，且到角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上. . 定理的作用：用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线用于证明两个角相等或证明一条射线是一个角的角平分线 注意角平分线的性质定理与逆定理的区别和联系.6、关于三角形三条角平分线的定理：、关于三角形三条角平分线的定理：（1）关于三角形三条角平分线交点的定理：三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等三角形三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等. . 定理的作用：用于证明三角形内的线段相等；用于证明三角形内的线段相等；用于实际中的几何作图问题用于实际中的几何作图问题. .（2）三角形三条角平分线的交点位置与三角形形状的关系：三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部三角形三个内角角平分线的交点一定在三角形的内部. .7、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：、关于线段的垂直平分线和角平分线的作图：（1）会作已知线段的垂直平分线； （2）会作已知角的角平分线；（3）会作与线段垂直平分线和角平分线有关的简单综合问题的图形.例题讲解例例 1、已知： PA、PC 分别是ABC 外角MAC 和NCA 平分线，它 们交于 P，PDBM 于 D，PFBN 于 F，求证：BP 为MBN 的平分线。BM D A P B C F N 例例 2、如图 10，已知在直角梯形 ABCD 中，ABCD，ABBC，E 为 BC 中点，连接AE、DE，DE 平分ADC，求证：AE 平分BAD.针对性练习：针对性练习：AB=AC，BD=CD，DEAB 于 E，DFAC 于 F，求证：DE=DF。例例 3、如图 11-1，已知在四边形 ABCD 中，对角线 BD 平分ABC，且BAD 与BCD 互补，求证：ADCD.课堂练习：课堂练习：1. ABC 中，AB=AC，AC 的中垂线交 AB 于 E，EBC 的周长为 20cm，AB=2BC，则腰长为_。 2. 如图所示，AB/CD，O 为A、C 的平分线的交点，OEAC 于 E，且 OE=2，则 AB 与 CD 之 间的距离等于_。A B O E C D 已知：如图，B=C=900，DM 平分ADC， AM 平分DAB 。求证： M B=MC图图1 10 0FC CD DB BA AE EBEMCBDA7、角平分线、平行线、等腰三角形综合：、角平分线、平行线、等腰三角形综合： 1.角平分线遇平行线出现等腰三角形。分 a、b 两种情形： a、 如图甲：一直线与角的一边平行b、 如图乙：一直线与角的平分线平行2等腰三角形与角平分线往往出现平行线 a、如图甲：等腰三角形的一腰与角的一边平行b、如图乙：等腰三角形的底边与顶角的外角平分线平行3等腰三角形与平行线往往出现角平分线 a、如图甲：与一腰平行b、如图乙：与底边平行 角平分线、平行线、等腰三角形关系密切，在题设中若见其一，应思其二，想其三；或作其二，寻找发现其三， 这种解题思路方法往往能得到打开第一道大门的金钥匙，突破解题的一个难点，使一类题目变难为易成为可能，使 学生对题目一看就会成为可能。 角平分线、平行线、等腰三角形角平分线、平行线、等腰三角形“知识板块知识板块”的应用举例：的应用举例： 例 1、如图 1：已知在ABC 中ABC、ACB 的平分线交于点 I，过点 I 作 DE/BC，分别交 AB、AC 于点 D、E。求证：DE=BD+CE。31 2123/OACDDCDO DOC等腰三角形ODE等腰三角形 214231/OCDEOEOD 43 2131DCCOOACD/32 4343 AOBOEOD AOBAOB211213 DEOC /31 1323/ DCCODCOA21214231/43 OCDEOEOD图甲432ODECBA1图乙3 21IEDABC例 2、如图 2：已知 I 是ABC 的内心，DI/AB 交 BC 于点 D，EI/AC 交 BC 于 E。求证：DIE 的周长等于 BC。例 3、如图 3：已知在ABC 中，ABC 的平分线与ACB 的外角平分线交于点 D，DE/BC，交 AB 于点 E，交 AC 于点 F，求证：EF = BECF。例 4、平行四边形 ABCD 中，AB=3，BC=4，的平分线交 AD 于点 E， 的平分线交 AD 于点ABCBCD F，BE、CF 交于点 G，FG=1。求：的度数。A例 5、在矩形 ABCD 中，AC 与 BD 交于点 O；DE 平分ADC，交 BC 于点 E，BDE=150，求COE 的度数。例 6、在ABC 中，A DB C 于点 D ，点 E 在 B C 的延长线上，且，090CABBCAEAD=3，DE=4。求：CD：CE 的值。例 7、如图：BD 是角平分线 DE/BC，交 AB 于点 E。求 DE 之长。, 1,900ACABBAC13ABCDEI图（2）243 21FEDMCBAEODABC3CBAED12DEHABCDABC8、角平分线类问题常用思路：、角平分线类问题常用思路： 1、 轴对称性： 内容：角是一个轴对称图形，它的角平分线所在的直线是它的对称轴。 思路和方法：边角等 造全等，也就是在角的两边上取相等的线段 构造全等三角形基本结构：如图，2、 角平分线的性质定理：注意两点（1）距离相等 （2）一对全等三角形 3、 定义：带来角相等。 4、 补充性质：如图，在ABC 中，AD 平分BAC，则有 AB:AC=BD:DC针对性例题： 例题 1：如图，AB=2AC,BAD=DAC,DA=DB 求证：DCAC例题 2：如图，在ABC 中，A 等于 60，BE 平分ABC，CD 平分ACB 求证：DH=EH例题 3：如图 1，BCAB，BD 平分ABC，且A+C=1800，求证：AD=DC例题 4 已知：如图 5，在ABC中，C=90,AC=BC,AD平分CAB. 求证：AC+CD=AB9、角平分线定理使用中的几种辅助线作法：、角平分线定理使用中的几种辅助线作法： 一、已知角平分线，构造三角形一、已知角平分线，构造三角形 例题、如图所示，在ABC 中，ABC=3C，AD 是BAC 的平分线，BEAD 于 F。求证：1()2BEACAB二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线二、已知一个点到角的一边的距离，过这个点作另一边的垂线 段段 如图所示，1=2，P 为 BN 上的一点，并且 PDBC 于 D，ABBC=2BD。 求证：BAPBCP=180。三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段三、已知角平分线和其上面的一点，过这一点作角的两边的垂线段 例题、如图所示，在ABC 中，PB、PC 分别是ABC 的外角的平分线，求证：1=210、与三角形的角平分线有关的结论的探究：、与三角形的角平分线有关的结论的探究：探究一：在中，A，B 的平分线交于点 P，试探究ABC BPC 与A 的关系？探究二：在中，BP 是ABC 的平分线，CP 是 ABC 的外角ACE 的平分线，ABC试探究：BPC 与A 的关系？ 探究三：在中，BP， CP 分别是 ABC 的两个外角的平分线，ABC 试探究：BPC 与A 的关系？21 FEDCBANPEDCBAG21PFECBAPCBA内内EPCBAFPECBAADBCE图 1-111、角平分线携“截长补短”显精彩：角的平分线具有其特有的性质，这一性质在许多问题里都有着广泛的应用.而“截长补短法”又是解决这一类问题的一种特殊方法，利用此种方法常可使思路豁然开朗.请看几例.例 1 如图 1-1，ADBC，点E在线段AB上，ADE=CDE，DCE=ECB.求证：CD=AD+BC.例 2已知，如图 2-1，1=2，P为BN上一点，且PDBC于点D，AB+BC=2BD. 求证：BAP+BCP=180例 3已知：如图 3-1，在ABC中，C2